资源描述
1 1【知识网络】【考点聚焦】内 容要 求ABC平面解析几何初步直线的斜率和倾斜角直线方程直线的平行关系与垂直关系两条直线的交点两点间的距离、点到直线的距离圆的标准方程与一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系圆锥曲线与方程中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质一. 直线的倾斜角与斜率1.【原题】（必修2第85页例题1）如图，已知A(3,2)，B(4,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角【原题解读】（1）知识上；直线斜率的概念及运算公式；（2）思路方法上；由斜率的概念，根据题目的条件可运用：1. ； 2. ，算出直线的斜率。（3）考察概念理解和运算能力。变式1. 【20xx太原五中】直线的倾斜角的取值范围是（ ）A， B，C0，（， D，【答案】B【解析】直线可化为：，倾斜角，0, ),则tan=,因为即tan-1,所以.所以选B.变式2. 【20xx山西省康杰中学】在平面直角坐标系中,已知,如果直线 与线段总是相交,那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D二. 两条直线平行与垂直的判定1.【原题】（必修2第87页例题4）已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明【解析】：AB边所在直线的斜率kAB，CD边所在直线的斜率kCD，BC边所在直线的斜率kBC，DA边所在直线的斜率kDA.因为kABkCD，kBCkDA，所以ABCD，BCDA.因此，四边形ABCD是平行四边形2.【原题】（必修2第89页例题6）已知A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断ABC的形状【原题解读】（1）知识上；由直线斜率判断两直线平行与垂直；（2）思路方法上；由直线的斜率，根据结论：1.； 2. ，推出两直线的位置关系。（3）考察推理能力和运算能力。变式1. 【20xx兰州联考】已知直线l1过点A(1，1)和B(2，1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1l2，则a的值为()A2 B2 C.0 D. 【答案】A【解析】l1，l2的斜率分别为2，a，由l1l2， 可知a2.变式2. 【20xx辽宁高考】已知点，若为直角三角形，则必有（ ）A B C D【答案】C.【解析】显然角O不能为直角（否则得不能组成三角形）；若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C.三.直线的方程1.【原题】（必修2第98页例题5）已知直线经过点A(6，4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式2.【原题】（必修2第98页例题6）把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形【解析】：将原方程移项，得2yx6，两边除以2，得斜截式yx3.因此，直线l的斜率k，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x2y60中，令y0，得x6，即直线l在x轴上的截距是6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(6,0)， B(0,3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形如下图【原题解读】（1）知识上；直线的点斜式方程、一般式方程及截距的概念；（2）思路方法上；由题目给出的条件求出直线的方程，一般思路为：1.给出条件为； ；可选点斜式即： 2. 给出条件为； ；可选两点式即： 变式1. 【20xx成都七中】过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（ ）A. B. C. 或 D. 或 【答案】D变式2.【20xx衡水金卷】已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当此四边形的面积最小时，实数_；【答案】【解析】由题，知直线l1，l2恒过定点P(2，2) 当0a2时，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形的面积S，当时，S的值最小，故实数a的值为3. 【原题】（必修2 第100页习题3.2 A组第3题）已知，求线段的垂直平分线的方程.【解析】 已知，由中点坐标公式可得中点的坐标为；，即 ， 又，则垂直平分线所在直线的为； 代入点斜式方程得；，化为一般式方程得；。 【原题解读】（1）知识上；中点坐标公式，斜率与直线垂直，点斜式方程；（2）思路方法上；由中点坐标公式及垂直关系，分别求出直线上的点和斜率，再由点斜式方程求出；（3）考察分析能力和运算能力及对称思想。变式1. 【20xx浙江高考】直线关于直线对称的直线方程是（） 【答案】D变式2.【20xx衡水金卷】已知点，直线：，直线关于点对称的直线的方程为 .【答案】【解析】方法1：由题意可知，设的方程为，由题意可知,解得或(舍)，所求直线的方程为.方法2：在直线上任取一点，其关于点的对称点必在直线上，即，即，所求直线的方程为.变式3. 【20xx济南模拟】光线从出发，经直线反射，反射光线经过点，反射光线所在的直线方程为 【答案】四. 直线的交点坐标与距离公式1.【原题】（必修2第107页例题6）已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，求三角形ABC的面积【解析】如图，设AB边上的高为h，则SABC|AB|h. |AB|2，AB边上的高h就是点C到AB的距离AB边所在直线的方程为，即xy40.点C(1,0)到xy40的距离为h，因此，SABC25.【原题解读】（1）知识上；两点之间的距离公式及点到直线的距离公式，直线方程；（2）思路方法上；已知三角形三个顶点的坐标，可先运用两点间的距离公式求出边长，再写出它的直线方程，最后用点到直线的距离求出面积；（3）考察分析能力和运算能力。注意：求点到直线距离时；若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用变式1. 【20xx上海高考】已知平行直线，则的距离为_【答案】【解析】【方法一】因为平行线间的距离处处相等，可在直线上取点（0,1），则由点到直线的距离公式可得；【方法二】利用两平行线间的距离公式得；变式2. 【20xx江苏高考】平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 .【答案】-1，五. 圆的方程1.【原题】（必修2第120页例题3）已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上，求圆心为C的圆的标准方程【解析】如图；因为A(1,1)，B(2，2)，所以线段AB的中点D的坐标为 (，)，直线AB的斜率kAB3，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y(x)，即x3y30.圆心C的坐标是方程组的解解此方程组，得所以圆心C的坐标是(3，2) 圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225.2.【原题】（必修2第122页例题4）：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.【原题解读】（1）知识上；圆的方程及圆的几何性质；（2）思路方法上：从题目所给条件出发，聚焦圆的基本量（圆心和半径），通过先设方程，再解方程，从而求出圆的方程； （3）考察圆的方程，运算能力、方程思想及数形结合思想。变式. 【20xx湖北高考】如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_【答案】(1)(x1)2(y)22 (2)1 3.【原题】（必修2第122页例题5）已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中点，所以，于是有x0 = 2x 4，y0 = 2y 3因为点A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (2y 3)2 = 4，整理得，所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.【原题解读】 （1）知识上；中点坐标公式，圆的方程；（2）思路方法上；求轨迹方程，一般先设出动点的坐标，再由题目条件找出动点所满足的条件，从而建立方程，最后化简方程并检验可得出所求的轨迹方程。（3）考察轨迹方程算法，代数运算能力及方程思想。变式1. 【20xx成都七中高一】已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B. C. D.【答案】B变式2. 【20xx高考新课标1】已知点，圆:，过点的动直线l与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点,求的轨迹方程；【答案】【解析】（I）圆C的方程可化为,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.设,则，,由题设知,故，即由于点P在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是六.直线与圆的位置关系1.【原题】（必修2第127页例题2）已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.【解析】将圆的方程写成标准形式，得x2(y2)225，所以，圆心的坐标是(0，2)，半径r5.如图，因为直线被圆截得弦长为4，所以，弦心距为，由题意知，直线斜率存在，故设过点M的直线方程为y3k(x3)，即kxy3k30.由弦心距为，得，解得k，或k2.所以，所求直线方程有两条，它们的方程分别为x2y90，或2xy30.【原题解读】（1）知识上；直线与圆的方程，点到直线的距离，垂径定理；（2）思路方法上；求直线方程，一般先设出点斜式方程，再由所给条件建立含的方程，从而求出参数，得到所求的直线方程。（3）考察方程思想，数形结合思想及运算能力。变式1. 【20xx江西高考】直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A变式2. 【20xx陕西高考】已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是（ ） A相切B相交C相离D不确定【答案】B【解析】点M(a,b)在圆圆的半径为1， ，故直线与圆相交.所以选B. 七.圆与圆的位置关系1.【原题】（必修2第129页例题3）已知圆C1：x2y22x8y80，圆C2：x2y24x4y20，试判断圆C1与圆C2的位置关系【原题解读】 （1）知识上；圆的方程，两点间的距离，圆与圆位置关系；（2）思路方法上；圆与圆位置关系的判断主要有两个方法，方法1；可将两个圆的方程联立，通过方程解的个数，判断位置关系。方法2；几何法即由两个圆的半径的和（差）与它们圆心之间的距离比较。（3）考察方程思想，数形结合思想及运算能力。变式1.【20xx北京高考】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B变式2.【20xx衡水金卷】在平面直角坐标系中，已知圆点若圆上存在点满足则实数的取值范围是 【答案】【解析】由题满足条件的点M轨迹方程为，又点M在圆C上，所以只要两个圆有交点即可，则可得； 解得；八. 直线与圆的方程的应用1.【原题】（必修2第132页练习题3）某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？【原题解读】 （1）知识上；圆的方程，函数与方程；（2）思路方法上；可先由题意建立坐标系，从而求出圆的方程，通过函数值的比较做出判断。（3）考察方程思想，数形结合思想，运算能力及建模能力。变式1. 【20xx重庆高考】设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为C，半径为2，圆心C到直线的距离为，所以的最小值为6-2=4，故选B.变式2.【20xx天津高考】 设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_【答案】3【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即，所以m2n22|mn|，所以|mn|，又A，B，所以AOB的面积为3，最小值为3.变式3. 【20xx衡水金卷】已知圆C：(x3)2(y4)21，点A（0，1），B（0，1），点P是圆上的动点，若d|PA|2|PB|2，则d的取值范围是_【答案】32，72九.圆锥曲线1. 原题（选修2-1第四十一页例3）变式1 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t（0，1求M的轨迹方程，并说明曲线的类型【解析】设M（x，y），则 (x0)，(x0)，=-t， =-t(x0)，整理得1(x0)（1）当t（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）变式2 设椭圆的左、右顶点分别为,，点在椭圆上且异于,两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.变式3 椭圆斜率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【解析】由拓展，知选B变式4 如图，若为椭圆的右顶点，直线、交直线于两点，则的最小值为 【答案】.变式5 已知直线yx与椭圆C：交于两点，过点作斜率为k的直线l1直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x4的交点为Q，过Q点作直线的垂线l2求证：直线l2恒过一定点 2原题（选修2-1第四十二页练习第3题）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点（1）求的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？变式（全国卷）：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是AB6 C D12【解析】由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选C3. 原题（选修2-1第四十七页例7）变式 在直线：上任取一点M，过点M且以双曲线的焦点为焦点作椭圆(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程【解析】(1)故双曲线的两焦点过向引垂直线：，求出关于的对称点，则的坐标为（4，2）（如图）， 直线的方程为。，解得 即为所求的点.此时，=(2)设所求椭圆方程为， 所求椭圆方程为.4. 原题（选修2-1第四十八页练习第4题）变式 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程.5. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第八题）变式 已知椭圆与双曲线共焦点，且过（，0）（1）求椭圆的标准方程（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程【解析】（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1椭圆与双曲线共焦点，设椭圆方程为=1，椭圆过（，0），=1，即=2，椭圆方程为=1（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b 且 =1得，即x=，y=，两式消掉b得 y=x令=0，即b=3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x3，即当x=时斜率为2的直线与椭圆相切所以平行弦得中点轨迹方程为：y=x（x）6. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第1题）如果点在运动过程中，总满足关系式点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.变式 方程的解是_. 7. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第6题）变式 已知椭圆的方程为若点是椭圆上第二象限内的一点，且求的面积.【解析】.推广，对于椭圆：，焦点为为椭圆上的一点，已知，的面积为.8原题（选修2-1第六十一页习题2.3A组第一题）变式 、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于 9原题（选修2-1第六十二页习题2.3B组第四题）变式 经过点A（2，1）作直线L交双曲线于，两点，求线段的中点P的轨迹方程【解析】设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：，（2）；又设（，），（，），P(x，y)，则，必须是（2）的两个实根，所以有+= (-20)按题意，x=，x=因为(x，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=+1=再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程10原题（选修2-1第七十二页练习题3）变式 过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使11. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）变式 直线l与抛物线相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OAOB则直线l过定点 【解析】设点A，B的坐标分别为（，），（，）（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k0且b0联立方程得：消去y得，由题意：=，又由OAOB得，即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）；（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m0，联立方程解得 ，即=-2m，又由OAOB得，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）12. 原题（选修2-1第八十页复习参考题A组第4题）变式 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.【解析】.13. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第一题）变式 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求的面积.14. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第3题）变式 过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点，自A,B向准线作垂线，垂足分别为,，求证：.【解析】由抛物线定义知则，又，则，即.15. 原题（选修2-1第八十七页例题）变式 已知三点共线，且，则的最小值为 .【感受高考】1.【20xx高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A2. 【20xx高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A 3. 【20xx高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】试题分析：因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.4.【20xx高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B 5.【20xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】4【解析】试题分析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，6.【20xx高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（）（）（II）【解析】（）当与轴不垂直时,设的方程为,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.7.【20xx高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（）;（）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上. 8. 【20xx高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，【解析】欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
展开阅读全文