圆地培优专题

一运用辅助圆求角度1、 如图， ABC内有一点 D, DA= DB= DC,若 DAB= 20 ,DAC= 30 ,则 BDC=( BDC= -1BAC= 100 )2、 如图，AE= BE= DE= BC= DC,若 C= 100 ，贝U BAD=.( 50 )3、 如图，四边形 ABCD中, AB= AC= AD,CBD= 20 ,BDC= 30，贝U第1题第2题第3题解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、 如图，口 ABCD中，点E为AB BC的垂直平分线的交点，若D= 60 ,贝U AEC=.( AEC= 2 B= 2 D= 120 )5、 如图，O是四边形 ABCD内一点，OA= OB= OCABC= ADC= 70 ,贝U DAOF DCO=(所求=360 ADC- AOC= 150 )6、 如图，四边形 ABCD中,ACB= ADB= 90 , ADC= 25，贝U ABC= _(ABC= ADC= 25 )第4题第5题第6题解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆.运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB为O O的直径,C为 Ab 的中点，D为半圆 Ab 上丿,贝yADC=.8、如图，AB为O O的直径,CD过OA的中点E并垂直于 OA则ABC=.9、如图，AB为O O的直径，?C 3AC，则ABC=.解题策略:C以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!10、如图,AB为O O的直径，点 C、D在O O上，BAC= 50，则ADC=11、如图,O O的半径为1,弦AB= 2 ，弦 AC= 3 ，贝U BOC=12、如图，PAB PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若Ac Cd ,P= 30 ,则 BDC=.（设 ADC= x，即可展开解决问题）第12题解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!1、如图，AB是O O的弦，ODAB,垂足为C,交O O于点D,点E在OO上，若BED=30 , O O的半径为4，则弦AB的长是.略解： OD AB,. AB= 2AC 且 ACO= 90 ,BED= 30 ,AOC= 2 BED= 601 _OAC= 30 , OC=OA= 2，贝U AC= 2、3，因此 AB= 4、3.2耳2、 如图，弦 AB垂直于O O的直径CD OA= 5, AB= 6,贝U BC=.1略解：直径 CD 弦 AB,. AE= BE= AB=3- OE=、52324，贝y CE= 5+ 4 = 9第1题第2题第3题3、如图，O O的半径为2、5，弦AB CD垂足为P, AB= 8, CD= 6,则OA .略解：如图，过点 O作OE AB, OF CD连接 OB OD.贝U BE= 2 AB = 4, DF= 2 CD= 3, 且 OB= OD= 2、5OE = .（2、5）2422 , OF=（2、5）2 32.11又AB CD则四边形 OEPF是矩形，贝U OP= 22 （ . 11）2. 154、 如图，在O O内，如果 OA= 8, AB= 12,A= B= 60，则O O的半径为.1略解：如图，过点 O作OD AB,连接OB则AD=1 AB= 4,因此，BD= 8, OD= 4、3 OB= J（4 禹2 8247.实用标准文档5、如图，正 ABC内接于O O, D是O O上一点，DCA= 15 , CD= 10,则 BC=略解：如图，连接 OC, OD则 ODC= OCD/ ABC为等边三角形，则OCA OC匡 30 , ODC= OCD= 45 OCD是等腰三角形，则 OC= 5迈过点 O作 OE BC,贝U BC= 2CEA 5、6第4题第5题第6题6、如图，O O的直径AB= 4, C为AB的中点，E为OB上一点，AECA 60 , CE的延长线交O O于点D,贝y CD=略解：如图，连接 OC则OC= 2 C为 Ab 的中点，贝y OC AB,又 AEC= 60 , OCE= 30 CD= 2CF= 2*31如图，过点 O作 OF CD 贝y OFA - OC= 1, CF= J3 ,7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10J7千米的速度沿北偏东 60的BF方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点 A作AC BF交于点C,ABF= 30 ，贝U AC=1 AB = 150 200，因此 A地会受到这次台风影响;如图，以A为圆心200千米为半径作O A交BF于D E两点，连接AD,则 DE= 2CD= 2 -2002 1502100 7 ,所以受影响的时间为100、7 10.710 （时）1、如图，O 0的直径 AB= 10,弦AC= 6,ACB的平分线交O O于D,求CD的长.BDE= 90 ，即 CDE= 90解：如图，连接 AB, BD,在CB的延长线上截取 BE= AC,ACD= BCD 二 AD= BD又 CAD= EBD AC= BE CADA EBD( SAS CD= DEADC=BDE/ AB 为OO 的直径，贝 UACB= ADB= 90- BC= .102 62 8;ADO CDB= CD內 CDE是等腰直角三角形且 CE= 14,. CD= A 22、如图，AB是O O的直径，C是半圆的中点， M D分别是CB及AB延长线上一点，且MA = MD 若 CM= 72，求 BD的长.解：如图，连接 AC,贝U AC= BC,C= 90，即 ABC是等腰直角三角形过点 M作 MN/ AD,贝U NMA= MAD则厶CMN也是等腰直角三角形，则 MN= 、, 2 CM= 2ANC= MBD= 135 ,又 MA= MD - NMA= MAD AMN BMD( AASB MN= 23、如图，AB为O O的直径，点N是半圆的中点，点 C为An上一点，NC= 3.求BC- AC的值.解：如图，连接 AN BN则厶ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD= AC连接 DN/ AN= BNCAN=DBN AC= BD ACNm BDN( SAS CN= DNCNA=DNB CND= CNA AND= ADN DNB= 90 ,即厶 CND是等腰直角三角形CD=、一 2 NC= . 6 , BC AC= BC BD= CD= .65、如图，在o o中，p为Bac的中点，求AB的长.解：如图，连接 BP、CP,贝U BP= CP,PD CDB= C过点P作PE AB于点E,又PD CDBEP= CDP BEPA CDP( AAS BE= CD= 3+1 = 4, PE= PDCD交O O于 A,若 AC= 3, AD= 1,连接 AP,贝 U Rt AEP Rt ADP( HL),贝 U AE= AD= 1 AB= AE+BE= 56、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于 E, BFMN于 F, AB= 10, MN= 8.实用标准文档4、如图，点A B、C为O O上三点， Ac Bc , 点M为 Be 上一点，CE AM于 E,AE = 5, ME= 3，求 BM的长.解：如图，在 AM上截取AN= BM 连接CN CM. Ac ?c， AC= BC,又 A= B ACNm BCM( SAS.CN= CM 又 CE AM NE= ME= 3,BM= AN= AE NE= 23 ,贝U BG- AE= FG= 6.求BF AE的值.解: v AE MN BF MN 贝 U AE/ BF,. A= B如图，延长EO交BF于点G,贝U AOE= BOG AO= BO AOEA BOG( AAS ,贝U OE= OG过点 O作 OH MN FG= 2OH HN= 4连接 ON 则 ON= 5 , OH= . 52421、如图，O 0是厶BCN的外接圆，弦 ACbc,点n是Ab的中点,BNC= 60 ,求BNC的值.解：如图，连接 AB,贝U AB为直径，BNA= 90连接AN贝U BN= AN则厶ABN是等腰直角三角形 BN=辽AB;BAC= BNC= 60 , BC=-AB, BN = 2BC 3(方法2，过点B作BD CN即可求解)2、如图，O 0的弦ACBD 且 AC= BD,若 AD= 22，求O O半径.解：如图，作直径 AE,连接DE,贝U ADE= 90又 AC BD,贝U ADB DAC= ADB EDB= 90DAC= EDB 则 Cd Be , de Bc , ac = bd Ac Cd ,则 Ad Bc De A DE即厶ADE是等腰直角三角形 AE= . 2 AD= 4,即O O的半径为2CAD= 45 ,3、如图，AB为O O的直径，C为OO上一点,D为CB延长线上一点，且CE AB于点E, DF AB于点F.(1)求证：CE= EF; (2)若 DF= 2 , EF= 4,求 AC.(1)证：T AB 为O O的直径，CAD= 45 ,则厶ACD是等腰直角三角形，即 AC= DC又 CE AB,贝U CAE= ECB如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点 G又CE AB, DF AB则四边形CEFG是矩形,AEC= DGC= 90 EF= CG CE/ DG 贝U ECB= CDG= CAE ACEA DCG( AAS),贝U CE= CG= EF(2)略解：AC= CD= .42 62 2 13.4、如图，AB为O O的直径，CD AB于点D, CD交AE于点F, Ac (?E .(1) 求证：AF= CF;(2) 若O O的半径为5，AE= 8，求EF的长(1 )证：如图，延长CD交O O于点G,连接AC直径AB CG则 Ag Ac CeCAE= ACG 贝U AF= CF(2 )解：如图，连接OC交 AE 于点 H,贝U OC AE,OH= 52423，则 CH= 5- 3= 2设 HF= x，贝U CF= AF= 4 x则 x2 22(4 x)2 ,. x5、如图，在O O中，直径CD1EH= AH=- AE=423，即 HF= 32 2弦AB于E, AMBC于M,交CD于N,连接AD.5(1)证：T CD AB, AM BCc+CNM=C+B= 90B=CNM又B=DAND=CNMD=AND即 AD= AN(1)求证：AD= AN(2)若 AB= 4.2 , ON= 1，求O O 的半径.(2)解：直径 CD 弦 AB 则 AE= 2 2又 AN= AD,贝U NE= ED如图，连接 OA设OE= x,贝U NE= ED= x 1OA= OD= 2x 1 x2(2 2)2(2x 1)2 ,则 x 1 O O的半径OA= 3BOC= 1801、在O O中，弦 AB CD于E,求证：AOD-证：如图，连接AC,/ AB CD 贝U CA ACD= 90又 AOD= 2 ACDBOC= 2 BACAODF BOC= 180 .AC+ BD= 4R2.2、在O O中，弦 AB CD于点E,若O O的半径为 R,求证:证： AB CD 贝U CA ACD= 90如图，作直径AM连接CM贝 U ACM= ACD DCM= 90CAB= DCM二 BC DM Cm ?D , CM= BD/ aC cM= aM aC BD= 4於.3、在O O中，弦AB CD于点E ,若点M为AC的中点，求证 ME BD.证：如图，连接ME并延长交BD于点F AB CD且点M为AC的中点 ME为Rt AEC斜边上的中线 AM= MEA= AEM= BEF又 B= C ,A+ C= 90BEF- B= 90 ,即BFE= 90 ME BD.1若 ON BD于 N,求证：02 _ AC.24、在O 0中，弦AB CD于点E,证：如图，作直径 BF,连接DF,则 DF BD,又 ON BD,ON/ FD,又 0B= OF1.0N= DF2连接 AF,贝U AF AB,又 CD AB AF / CD Ac Fd ，贝U AC= FD5、在O O中，弦ABCD于点 E,若 AC= BD,ON BD于 N, OM AC于 M.(1) 求证：M日/ON(2) 求证：四边形 OMEf为菱形.证：(1)如图，延长 ME交0D于点F/ OM AC则点M为AC的中点 AB CD贝U ME为Rt ACE的斜边上中线AM=EMA= AEM=BEF又 B= C,A+ C= 90B+ BEF= 90，贝UBFE= 90 MF BD 又 ON BD MF/ ON(2)由(1)知MF/ ON同理可证OM/ NE,四边形OMEN!平行四边形/ AC= BD, 0M= ON四边形OMEf为菱形.c 0N= 1 AC圆的培优专题6圆与内角(外角)平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O 0为厶ABC的外接圆，弦 CD平分 ACBACB= 90 .求证：CA+ CB= , 2 CD.DB证：如图，在 CA的延长线上截取 AE= BC,连DE AD BD/ CD平分 ACB AD= BD 又 DAE= DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD= DE 又 ACD= 45ACB= 120，求 CA+CB的值E CDE是等腰直角三角形,贝U CA+ CB= CE= -、2 CD.2、如图，O 0为厶ABC的外接圆，弦 CD平分 ACB解：如图，在 CA的延长线上截取 AE= BC,连DE AD/ CD平分 ACB AD= BD又 DAE= DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD= DE 又 ACD= 60 CDE是等边三角形刚 CA+CBCD= CE= CA+ BC,即 一CD = 13、如图，过 O M(1,1)的动圆O O1交y轴、X轴于点A、B,求O阳OB的值.v i解：如图，过点 M作ME y轴，MF x轴，连 AM BM_由M( 1，1)知：四边形 OFME!正方形.OE= OF= 4，EM= FM 又 MBF= MAE AEMA BFM( AAS，贝U AE= BF OA+ OB= AE+ OE+ OF BF= 8.圆中的外角问题往往与线段的差有关ACQACB= 90 .4、如图，O 0为厶ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角求证：（1）PaPb ； (2) AC- BC=2 PC.证：（1）如图，连接AP,贝 U PCQ= PAB又 PCQ=PCA则PAB= PCA ?A ?B（2）连接BP,由(1)得,PA= PB在AC上截取AD= BC,连PD又 PAD=PBCAC BC= CD=2 PC.ACQACB= 120 . PADA PBC( SAS,贝 U PD= PC又 PCD= 45，则 PCD是等腰直角三角形，5、如图，O 0为厶ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角亠BC AC求一PC 的值解：如图，在 BC上截取BD= AC,连AP、BP、DPPCB= PCQ= PBA AP= BP,又 CAP= DBP CAPA DBP( SAS ,贝U CP= DP又 ACB= 120 , PCD= 30 ,BC AC CDP = PC =36、如图，A（4,0） , B（0,4） , O O1经过A、B、O三点，点 这P为 Oa 上动点（异于O A）亠PB- PA求一6 的值解：如图，在 BP上截取BC= AP/ A(4,0) , B(0, 4),贝U OA= OB= 4又 OAP= OBC OAPA OBC( SASPB papc l OC= OP 且 COP= AOB= 90 ,贝y= . 2 .PO PO切线与一个圆 答案：1、70 ； 2、20 ； 3、80 ； 4、120 ； 5、130 ； 6、451、如图，AD切O O于A, BC为直径，若ACB= 20，贝U CAD= 2、 如图，AP切O O于P, PB过圆心，B在O O上，若 ABP= 35，贝U APB= _第1题第2题3、 如图，PA PB为OO的切线，C为ACB上一点，若BCA= 50，贝U APB=4、如图，PA PB为OO的切线，C为Ab若 BCA=150 ，贝y APB=.5、如图，点 0是厶ABC的内切圆的的圆心,BAC= 80，贝U BOC=.第5题6、如图，PA切O 0于A,若PA= AB, PD平分APB交AB于D,贝U ADP= _. （设元，列方程）7、如图，两同心圆的圆心为 0,大圆的弦 AB AC 分别切小圆于 D E,小圆的De的度数为110 , 则大圆的 Bc 的度数为一._第7题第8题第9题二切线与两个圆8、 如图，O O和O O交于A、B两点，且点 0在O Q上，若D= 110，贝U C=9、 如图，O O和O O外切于D, AB过点D,若 AC2D- 100 , C为优弧Bd上任一点，贝U DCB=答案：7、140 ; 8、40 ; 9、50 （过点D作两圆的切线）1、如图，在O 0的内接 ACB中，ABC= 30 , AC的延长线与过点 D的切线BD交于点D,若O 0的半径为1 , BD/OC贝U CD=D,BAC= 75 ,2、如图 ABC内接于O 0 AB= BC,过点A的切线与0C的延长线交于CD = . 3 ,则 AD=(AD= 3)ACB= 75 ,AC第1题第2题第4题第3题4、如图，AB为O 0的直径，弦若 AB= 4 ,ADC= 45 ,的半径为1,则AE=(AE=1)3、如图，O 0为厶BCD的外接圆，过点 C的切线交BD的延长线于 A ,ABC= 45 ,贝V CD 的值为CD = . 2 )DBDBDC交AB于E,过C作O 0的切线交 DB的延长线于 M,(CD= 2 3 )5、如图，等边 ABC内接于O O, BD切O 0于B , AD BD于D, AD交O 0于E, O 06、如图， ABC中，C= 90 , BC= 5, O 0与ABC的三边相切于 D E、F ,若O 0的半径为2,则厶ABC的周长为(C= 30)7、如图， ABC中，C= 90 , AC= 12 , BC= 16 ,点 0在 AB上,O 0与 BC相切于 D,连接AD,则BD=(示：过D作DE AB第5题第6题解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程 文案大全设 CD= DE= x , BD= 10)1、如图，AB为O O的直径，C为Ae的中点，CD BE于D.(1) 判断DC与O O的位置关系，并说明理由；(2) 若DC= 3,0 O的半径为5，求DE的长.解：(1) DC是O O的切线，理由如下：如图，连接 OC BC,贝U ABC= CBD= OCB OC/ BD,又 CD BE OC CD又OC为O O的半径 DC是O O的切线(2)如图，过 O作OF BD,则四边形 OFDC是矩形，且 BE= EF OF= CD= 3, DF= OC= 5 ,EF= BF= . 52 于 4, DE= DF- EF= 12、如图，AB为O O的直径，D是Bc的中点，DE AC交AC的延长线于E , O O的切线BF交AD的延长线于点F.(1) 求证：DE为OO的切线；(2) 若DE= 3,O O的半径为5，求DF的长.(1)证：显然，CAD= OAD= ODA OD/ AE,又 DE AC, OD DE又OD为O O半径 DE为O O的切线(2)解：如图，过点 O作 OG AC,贝U OGDE矩形,即 OG= DE= 3 , DE= OD= 5 AG=52324 ,贝yAE= 5 + 4 = 9 ,92323 10设 DF= X,则 x2连接 BD,贝V BD AD, BD= 102 (3、10)210(.10)2 = BF= (X 3.10)2 102, DF= X3、如图，四边形 ABCD内接于O 0, BD是OO的直径，AE CD于E, DA平分 BDE.(1) 求证：AE是OO的切线；OFEA是矩形(2) 若 AE= 2, DE= 1,求 CD的长.(1 )证：如图，连接 0A 贝U ADE= AD0= OAD OA/ CD 又 AE CD OA AE,又OA为O O的半径 AE是O O的切线(2)解：如图，过点 O作OF CD贝U CD= 2DF,且四边形EF= OA= OD OF= AE= 2设 DF= x,则 OD= EF= x 12 2 2 x 2 (x 1) , x 1.5 CD= 2CF= 2x 34、如图，AE是O O的直径，DFBO O于B , AD DF于D, EF DF于F.(1) 求证：EF+ AD= AE(2) 若EF= 1, DF= 4,求四边形 ADFE的周长.(1 )证：如图，连接 CE则四边形CDFE是矩形连接OB交CE于点G,/ DF是O O的切线 OB DF, OB CEB* CD= EF, OGI AC 又 AO= OE AC= 2OG EF+ AD= AO CM EF= 2OG 2B* 2OB= AE.(2)解：显然 CE= DF= 4 , CD= EF= 1设 AC= x,则 AD= x 1 , AE= x 22 2 2 x 4 (x 2),则 x 3,则 AC= 3 , AD= 4 , AE= 5四边形CDFE的周长为14.B AE= CE=0C=2 , DE=、3AE= . 61、如图，已知点 A是O O上一点，半径 0C的延长线与过点 A的直线交于点 B, OC= BC,1AC = - OB.2(1)求证：AB是OO的切线；(2 )若 ACD= 45 , 0C= 2，求弦CD的长.(1)证： 0C= 0B1 AC为OAB的0B边上的中线，又 AC= _ 0B2 0AB是直角三角形，且0AB= 90，又0A为O 0的半径 AB是O 0的切线(2)解：显然，0A= 0C= AC,即厶0AC是等边三角形A0C= 60 , D= 30如图，过点A作AE CD于点E, ACD= 45 , AEC是等腰直角三角形,2、如图，PA PB切O0于 A B,点 M在 PB上，且 0M/AP, MN AP于 N.(1)求证：01= AN (2)若O 0的半径r 3 , PA= 9，求0M的长.(1 )证：如图，连接 0A T PA为O 0的切线， 0A AP,又 MN AP 0A/ MN 又 0M/AP,四边形0ANK是矩形，即0M= AN(2)解：如图，连接 0B / PB PA为O 0的切线0B= MNP= 90 , PB= PA= 9/ 0M/AP,. 0M= P,又 0B= 0A= MN 0BMPA MNP( AAS 01= PM 贝U 32+ OM=( 9-OM 2, OM= 53、如图，AB为O O的直径，半径 OC AB, D为AB延长线上一点，过 D作O O的切线,E为切点，连接CE交AB于F.(1)求证:DE= DF; (2)连接 AE,若 OM 1,BF= 3，求DE的长.(1 )证：如图，连接 OE OE DE,又 OCABC+ CFO=OEH DEF- 90又 C= OCFCFO= DFEDEF-DFE DE- DF/ PE为O O的切线,x轴上，以AB为弦的O M与x轴相切于F,(2)解：显然， OE= OB= OF+ BF= 4设 BD- X，贝U DE= DF= x 3 , OD- x 42 2 2二(x 3)4 (X 4) , x 4.5 DE= 7.54、如图，正方形 ABCC的顶点分别在y轴、已知A(0,8)，求圆心M的坐标.解：如图，连接FM交延长交AB于点ETO M与x轴相切，即OC是O M的切线 EF OC又四边形ABCO是正方形 EF AB,又 A ( 0, 8)即卩 AB- EM= OA= 8 AE = 4设 MF- AM= x，贝U EM= 8 x2 2 2- 4(8 x) x , x 5，即 MF= 5点M的坐标为(一4, 5)1、如图，BD为O O的直径，A为Be的中点，AD交BC于E,过D作O O的切线，交BC的延长线于 F. ( 1)求证：DF= EF; (2)若AE= 2, DE= 4,求DB的长.(1 )证：如图，连接 ABBAD=BDF= 90ABOAEB=ADBFDE= 90又 ABC=ADBAEB=DEFDFE=DEF, DE= EF(2)解：如图，过点 F作 FG ED,贝U EG= GD= 2 = AE,/ BD为O O的直径，DF为O O的切线又 BAE= FGE= 90 ,AEB=GEF, ABEA GFE(ASA), BE= EF,即卩DE为RABDF的斜边上中线DF= EF= DE= 4, BF= 8，贝U BD= 4,3OC AD CF DB于 F.2、如图，AB为O O的直径，C、D为O O的一点,(1)求证：CF为OO的切线；(2)若BF= 1, DB= 3,求O O的半径.(1) 证：T AB为O O的直径C DF AD,又 OC AD OC/ DF, 又 CF DB OC CF,又OC为O O的半径 CF为O O的切线(2) 解：如图，过点 C作CE BD于点E,贝U BE= DE= 1.5 , EF= 2.5又 OC CF, CF EF四边形OCFE是矩形O O有半径 OC= EF= 2.53、如图，以O O的弦AB为边向圆外作正方形 ABCD. ( 1)求证：0C= OD(2)过 D 作 DM切O 0于 M 若 AB= 2，DMk 2、2，求O 0 的半径.(1 )证：如图，连接 OA 0B贝U 0A= OBOAB= 0BA四边形ABCD是正方形 AD= BC,DAB= CBA= 900AD= 0BC 0AD2A OBC( SAS OC= OD(2)解：如图，连接 OM BD,贝U OM DM,且 BD=2 AB= 2、2 = DM又 OM= OB OD= OD ODM ODB( SSS) OB BD,又 ABD= 45OAB= 45 ,即厶OAB是等腰直角三角形 OA=4、如图，在厶 ABC中 , AC= BC,ACB= 90 ,以BC为直径的O O交AB于D.(1)求证：BDAD= BD(2)弦 CE交 BD于 M 若 S/abc 3S/bcm ,求 远.(1)略证：连接CD贝U CD AB又 AC= BC,ACB= 90 , AD= BD(2)解：如图，连接 BE过A作AN CE于N,-5/abc3Svbcm ,SvACM AN= 2BECAN= BCE AC= BC,ANC= ANCA CEB(AAS) BE= CN CE= AN设 CN= BE= X ,贝U CE= AN= BE= 2x ,2Svbcm BC= 5x , AB= .2 BC= .10x ,即BD=.10XBDCE,T041、如图，在过D作DFAC于 F.ABC中，AB= AC,以AB为直径的O O与边BC交于D,与边 AC交于E,(1)求证:(1 )证：如图，连接 AD OD/ AB为O O的直径, AD BC,又 AB= AC, OA= OBEAD=DAB= ADO OD/ AC,又 DF AC OD DF,又OD为O O的直径 DF为O O的切线(2)解：TEAD= DAB BD= DE=5,又 AB= 5, AD=/ DFX AC= ACK CD, DF= 2 , CF= EF=(、5)5221 , AE= 5 2= 32、如图，在 ABC中, AB= AC,以边 AB为直径作O(1)求证：DE是O O的切线；(2)连接OC若(1 )证：如图，连接AD OD 贝y AD BC又 AB= AC, CD= BD,又 AO= OB OD/ AC,又 DE AE OD DF, DE是O O的切线;(2 )解：如图，过点O作 OF BD于 F ,贝U BD= 2BFO,交 BC于 D,过 D作 DE AE./ AB= AC,CAB= 120 , B= 30设 OF= x ,则 BF= 3x , OB= 2x ,DF为OO的切线；(2)若DE= ,5 , AB= 5,求AE的长. AC= AB= 4x , CD= BD= 2 , 3x ,贝V CF= 3、： 3x由勾股定理，得 OC= 2 7x,由面积法，得 DE= J3X , 兴=21oc 143、如图，AB= AC点0在AB上，O O过点B,分别交 BC于D、AB于E, DF AC.(1) 证：DF为O 0的切线；(2)若AC切O 0于G,O 0的半径为3, CF= 1,求AC.A(1 )证：如图，连接 OD T AB = AC 0B= ODB= C= 0DB 0D/ AC,又 DF AC 0D DF,又0D为O 0的半径 DF为O 0的切线(2) 解：如图，连接 0G T AC为O 0的切线 0G AC,又 0D DF, DF AC 0* 0D四边形 0DFG是正方形，即 0B= 0& GF= 3设 Ad x,贝U AB= AC= x 4 ,贝U A0= x 1232C；Eta为Cd的中点， OA CD OG GEEG是O 0的切线OAGFAKF=OG件EGK又 0A&OGAAKF=EKGEGK=EKG Kd GE- x 3 (x 1) , x 4,则 AC= 8(1)求证：Dk3Kd GE (2)若 AC/ / EG,= - , AK= 2 10 ,求O 0的半径.CK54、如图，CD是O 0的弦，A为Cd的中点，E为CD延长线上一点，EG切O 0于 G.(1 )证：如图，连接 0G 0A交CD于点FCKA(2) 解：T AC/ EQ CAK=EGK 又 EGK= EKdCAK= CKA - CA= CK设 CK= CA= 5x ,贝U DK= 3x , CD= 8x , CF= 4x , EG= x AF= (5x)2(4x)2 3x在 Rt AFK中，(3x)2 x2(2.10)2 , x 2 CE= 8 , AE= 6 ,25设O 0 的半径为 R,贝y R! = 82+( R 6) 2, R=31、如图，AB是O O的直径，Ac Ce，点M为BC上一点，且CMk AC.(1 )证：如图，连接CE 贝U AC= CE= CMCME=CEMCEA=CBECBHBEM=CEAAEMAEM=BEM又 ABC=CBE(1)求证：ABE的内心；(2)若O 0的半径为5,点ABE的内心.AE= 8,求厶BEM勺面积.(2)解：如图，过点 M作MN BE于点N,贝U MN ABE的内切圆的半径 AB= 10, AE= 8,贝U BE= , 1Q2 8? 6 MN=6 8 1Qa b c MN =2aba b c1 BME的面积为一X 6 X 2 = 6.22、如图，O 0为厶ABC的外接圆，BC为直径，AD平分 BAC点皿是厶ABC的内心.(1)求证：BC= J2dM (2)若 DM=5 -2 , AB= 8,求 OMDAC= BCDBCMF BCD= DC(1 )证：如图，连接 BD CD/ BC为直径，AD平分 BAC BD= CDBDC= 90 , BC= ,2 CD连接 CM 贝U ACM= BCMDMC= ACW DAC= DM= CD 即 BC= .2 DM(2)解：显然，BC= i 2 DM= 10 , AB= 8,贝U AC= 6,且MAE= 45如图，过 M作ME BC于点N,作 MF AC于点F,贝U ME= MF= AF= 2 CF= CE= 4,贝U OE= 1 OM= 22 125.实用标准文档3、如图，AB为O O的直径，C为OO上一点，D是Be的中点，DE AB于E, I是厶ABD的内心，DI的延长线交O O于N.CE= 2,求O O的半径和IN的长.(1)求证：DE是O 0的切线；(2)若DE= 4,(1) 证：T D是Be的中点，0A= 0DCAD= DAO= ADO OD/ AE,又 DE AB OD DE,又OD为O 0的半径 DE是O O的切线.(2) 解：如图，过点 O作OF AC,则AF= CF/ DE AB, OD DE四边形 ODEF是矩形，贝U OF= DE= 4设O O 的半径为 R,贝y OA= OD= EF= R, AF= CF= R 2( R- 2) 2+ 42 =於, R= 5, AB= 10,如图，连接 BI , AN, BN,贝U IN = BN= AN= 5.24、如图，在厶 ABC中 , AB= AC,I是厶ABC的内心，O O交AB于E , BE为O O的直径.(1)求证：AI与OO相切；(2)若BC= 6 , AB= 5,求O O的半径.(1 )证：如图，延长 AI交BC于点D,贝U AD BC,连接 OI,贝UOIB= OBI = OI / BC,又 AD BC AD OI ,又OI为O O的半径 AI与O O相切(2)显然 B 3 , AB= 5,贝U AD= 42(4 x),贝U IF = x如图，过点I作IF AB于点F ,则设 IF = ID = x,则 AI = 4 X, x222232215设 O 的半径为 R,则 OF= 3 R, ( 3 R) +Q ) = R, R= 图一1图一21、如图，点P是等边 ABC外接圆BC上的一个动点，求证 PA= PB+ PC.证：如图，在 AP上截取P PC,连接CD/ ABC是 等边三角形，ABC= ACB= 60DPC= ABC= 60 PCD是等边三角形，即 CD= PCACDF BCD= BCN BCD= 60ACD= BCP 又 AC= BC ACDA BCP( SAS A BP PA= AD+ D9 PB+ PC.2、已知弦 AD BD且AB= 2，点C在圆上，CD= 1,直线 AD BC交于点E.(1) 如图1,若点E在O O外，求 AEB的度数；(2) 如图2,若 C D两点在O O上运动，CD的长度不变，点E在O O内，求 AEB的度数.解：(1)如图一1，连接OC OD/ AD BD AB为O O的直径，且 AB= 2 CD= OC= OD= 1,即厶OCD是等边三角形COD= 601CBD= 2COD=30AEB= 60(2)如图一2，连接OC OD1同理可得：ACD= 60 , CBD= 2COD=30又 ADB= 90 , AED= 120(2)如图一2,设C0Q= x ,又 A0C= 30 , QP= Q0Q0=QP0= x 30又 0C= 0Q0Q=0CQ= x 60 (x 60 )2(x 30 )1803、已知直线I经过O 0的圆心 0,且交O O于 A B,点C在OO上，且 A0C= 30，点P是直线I上一个动点(与 0不重合)，直线CP与O 0交于Q且QP= Q0.(1) 如图1,当点P在线段A0上时，求0CP勺度数；(2) 如图2,当点P在线段0A的延长线上时，求0CP勺度数；(3) 如图3,当点P在线段0B的延长上时，求0CP的度数.解：(1)如图1，设 0CP= x/ 0C= 0Q 贝y 0QP= x又 A0C= 30 , QP= Q0Q0P= QP0= x 30 2(x 30 ) x 1800C= x 40C0= x 200CP= 100(3) 如图一3,设 QP0= x QP= P0 贝y Q0= QP0= x - 0C= 0Q0CQ= 0QC= 2x x 2x 30QP0= x = 10 0CP= 20圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明 经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。由于圆是 一个特殊对称图形，而同学们往往考虑不周，丢掉另一种情况，造成失分较多， 现将圆中无图两解或多解试题列举如下，供同学们参考：1、已知O O的半径是6cm, O O的弦AB= 6 3，则弦AB所对的圆周角是答案：60或120 2、 若 AB是OO的直径，AC AD是弦，AB= 2，AC=、2，AD= 1，则/ CAD=.答案：15或1053、在直径为50cm的OO中，弦AB= 40cm,弦CD= 48cm,且AB/CD贝U AB与 CD之间的距离是答案：22cm或8cm4、 已知P点到O O的最短距离为2cm,最长距离为 6cm则O O的半径为答案：4cm或2cm5、 相交两圆的公共弦长为6cm,两圆的半径分别为 3、2，5,则这两圆的圆心距等于 _答案：7 cm或1 cm6、 点P是半径为5的O O内的一点，且 OP= 3cm,在过点P的所有弦中长度为整数的弦一共有条.答案：4条7、已知O O的半径为5cm,弦AB= 8, P为AB上一动点，且 OP长为整数，满足条件的 P点有个.答案：5个8、O O和O Q交于A B两点，且O O经过点 Q,若/ AOB= 90那么/ AOB的度数是.答案：135 或459、从不在O O上的一点 A,作O O的割线交O O于B、C,且AB- AC = 64, OA= 10,贝UOO的半径等于答案：2 41或610、 已知O O的半径为5cm AB是弦，P是直线 AB上的一点，PA= 3cm, AB= 8cm,贝U tan / OPB的值为3答案：3或3711、已知PA PB是O O的两条切线，点 C是O O上异于A B的一点，过C点切线交PAPB 于 D、E两点，若/ APB= 400,则/ DOE=答案：70或110 12、已知等腰厶ABC内接于O O,底边BC= 8cm,圆心O到BC的距离等于3cm,则腰长AB =答案：2、. 5 cm 或 4 . 5 cm13、 在厶ABC中，/ C= 90, AC= 3, BC= 4,若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则 R的取值范围答案：R= 2.4 或 3RW 414、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是答案：外离或内含15、在Rt ABC中，AB= 6, BC= 8,则这个三角形的外接圆的直径是答案：10或816、 已知O O和O Q仅有一条公切线，O O半径为3cm,且OQ= 5cm,则O Q的半径等于答案：2cm或8cm17、 已知O O上有A、B、C三点，若弦 AC的长恰好等于O O的半径，则/ ABC= _答案：30或15018、已知O O的半径是5cm, P是直线丨上的一点，且 OF= 5cm,那么直线l与O O的位置关系是.答案：相交或相切19、在厶ABC中，AB= AC= 5cm,且厶ABC的面积为12cni，则 ABC外接圆的半径为2525答案：一cm或 cm6820、 AB AC是O O的两条切线，A、B为切点，/ A= 50,点P是圆上异于 A、B的一动点,则/ BPC=答案：65或115