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1 1第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.直线kx+y-2=0(kR)与圆x2+y2+2x-2y+1=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.与k值有关2.已知圆的方程是x2+y2=1,则在y轴上截距为2的切线方程为()A.y=x+2B.y=-x+2C.y=x+2或y=-x+2D.x=1或y=x+23.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为()A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-44.(20xx山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.已知圆x2+y2=4,点A(3,0),动点M在圆上运动,O为坐标原点,则OMA的最大值为()A.蟺6B.蟺4C.蟺3D.蟺26.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.7.过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段,当其中劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.8.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.9.(20xx湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.10.已知点P(2+1,2-2),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.11.已知圆C经过点A(2,-1)并和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.B组提升题组12.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(aR)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(bR)恰有三条公切线,则a+b的最大值为()A.-32B.-3C.3D.3213.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,2),则四边形ABCD面积的最大值为()A.5B.10C.15D.2014.圆C:(x-3)2+(y-3)2=9上到直线l:3x+4y-11=0的距离为1的点有个.15.设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是.16.已知以点Ct,2t(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求证:OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.17.(20xx湖南东部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析A组基础题组1.D圆心为(-1,1),所以圆心到直线的距离为|-k+1-2|1+k2=|k+1|1+k2,所以直线与圆的位置关系和k值有关,故选D.2.C由题意知切线斜率存在,故设切线方程为y=kx+2,则2k2+1=1,所以k=1,故所求切线方程为y=x+2或y=-x+2.3.A因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以所以k=12,b=-4.4.B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为22,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|2=a2-2(a0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=2,则R-r20),由题意知|OM|=2,|AO|=3,当O、M、A共线时,OMA为0角.当O、M、A不共线时,由余弦定理可知cosOMA=4+x2-34x=14x+1x142=12(当且仅当x=1时等号成立),所以OMA的最大值为蟺3.6.答案254解析因为点A(1,2)在圆x2+y2=5上,故过点A的圆的切线方程为x+2y=5,令x=0,得y=52;令y=0,得x=5,故所求面积S=12525=254.7.答案22解析(1-2)2+(2)2=34,点M在圆C外部.当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d=|k-2+1-3k|k2+1=r=2,解得k=34.切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,过点M的圆C的切线长为|MC|2-r2=5-4=1.11.解析(1)设圆心C的坐标为(a,-2a),则(a-2)2+(-2a+1)2=|a-2a-1|2.化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.C(1,-2),半径r=|AC|=(1-2)2+(-2+1)2=2.圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,直线l的方程为y=-34x.综上所述,直线l的方程为x=0或y=-34x.B组提升题组12.D易知圆C1的圆心为C1(-a,0),半径为r1=2;圆C2的圆心为C2(0,b),半径为r2=1.因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.因为a+b22a2+b22,所以a+b32当且仅当a=b=32时取“=”,所以a+b的最大值为32.13.A如图,作OPAC于P,OQBD于Q,连OM,则OP2+OQ2=OM2=3,AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD22ACBD,则ACBD10,S四边形ABCD=12ACBD1210=5,当且仅当AC=BD=10时等号成立,四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.14.答案3解析圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为C(3,3),半径r=3.设圆心C到直线3x+4y-11=0的距离为d,则d=23,r-d=3-2=1.如图,满足题意的点有3个,分别为A、B、D(图中l1l,l2l,且l1、l2与l的距离都为1).15.答案(-,2-222+22,+)解析直线与圆相切,圆心到直线的距离d=半径r,d=|m+1+n+1-2|(m+1)2+(n+1)2=1,整理得m+n+1=mn,又m,nR,有mn(m+n)24,m+n+1(m+n)24,即(m+n)2-4(m+n)-40,解得m+n2-22或m+n2+22.16.解析(1)证明:圆C过原点O,|OC|2=t2+4t2.设圆C的方程是(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,令x=0,得y1=0,y2=4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,SOAB=12|OA|OB|=12|2t|4t=4,即OAB的面积为定值.(2)|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,OC垂直平分线段MN.kMN=-2,kOC=12.直线OC的方程是y=12x.2t=12t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=5,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=155,则圆C与直线y=-2x+4相离,t=-2不符合题意,舍去.圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.17.解析(1)设圆心C的坐标为(a,0)a-52,则|4a+10|42+32=2a=0或a=-5(舍去).所以圆C:x2+y2=4.(2)存在.当直线ABx轴时,对于x轴正半轴上任意点N,x轴都平分ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+y2=4,y=k(x-1)得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,所以x1+x2=2k2k2+1,x1x2=k2-4k2+1.若x轴平分ANB,则kAN=-kBNy1x1-t+y2x2-t=0k(x1-1)x1-t+k(x2-1)x2-t=02x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=02(k2-4)k2+1-2k2(t+1)k2+1+2t=0t=4.所以当点N为(4,0)时,能使得ANM=BNM总成立.
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