新版高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章 第7讲　函数的图象 Word版含解析

11第第 7 讲讲函数的图象函数的图象最新考纲1.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象 关于 x 轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象 关于 y 轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象 关于原点对称yf(x)的图象；yax(a0， 且 a1)的图象 关于直线 yx 对称ylogax(a0， 且 a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax).yf(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的 A(A0)倍yAf(x).(4)翻转变换yf(x)的图象 x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y|f(x)|的图象；yf(x)的图象 y 轴右侧部分翻折到左侧原 y 轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 yf(1x)的图象，可由 yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到.()(2)函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称即函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称.()(3)当 x(0，)时，函数 yf(|x|)的图象与 y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称.()解析(1)yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到 yf(1x)，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于 y 轴对称，后者是两个函数关于 y轴对称，故(2)错.(3)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错.答案(1)(2)(3)(4)2.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式为()A.f(x)ex1B.f(x)ex1C.f(x)ex1D.f(x)ex1解析依题意，与曲线 yex关于 y 轴对称的曲线是 yex，于是 f(x)相当于 yex向左平移 1 个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.答案D3.(20 xx浙江卷)函数 ysin x2的图象是()解析ysin(x)2sin x2，且 xR，函数为偶函数，可排除 A 项和 C 项；当 x2时，sin x2sin241，排除 B 项，只有 D 满足.答案D4.若函数 yf(x)在 x2，2的图象如图所示，则当 x2，2时，f(x)f(x)_.解析由于yf(x)的图象关于原点对称f(x)f(x)f(x)f(x)0.答案05.若关于 x 的方程|x|ax 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_.解析在同一个坐标系中画出函数 y|x|与 yax 的图象， 如图所示.由图象知当 a0 时，方程|x|ax 只有一个解.答案(0，)6.(20 xx绍兴调研)已知函数 f(x)2x，若函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对称，则 g(x)_；若把函数 f(x)的图象向左移 1 个单位，向下移 4 个单位后，所得函数的解析式为 h(x)_.解析g(x)的图象与函数 f(x)2x关于 x 轴对称，g(x)2x，把 f(x)2x的图象向左移 1 个单位，得 m(x)2x1，再向下平移 4 个单位，得 h(x)2x14.答案2x2x14考点一作函数的图象【例 1】 作出下列函数的图象：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y2x1x1；(4)yx22|x|1.解(1)先作出 y12x的图象，保留 y12x图象中 x0 的部分，再作出 y12x的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图实线部分.(2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位， 再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y21x1，故函数图象可由 y1x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位即得，如图.(4)yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时， 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出， 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练 1】 分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin |x|.解(1)y|lg x|lg x，x1，lg x，0 x1.函数 y|lg x|的图象，如图.(2)当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图象完全相同，又 ysin|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图.考点二函数图象的辨识【例 2】 (1)(20 xx全国卷)函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为()(2)(20 xx全国卷)如图，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB 的中点.点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 yf(x)的图象大致为()解析(1)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又 f(2)8e2(0，1)，排除选项 A，B.设 g(x)2x2ex，x0，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(2)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除 C，故选 D.(2)当 x0，4 时，f(x)tan x 4tan2x，图象不会是直线段，从而排除 A，C.当 x4，34 时，f4 f34 1 5，f2 2 2.2 21 5，f2 0，a1.则函数 g(x)|ax2|的图象是由函数 yax的图象向下平移 2 个单位，然后将 x轴下方的图象翻折到 x 轴上方得到的，故选 D.答案(1)B(2)D考点三函数图象的应用(多维探究)命题角度一研究函数的零点【例 31】 已知 f(x)|lg x|，x0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_.解析由 2f2(x)3f(x)10 得 f(x)12或 f(x)1作出函数 yf(x)的图象.由图象知 y12与 yf(x)的图象有 2 个交点， y1 与 yf(x)的图象有 3 个交点.因此函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点有 5 个.答案5命题角度二求不等式的解集【例 32】 函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式f（x）cos x0.当 x2，4时，ycos x0.结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x2时，f（x）cos x0.又函数 yf（x）cos x为偶函数，在4，0上，f（x）cos x0 的解集为2，1，所以f（x）cos x0，ln（x） ，x0有两个“伙伴点组”，则实数 k 的取值范围是()A.(，0)B.(0，1)C.0，12D.(0，)解析依题意，“伙伴点组”的点满足：都在 yf(x)的图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数 yln(x)(x0)的图象，使它与直线 ykx1(x0)的交点个数为 2 即可.当直线 ykx1 与 yln x 的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又 yln x 的导数为 y1x，则 km1ln m，k1m，解得 m1，k1，可得函数 yln x(x0)的图象过(0，1)点的切线的斜率为 1，结合图象可知 k(0，1)时两函数图象有两个交点.答案B规律方法(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【训练 3】 (1)(20 xx全国卷)设函数 yf(x)的图象与 y2xa的图象关于直线 yx 对称，且 f(2)f(4)1，则 a()A.1B.1C.2D.4(2)已知函数 yf(x)的图象是圆 x2y22 上的两段弧，如图所示，则不等式 f(x)f(x)2x 的解集是_.解析(1)设(x，y)是函数 yf(x)图象上任意一点，它关于直线 yx 的对称点为(y，x)，由 yf(x)的图象与 y2xa的图象关于直线 yx对称，可知(y，x)在 y2xa的图象上，即x2ya，解得 ylog2(x)a，所以 f(2)f(4)log22alog24a1，解得 a2，选 C.(2)由图象可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为 f(x)x.在同一直角坐标系中分别画出 yf(x)与 yx 的图象，由图象可知不等式的解集为(1，0)(1， 2.答案(1)C(2)(1，0)(1， 2思想方法1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程 f(x)g(x)的解的个数，求不等式的解集等.易错防范1.图象变换是针对自变量 x 而言的，如从 f(2x)的图象到 f(2x1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形 f(2x1)f 2x12 ，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.为了得到函数 y2x2 的图象，可以把函数 y2x 图象上所有的点()A.向右平行移动 2 个单位长度B.向右平行移动 1 个单位长度C.向左平行移动 2 个单位长度D.向左平行移动 1 个单位长度解析因为 y2x22(x1)，所以只需将函数 y2x 的图象上所有的点向右平移 1 个单位长度即可得到 y2(x1)2x2 的图象.答案B2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.故选 C.答案C3.(20 xx浙江卷)函数 f(x)x1x cos x(x且 x0)的图象可能为()解析(1)因为 f(x)x1x cos(x)x1x cos xf(x)，x且x0，所以函数 f(x)为奇函数，排除 A，B.当 x时，f(x)1 cos 0，排除C，故选 D.答案D4.(20 xx杭州一调)函数 y(x3x)2|x|的图象大致是()解析由于函数 y(x3x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称.当 0 x1 时，y1 时，y0.排除选项 A，C，D，选 B.答案B5.使 log2(x)x1 成立的 x 的取值范围是()A.(1，0)B.1，0)C.(2，0)D.2，0)解析在同一坐标系内作出 ylog2(x)， yx1 的图象， 知满足条件的 x(1，0)，故选 A.答案A二、填空题6.(20 xx丽水调研)函数 y2x12x1为_函数(填“奇”或“偶”)，函数 f(x)22x11 的对称中心为_.解析y2x12x1的定义域为R， 记g(x)2x12x1， 则g(x)2x12x112x2x1g(x)，g(x)即 y2x12x1是奇函数；函数 f(x)的定义域为 R，f(x)f(x)22x1122x112（2x1）2x124，故 f(x)的对称中心为(0，4).答案奇(0，4)7.如图，定义在1，)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则 f(x)的解析式为_.解析当1x0 时，设解析式为 ykxb(k0).则kb0，b1，得k1，b1，yx1.当 x0 时，设解析式为 ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得 a14.答案f(x)x1，1x0，14（x2）21，x08.设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解析如图作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象， 观察图象可知： 当且仅当a1， 即 a1 时， 不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，).答案1，)三、解答题9.已知函数 f(x)3x2，x1，2，x3，x（2，5.(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值.解(1)函数 f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为1，0，2，5.(3)由图象知当 x2 时，f(x)minf(2)1，当 x0 时，f(x)maxf(0)3.10.已知 f(x)|x24x3|.(1)作出函数 f(x)的图象；(2)求函数 f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根.解(1)当 x24x30 时，x1 或 x3，f(x)x24x3，x1 或 x3，x24x3，1x3，f(x)的图象为：(2)由函数的图象可知 f(x)的单调区间是(，1，(2，3)，(1，2，3，)，其中(，1，(2，3)是减区间；(1，2，3，)是增区间.(3)由 f(x)的图象知，当 0m1 时，f(x)m 有四个不相等的实根，所以 Mm|0m1.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.已知函数 f(x)x22x1，x0，x22x1，x0，则对任意 x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)f(x2)0C.f(x1)f(x2)0D.f(x1)f(x2)0解析函数 f(x)的图象如图所示：且 f(x)f(x)，从而函数 f(x)是偶函数且在0，)上是增函数.又 0|x1|f(x1)，即 f(x1)f(x2)0，b0，c0B.a0，c0C.a0，c0D.a0，b0，c0，c0，b0.令 f(x)0，得 xba，结合图象知ba0，a1，(1)若对任意的 xR，都有 f(x)|k1|成立，则实数 k 的取值范围为_；(2)若存在 xR，使|f(x)|k，则实数 k 的取值范围是_.解析(1)对任意 xR，都有 f(x)|k1|成立，即 f(x)max|k1|.因为 f(x)的草图如图所示，观察 f(x)x2x，x1，log13x，x1的图象可知，当 x12时，函数 f(x)max14，所以|k1|14，解得 k34或 k54.(2)|f(x)|的图象如图所示且|f(x)|0，)，存在 xR，使|f(x)|k，故 k 的取值范围是0，).答案(1)，34 54，(2)0，)14.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1x2 的图象关于点 A(0，1)对称.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)ax，g(x)在区间(0，2上的值不小于 6，求实数 a 的取值范围.解(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点 A(0，1)的对称点(x，2y)在 h(x)的图象上，2yx1x2，yx1x，即 f(x)x1x.(2)由题意 g(x)xa1x，且 g(x)xa1x6，x(0，2.x(0，2，a1x(6x)，即 ax26x1.令 q(x)x26x1，x(0，2，q(x)x26x1(x3)28，当 x(0，2时，q(x)是增函数，q(x)maxq(2)7.故实数 a 的取值范围是7，).15.已知函数 f(x)x2ax4(aR)的两个零点为 x1，x2，设 x10 时，证明：2x1 a2a，a a21620， a216a（a4）22.2x10，即 2x|2xa|(x2).当 a0 时，显然不成立，若 a0，作出 y2x 和 y|2xa|的函数图象如图：0a42，解得 0a8.若 a0，作出 y2x 和 y|2xa|的函数图象如图：有图象可知 2x0 不成立，不符合题意.综上，a 的取值范围是(0，8.