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数学思想专练数学思想专练(四四)转化与化归思想转化与化归思想题组 1正与反的相互转化1由命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的取值是()A(，1)B(，2)C1D2C命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，使 e|x1|m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1.2若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.15B35C.710D910D甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为 1110910.3若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1内至少存在一个值 c，使得 f(c)0，则实数 p 的取值范围为_.【导学号：04024018】3，32 如 果 在 1,1 内 没 有 值 满 足 f(c) 0 ， 则f10，f10p12或 p1，p3 或 p32p3 或 p32，取补集为3p32，即为满足条件的p 的取值范围故实数 p 的取值范围为3，32 .4若椭圆x22y2a2(a0)与连接两点 A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数 a 的取值范围为_0，3 22822，易知线段 AB 的方程为 yx1，x1,3，由yx1，x22y2a2，得 a232x22x1，x1,3，92a2412.又 a0，3 22a822.故当椭圆与线段 AB 没有公共点时，实数 a 的取值范围为0，3 22822，.5 已知点 A(1,1)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点， F1， F2是椭圆的两焦点， 且满足|AF1|AF2|4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点 B 是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B 两点关于原点 O 不对称.【导学号：04024019】解(1)由椭圆定义，知 2a4，所以 a2.所以x24y2b212 分把 A(1,1)代入，得141b21，得 b243，所以椭圆方程为x24y24314 分所以 c2a2b244383，即 c2 63.故两焦点坐标为2 63，0，2 63，06 分(2)证明：假设 A，B 两点关于原点 O 对称，则 B 点坐标为(1，1)，7 分此时|AB|2 2，而当点 B 取椭圆上一点 M(2,0)时，则|AM| 10，所以|AM|AB|10 分从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立12 分题组 2函数、方程、不等式之间的转化6若函数 f(x)x3tx23x 在区间1,4上单调递减，则实数 t 的取值范围是()A.，518B(，3C.518，D3，)Cf(x)3x22tx3，由于 f(x)在区间1,4上单调递减，则有 f(x)0 在1,4上恒成立，即 3x22tx30，即 t32x1x 在1,4上恒成立，因为 y32x1x 在1,4上单调递增，所以 t32414 518，故选 C.7已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)单调递增，则不等式 f(x1)f(12x)的解集为_.【导学号：04024020】(，0)(2，)f(x)在(，0)上单调递增，且 f(x)是偶函数，f(x)在(0，)上单调递减，又f(x)是偶函数，不等式 f(x1)f(12x)可化为f(|x1|)f(|12x|)，|x1|12x|，(x1)2(12x)2，解得 x0 或 x2，故原不等式的解集为(，0)(2，)8(本小题满分 12 分)设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR，(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1 成立.【导学号：04024021】解(1)由 f(x)ex2x2a，xR知 f(x)ex2，xR1 分令 f(x)0，得 xln 22 分于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减22ln 22a单调递增3 分故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，4 分单调递增区间是(ln 2，)，5 分f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a，无极大值6 分(2)证明：设 g(x)exx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR.7 分由(1)知当 aln 21 时，g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)08 分于是对任意 xR，都有 g(x)0，所以 g(x)在 R 上单调递增.9 分于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)10 分而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，都有 g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1 成立12 分题组 3主与次的相互转化9设 f(x)是定义在 R 上的单调递增函数，若 f(1axx2)f(2a)对任意 a1,1恒成立，则 x 的取值范围为_.【导学号：04024022】(，10，)f(x)是 R 上的增函数，1axx22a，a1,1式可化为(x1)ax210，对 a1,1恒成立令 g(a)(x1)ax21，则g1x2x20，g1x2x0，解得 x0 或 x1.即实数 x 的取值范围是(，10，)10已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_23，1由题意，知 g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有 g(x)0，即(a)0，10，10，即3x2x20，3x2x80，解得23x1.故当 x23，1时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0.11已知函数 f(x)13x3a243 x24323ax(0a1，xR)若对于任意的三个实数 x1，x2，x31,2，都有 f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围.【导学号：04024023】解因为 f(x)x2a83 x4323ax23 (xa2)，2 分所以令 f(x)0，解得 x123，x22a.3 分由 0a1，知 12a2.所以令 f(x)0，得 x23或 x2a；4 分令 f(x)0，得23x2a，所以函数 f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增.5 分所以函数 f(x)在1,2上的最小值为 f(2a)a6(2a)2，最大值为 maxf(1)，f(2)max13a6，23a6 分因为当 0a25时，13a623a；7 分当25a1 时，23a13a6，8 分由对任意 x1，x2，x31,2，都有 f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得 2f(x)minf(x)max(x1,2)所以当 0a25时，必有 2a6(2a)213a6，10 分结合 0a25可解得 122a25；当25a1 时，必有 2a6(2a)223a，结合25a1 可解得25a2 2.综上，知所求实数 a 的取值范围是 122a2 212 分
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