【最新教材】人教版高中数学选修11教案：2.4.1 抛物线及其标准方程

新教材适用高中选修数学第一学期高二年级数学（文科）集 体 备 课 教 案项目内容课题2.4.1 抛物线及其标准方程（共 1 课时）修改与创新教学目标知识与技能：使学生掌握抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。过程与方法：掌握开口向右的抛物线的标准方程的推导过程，进一步理解求曲线的方法坐标法；通过本节课的学习，学生在解决问题时应具有观察、类比、分析和计算的能力。情感、态度与价值观：通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育教学重、难点重点：抛物线的定义和标准方程难点：抛物线的标准方程的推导教学准备多媒体课件教学过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线今天我们将学习第四种圆锥曲线抛物线，以及它的定义和标准方程课题是“抛物线及其标准方程”请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线(二)抛物线的定义1回顾平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0e1时是椭圆，当e1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结3定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)下面，我们来求抛物线的方程怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一学生板练)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MDy轴于D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|化简后得：y2=2px-p2(p0)方案2：(由第二组同学完成，请一学生板练)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(如图)设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MDl于D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|化简得：y2=2px+p2(p0)方案3：(由第三、四组同学完成，请一学生板练)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p=M|MF|=d化简后得：y2=2px(p0)比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为2py，相应地左端为x2同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程方程是x2=-8y练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是2由三名学生板练，教师予以纠正这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解(五)课时小结本节课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用（六）布置作业到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=03根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)4求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程板书设计2.4.1 抛物线及其标准方程1.抛物线的定义2.抛物线的标准方程 例教学反思1.让学生自己探索如何建立坐标系，能使求得的方程最为简洁，提高学生知识的迁移能力。2.引导学生分析，坐标系还有哪些建立方式，求得的方程一样的简洁，并求出方程。