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大题冲关集训(五) 1.(20xx广东广州高三毕业班第二次综合测试)经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程;(2)证明:BAD=CAD.(1)解:法一设动圆圆心为(x,y),依题意得,x2+(y-1)2=|y+1|.整理得x2=4y.所以轨迹M的方程为x2=4y.法二设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线.且其中定点F(0,1)为焦点,定直线y=-1为准线.所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=14x2,则y=12x.设点D(x0,14x02),由导数的几何意义知,直线l的斜率为kBC=12x0.由题意知点A(-x0,14x02).设点C(x1,14x12),B(x2,14x22),则kBC=14x12-14x22x1-x2=x1+x24=12x0,即x1+x2=2x0.因为kAC=14x12-14x02x1+x0=x1-x04,kAB=14x22-14x02x2+x0=x2-x04.由于kAC+kAB=x1-x04+x2-x04=(x1+x2)-2x04=0,即kAC=-kAB.所以BAD=CAD.2.(20xx广东六校第二次质检)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点分别为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P,证明:OMOP为定值.(O为坐标原点)(1)解:依题意得a=2,b=c,b2=2,故椭圆方程为x24+y22=1.(2)证明:C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).直线CM的方程为y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程得(1+y028)x2+12y02x+12y02-4=0.解得x1=-2(y02-8)y02+8,y1=y04x1+12y0=8y0y02+8,即OP=(-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8),OPOM=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).3.(20xx河南洛阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k0)的交点为A、B,求OAB面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,故有|2|12+(-1)2=b,所以b=2.又e=ca=33,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以椭圆C的方程为x23+y22=1. (2)设点A(x0,y0)(x00,y00),则y0=kx0,设AB交x轴于点D,如图,由对称性知:SOAB=2SOAD=212x0y0=kx02.由y0=kx0,x023+y022=1,解得x02=62+3k2.所以SOAB=k62+3k2=62k+3k622k3k=62.当且仅当2k=3k,即k=63时取等号.所以OAB面积的最大值为62.4.(20xx广东省华师附中综合测试)如图,已知椭圆C:x24+y2=1的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、BP与直线l:y=-2分别交于点M、N.(1)设直线AP、BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1 k2为定值;(2)求线段MN的长的最小值;(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.(1)证明:A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x00, 直线AP的斜率k1=y0-1x0,PB的斜率k2=y0+1x0,又点P在椭圆上,所以x024+y02=1(x00),从而有k1k2=y0-1x0y0+1x0=y02-1x02=-14.解:(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),由y-1=k1x,y=-2,x=-3k1,y=-2.由y+1=k2x,y=-2,x=-1k2,y=-2.直线AP与直线l的交点M(-3k1,-2),直线BP与直线l的交点N(-1k2,-2).又k1k2=-14,|MN|=|3k1-1k2|=|3k1+4k1|=3|k1|+4|k1|23|k1|4|k1|=43,当且仅当3|k1|=4|k1|,即k1=32时取等号,故线段MN长的最小值是43.(3)当点P运动时,以MN为直径的圆恒过定点.设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则QMQN=0,故有(x+3k1)(x+1k2)+(y+2)(y+2)=0,又k1k2=-14,所以以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+(3k1-4k1)x=0,令x=0,得(y+2)2-12=0,解得y=-2+23,或y=-2-23,所以以MN为直径的圆恒过定点(0,-2+23)或(0,-2-23).5.(20xx年高考江西卷)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x0b0)的离心率为33,直线l:x-y+2=0与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)若A(x1,2),B(x2,y2),C(x0,y0)是C2上不同的点,且ABBC,求y0的取值范围.解:(1)e=33,所以e2=c2a2=a2-b2a2=13,所以2a2=3b2,又因为直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,所以22=b,b2=2,a2=3,所以椭圆C1的方程是x23+y22=1.(2)因为|MP|=|MF2|,所以,动点M到定直线l1:x=-1的距离等于它的定点F2(1,0)的距离,所以,动点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,p2=1,所以点M的轨迹C2的方程为y2=4x.(3)由(1)知A(1,2),B(y224,y2),C(y024,y0),y02,y0y2,则AB=(y22-44,y2-2),BC=(y02-y224,y0-y2),又ABBC,所以ABBC=0,于是y22-44y02-y224+(y2-2)(y0-y2)=0,整理得y22+(y0+2)y2+16+2y0=0,此方程有解,所以=(y0+2)2-4(16+2y0)0,解得y0-6或y010,所以,点C的纵坐标y0的取值范围是(-,-610,+).
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