资源描述
第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换1.1.定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积(Inner product) 2.2.内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0, 0, )4( xxxxx时时有有且且当当 ;, zxyxzyx 或或 ;, yxyx 或或, )5(2yyxxyx施瓦茨不等式施瓦茨不等式1.1.定义定义2 2 非非负负性性. 1齐齐次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：; 0,; 0, xxxx时时当当时时当当 ;xx .yxyx (norm)维维向向量量间间的的夹夹角角单单位位向向量量及及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的的夹夹角角与与求求向向量量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 时时当当. 的的与与维维向向量量称称为为yxn夹角夹角2. 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念. ,0,yxyx与与称称向向量量时时当当 正交正交. , ,与与任任何何向向量量都都正正交交则则若若由由定定义义知知xx 假设一非零向量组中的向量两两正交，那么称该向假设一非零向量组中的向量两两正交，那么称该向量组为正交向量组量组为正交向量组(orthogonal), 0021111 T由由.01 从从而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21线线性性无无关关故故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线性无关.线性无关.则则非零向量非零向量是一组两两正交的是一组两两正交的维向量维向量若若rrn, 2121定理定理1例例1 1 三维向量空间中两个向量三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 向量空间的正交基向量空间的正交基., 212121的的正正交交基基向向量量空空间间是是则则称称组组是是两两两两正正交交的的非非零零向向量量且且的的一一个个基基是是向向量量空空间间若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx则有则有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 标准正交基标准正交基. ,)( , 212121 的的一一个个规规范范正正交交基基是是则则称称向向量量两两两两正正交交且且都都是是单单位位如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如定义定义3.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一个个规规范范正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R 求标准正交基的方法求标准正交基的方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设,21212121rrrreeeeeeVV ., 21范正交化范正交化这个基规这个基规把把r 下面介绍施密特正交化方法下面介绍施密特正交化方法Gram-Schmidt orthogonalizations method 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等价价与与且且两两两两正正交交那那么么rrraabbbb(2) 单位化单位化 , 取取,222111rrrbbebbebbe .,21的一个规范正交基的一个规范正交基为为那么那么Veeer222321113133,bbbabbbbabab ,1112122bbbabab (1) 正交化正交化 , 取取 ，11ab ,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaar例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量规范正交化量规范正交化特正交化过程把这组向特正交化过程把这组向试用施密试用施密设设 aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即即为为所所求求eee .,1 , 1 , 14 321321两两两两正正交交使使求求非非零零向向量量已已知知例例 T 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把根底解系正交化，即合所求亦即取把根底解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a定义定义4 4 . , 1正正交交矩矩阵阵为为称称则则即即满满足足阶阶方方阵阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换Pxy P性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变.(.(还有还有P118)P118)证明证明,为正交变换为正交变换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则则有有解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例 判别以下矩阵是否为正交阵判别以下矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912
展开阅读全文