加强计算能力训练注重综合思维能力培养

08年数学一考试大纲变化解析考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计试卷结构（一）题分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟（二）内容比例高等教学约56线性代数约22%概率论与数理统计22（三）题型比例填空题与选择题约37解答题(包括证明题)约63%解析：2008年数一试卷结构变化比较有特点：1试卷分值、考试时间，以及数一3科相对的内容比例上都没发生变化；保证了我们可以基本上延续以往的考研复习经验，而且可以很大程度上借鉴以往考生各科的复习时间安排和复习策略等等2结构的变化体现在题型的设置上大幅度降低了客观题（填空与选择）的比重，只占到总题型的37%（原为45%），相应地大大增加了主观题的比重，占到总题型的63%（原为55%），这说明08年的数学考试更注重我们对所学知识的融会贯通的理解和对综合应用能力的考核，这也从很大程度上提高了数学成绩的可信度，同时这样需要我们在复习的过程中更加注重自己对综合解答题和证明题的练习，提高做主观题的准确度线性代数考试大纲(一)、行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1了解行列式的概念，掌握行列式的性质2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式(二)、矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试要求：1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵4理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法5了解分块矩阵及其运算(三)、向量考试内容：向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质考试要求：1理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念2理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系(调整前知识点：了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的关系)5了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念6了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵7了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法8了解规范正交基、正交矩阵的概念，以及它们的性质(四)、线性方程组考试内容：线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解考试要求l会用克莱姆法则2理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件3理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法4理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5掌握用初等行变换求解线性方程组的方法(五)、矩阵的特征值和特征向量考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求：1理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量2理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法3掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(六)、二次型考试内容：二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求：1掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理2掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形3理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法线性代数复习重点1线性代数各个章节之间联系非常紧密，行列式、矩阵、向量是一环扣一环的行列式的主要内容是行列式的意义、性质等，重点是行列式的展开一个矩阵A乘上A的伴随矩阵A* 等于A的行列式乘以单位阵，这个公式与每一章节都有联系，所以要重点把握住2矩阵是一个基础，矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算矩阵运算里一个很重要的内容就是初等变换，可以求向量组的秩，还会解方程组，求逆矩阵一般来讲是在右端加一个矩阵，作行变换，单纯求矩阵或者向量组的秩即可以做行变换也可以做列变换，如果把这个向量组当作是矩阵的列向量组，不仅仅求秩还要把其余向量线性表示，其实线性表示本质就是解方程组，求特征向量也是解方程组的问题3向量这部分是逻辑性非常强的部分，要求非常熟悉教材里重要的定理，比如说第一个向量组由第二个向量组表示，第二个向量组线性无关，可以推出第一个向量组含向量的个数小于第二个向量组含向量的个数，这个定理考过多次，2003年单独考了一个选择题其实这个题可以换一种方式记一下，一个线性无关的向量组不可能有一个比他的个数还少的向量组的线性表示，这句话就表示了前面的定理，它的几何直观就是指一个高维空间的东西不能放到低维空间，至少放到同维空间，比如一个立体的东西是放不到一个平面中去的，放不到一个直线上去的。线性相关和线性无关可以直接考，有时候也可能间接的考，比如要证明基础解系的时候，要求证明它的线性无关，直接考要结合线性方程组考，结合不同特征值的特征向量的形式考4方程组中，解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚注意矩阵与线性方程组的关系，有时候是把矩阵的问题化成线性方程组来做，有时候是把线性方程组的问题化成矩阵来解决5方阵的特征值和特征向量，这一点一定要注意，是线性代数重点的重点，每年一定要在这里面出大题对于具体的特征值计算只需解一个方程，特征向量就是求齐次方程组的基础解系6二次型只要写出其对应的矩阵，问题都可以转化为对称矩阵的对角型来讨论合同变换是把二次型化为标准形的过程中引进的一个非退化的线性变换，新的二次型所对应的矩阵是一个对角型矩阵，这两个矩阵是合同的，应该注意合同矩阵它满足的相应的性质，整个线性代数里矩阵之间有三种最典型的关系：两个矩阵相似，等价，合同，注意这些关系的联系和差别，这三种关系里面等价关系是最弱的一个关系，两个矩阵是相似，两个矩阵合同，那这两个矩阵一定是等价的，但是反过来不成立，相似与合同矩阵之间不能够互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的跟高等数学和概率统计来比较的话，线性代数概念比较多，公式比较多，要记的结论也比较多，前后知识的联系特别紧密，但是每年线性代数的题量已经规定了，考五个题，填空选择题三个，剩下两个大题，内容实际上也刚好是三大块：行列式矩阵可以看作是线性代数的基础，向量和线性方程组可以看作是同一事物的两个不同的表现形式，再有二次型围绕向量和线性方程组基本每年考一个大题，围绕向量和二次型某种意义上来讲，也会看作是同一事物的两个不同方面，每年考一个大题，围绕特殊向量基本上也是考一个大题，希望大家复习的时候应该有针对性的把矩阵和行列式这块基础打好，然后把向量和线性方程组这部分典型的情况弄清楚，有针对性的进行系统的归纳和总结，这样不管考填空题还是选择题还是考大题，题一出来基本上我们就可以比较清楚的判断，拿到这种题有哪些是典型的分析思路，有哪些是典型的可以求解的方法，在做题过程中间，有没有相应的做题技巧，有没有值得注意的一些隐含的条件，它是从哪一种角度来归类和分析的，这样总体上把握以后，拿到这种题就比较有信心的相应的找到一个比较简便的、快速的准确的求解的方法历年线性代数试题分布情况(110年考题总数：51题 2总分值：256分 3占三部分题量之比重：23%4占三部分分值之比重：20%)第一章 行列式 (110年考题总数：5题 2总分值：18分 3占第二部分题量之比重：9%4占第二部分分值之比重：7%)题型 1 求矩阵的行列式（十（2），2001；一（5），2004；一（5），2005；一（5），2006）题型2判断矩阵的行列式是否为零（二（4），1999）第二章 矩阵 (110年考题总数：8题 2总分值：35分 3占第二部分题量之比重：15%4占第二部分分值之比重：13%)题型 1 判断矩阵是否可逆或求逆矩阵（八，1997）题型 2 解矩阵方程或求矩阵中的参数（一（4），1997；十，2000；一（4），2001）题型3 求矩阵的n次幂和秩（十一（3），2000，二（15）， 2007）题型4 初等矩阵与初等变换的关系的判定（二（11），2004；二（12），2006）题型5 矩阵关系的判定（二（12），2005）第三章 向量 (110年考题总数：9题 2总分值：33分 3占第二部分题量之比重：17%占第二部分分值之比重：12%)题型 1 向量组线性相关性的判定或证明（十一，1998；二（4），2000；十一（2），2000；二（4），2003；二（12），2004；二（11），2005；二（11），2006，一（7），2007）题型 2 根据向量的线性相关性判断空间位置关系或逆问题（二（4），1997；二（4），2002）第四章 线性方程组（共考过约11题， 约 67分）题型 1 齐次线性方程组基础解系的求解或判定（七（1），1997；九，2001）题型 2 求线性方程组的通解（十二，1998；九，2002；三（20（），2005）题型 3 讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组有解时求出通解（三（20），2004；三（21），2005）题型 4根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其他（一（4），2000；三（20），2006）题型 5 两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定（一（5），2003；三（21），2007）题型 6 直线的方程和位置关系的判定（十，2003）第五章 矩阵的特征值和特征向量 (110年考题总数：13题 2总分值：76分 3占第二部分题量之比重：25%占第二部分分值之比重：29%)题型 1 求矩阵的特征值或特征向量（一（4），1999；十一（2），2000；九，2003；三（21（），2006，三（22（），2007）题型 2 已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数（七（2），1997；三（21），2004）题型 3 已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征值或参数或逆问题（一（4），1998；十，1999）题型 4 将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化（七（2），1997；三（21），2004；三（21（），2006，三（22（），2007）题型 5 矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵（二（4），2001；十（1），2001，一（8），2007）题型 6 矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定（十，2002）第六章 二次型 (110年考题总数：5题 2总分值：27分 3占第二部分题量之比重：9% 4占第二部分分值之比重：10%)题型 1 化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换（三（20（），2005）题型 2 已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵（十，1998；一（4），2002） 题型 3 已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式（三（20（），2005）题型4 矩阵关系合同的判定或证明（二（4），2001，一（8），2007）题型5 矩阵正定的证明（十一，1999） 线性代数知识总结一、行列式部分1、行列式的计算方法：按定义计算，三角化，分拆法，加边法，范德蒙(Vandermonde)行列式，归纳法，递推法2、按行列展开的公式：3、设A为n阶方阵，则有4、设为方阵， 有惟一解可逆的行（列）向量组线性无关5、设为方阵，因此的全部特征值不为06、设为方阵，7、8、准对角和三角分块矩阵的行列式：二、矩阵1、设为n阶方阵，则有 进一步，为可逆矩阵当且仅当2、如果A与B均是mn矩阵，如果A可经有限次初等变换变为B，则称A等阶于B3、初等行变换可以把矩阵A化为行阶梯形(简化行阶梯形， 最简行阶梯形)4、初等矩阵是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵5、任一n阶可逆矩阵A必是有限个初等矩阵的乘积6、任何可逆方阵可以只经过初等行变换将其变为单位矩阵，也可以只经过初等列变换将其变为单位矩阵7、对一个mn矩阵A， A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩 8、初等变换不改变矩阵的秩9、常用的矩阵秩的关系（1）r(A)= r(AT) (2) r(A)= r(kA) (k0) (3) r(A) minm，n (4) 如果B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆矩阵， A是nm矩阵， 那么r(BA)= r(AC) =r(BAC)= r(A)(5)设A为mn， B为nk， 则 (6) 设A与B为同型矩阵，则 (7)若A为mn矩阵，B为np矩阵，则有特别地，当AB=0时，有 （8）设有实矩阵，则10、如果矩阵有一个阶子式不为零，那么该子式所在的行向量组和列向量组线性无关；若矩阵某行(列)线性相关，则该行(列)所能选出的阶子式全为零反之， 若矩阵的某行(列)所形成的向量组线性无关，则该行(列)所能选出的阶子式至少有一个不为零11、矩阵的等价与向量组等价的联系和区别矩阵与等价的充要条件有典型的三种说法：(1) 存在可逆矩阵和使得；(2) 存在可逆矩阵，使得；(3) 两组维列向量组与等价的充要条件是存在n阶方阵X与Y，使得同时成立因此两组维列向量组与等价，一定有矩阵与等价，因为矩阵的秩相同； 矩阵与等价，不一定有维列向量组与等价，因为向量组的秩相同，不一定有向量组等价三、向量1、设是一组n维向量，而是一组数，若，称为的线性组合（线性表示）2、设有维向量组， 若存在不全为零的数， 使 ，则称向量组是线性相关否则称线性无关，也就是说，若线性无关，则上式成立当且仅当3、如果设，讨论的线性相关(无关)问题，实际上是讨论齐次线性方程组是否有非零解问题有非零解，则是线性相关；没有非零解，则线性无关4、一个向量线性相关当且仅当，一个向量线性无关当且仅当5、如果线性无关，但线性相关，那么能惟一表示成的线性组合6、如果线性相关，则线性相关如果线性无关，则它的任意子向量组线性无关；7、对于维向量组，如果，则该向量组必定线性相关8、维向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合9、设两个维向量组为，若向量组中的每个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示如果还有向量组可由向量组线性表示，则称两个向量组等价记， 因此若有使得，则向量组可由向量组表示 同时这也说明的列向量组可由的列向量组线性表示，也有的行向量组可由的行向量组线性表示10、设向量组的一个部分组满足： (1) 线性无关，(2) 向量组中每一个向量均可由线性表示则称是该向量组的一个极大线性无关组由于一个向量组的部分组总可由原向量组线性表示，因此一个向量组和它的极大无关组是等价的11、设向量组可由向量组线性表示若，则向量组线性相关12、若向量组可由向量组线性表示，且向量组线性无关，则13、若向量组与向量组等价，且线性无关向量组，则14、一个向量组的两个极大线性无关组所含向量的个数是一样的15、向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩16、若向量组可由向量组线性表示，则的秩不大于的秩17、等价向量组的秩相同 其逆不成立例如：在中设，该向量组秩为2； 向量组秩2但是与不等价18、矩阵初等行(列)变换不改变列(行)向量组的线性相关性和线性组合关系19、矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩20、设，则(1) 有个线性无关的列；当，的列向量组线性无关；当，的列向量组线性相关(2) 有个线性无关的行；当，的行向量组线性无关；当的行向量组线性相关(3) 当为方阵，可逆的列向量组线性无关的行向量组线性无关21、在向量组的相同位置任意添加一个分量得到向量组若线性无关，则线性无关；若线性相关，则线性相关22、设V是数域(为实数域或复数域)上的n维向量构成的非空集合，如果V对于加法及数乘两种运算封闭，即(1) 若对任意的，则；(2) 若对任意的，则称集合V为数域上的向量空间若为实（复）数域，则称V为实（复）向量空间23、设是向量空间，如果存在，使得（1）线性无关；（2）对任意，能表示成的线性组合，则称为的基，为的维数，记为，并称为r维向量空间零空间的维数规定为024、设是向量空间，是的一组基那么对任意，能惟一地表示成称为关于基的坐标25、设和是向量空间的两组基则，称为由基到基的过渡矩阵 可逆26、在向量空间中，基到基的过渡矩阵为中向量在基和基下的坐标分别为，那么，或者27、设有向量，令，称为的内积定义了内积的向量空间称为欧氏空间(Euclidean Space) 称为的长度(或范数) 28、（Schwarz不等式）；，当时，称与正交， 记为显然，零向量与任何向量正交29、设，如果两两正交，即，则称为正交向量组如果进一步有，则称为标准正交正交组 在中，若有是标准正交正交组，则称为的标准正交基30、设为的标准正交基，(1) 对任意，有(2) 若记，则方阵满足，称这样的方阵为正交矩阵 方阵为正交矩阵的充要条件是的列(行)向量组为标准正交向量组31、(施密特正交化方法) 设是欧氏空间中的线性无关向量组，则由如下方法： 所得的向量组是标准正交向量组四、线性方程组1、克莱姆(Cramer) 法则：n个方程组成、关于n个未知量的线性方程组，如果系数行列式不为0，则这也可以看做：，A可逆，故的展开式2、Gauss消元法解线性方程组的整个过程就是对增广矩阵进行初等行变换的过程：化为简化行阶梯形（消元），再最简行阶梯形(回代)3、对于齐次线性方程组，若记，下列条件等价(1) 有非零解；(2) 存在一组不全为0的数，使得；(3) 线性相关特别地：当(变量个数方程个数)时，一定有线性相关从而此时齐次线性方程组一定有非零解； 只有零解的充分必要条件是线性无关，即4、对于非齐次线性方程组，若记，下列条件等价(1) 有解；(2) 能被线性表示；(3) ；(4) 的极大线性无关组也是的极大线性无关组；(5) 特别地， 有惟一解的充要条件为；当为方阵时，有惟一解的充要条件为，即可逆5、n元线性方程组(1) 无解的充分必要条件是；(2) 有惟一解的充分必要条件是；(3) 有无限多解的充分必要条件是6、记齐次线性方程组全体解为，设（1）是的向量子空间（2）7、非齐次线性方程组的解集显然不构成一个线性空间（零向量不是非齐次方程组的解）但它仍然具有某种结构（1）非齐次线性方程组的任意两解之差是对应齐次线性方程组(或称导出方程组)的解（2）(结构定理) 设非齐次线性方程组有解，则其一般解(通解)为，其中为的一个特解， 是对应的齐次线性方程组的一般解五、特征值与特征向量1、(1) 设A有特征值，那么有特征值；(2) 设可逆且有特征值，则有特征值；(3) 设可逆且有特征值，则有特征值2、设方阵的个特征值为，则(1) ； (2) 3、设是的特征值，令(的对应于的所有特征向量与零向量的并)是的线性子空间 称为对应于的特征子空间， 称为几何重数4、设n阶矩阵的全部相异特征值为，相应的代数重数为即那么的基础解系中向量的个数不超过(几何重数不大于代数重数) 5、设是方阵的相异特征值，是相应于的特征向量，那么线性无关6、设是方阵的相异特征值，对应的线性无关特征向量组为 ，则线性无关7、若A与B相似，则(1) ；(2) ；(3) 与的特征多项式相同，因此与有相同的特征值；(4) 与迹相同8、可相似于对角矩阵当且仅当有个线性无关的特征向量（相似变换矩阵的个列就是特征向量，对角矩阵的元素就是特征值）；相似于对角阵当且仅当的每个特征值的代数重数与几何重数相等；如果有个相异的特征值，则相似于对角矩阵9、设为实对称矩阵，则有(1) 的特征值为实数；(2) 的对应于不同特征值的特征向量是正交的10、设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使得11、求方阵幂的方法：归纳法，拆分法，对角化法六、二次型1、实二次型与实对称矩阵一一对应2、设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵C，使得B = CTA C，则称A，B是合同的，记作AB 对一个n阶对称矩阵A作一次初等列变换的同时作一次相应初等行变换，得到的矩阵B是与A合同的 称这样的变换为对称矩阵的合同变换3、任意一个二次型都可以经过非退化线性变换化为平方和的形式（标准形）4、对任何一个n阶对称矩阵A，一定存在可逆矩阵C，使CTA C为对角矩阵5、称为实二次型f (x1， x2， ， xn)的规范形 （惯性定理）任何一个实二次型可经非退化线性变换化为规范形，且规范形是惟一的6、对任何一个实二次型f (x1， x2， ， xn)，一定有正交变换x = Q y， 使得f (x1， x2， ， xn) =l1 y12 +l2 y22 + + ln yn2 如果不考虑变量顺序，实二次型在正交变换下的标准形是惟一的，各平方项的系数恰为A的全部特征值 A的非零特征值的个数就是A的秩；A的正特征值的个数恰为A的正惯性指数；A的负特征值的个数就是A的负惯性指数7、设f(x1， x 2， xn )是n元实二次型， 如果对于任何不全为零的实数c1， c2， ， cn， 都有f (c1， c2， ， cn) 0，则称实二次型f (x1， x2， ， xn)是正定的对应矩阵称为正定矩阵8、对于实二次型f (x1，x2，xn) = xT A x，下列条件等价1) f (x1，x2，xn)是正定的；2) f的正惯性指数与秩相等，即f (x1，x2，xn )的规范形为y12 + y22 + + yn2 ；3) 有可逆矩阵C，使得 ；4) 有n阶可逆方阵C，使得A = CT C；5) A的所有主子式皆大于0加强计算能力训练 注重综合思维能力培养谈考研线性代数复习众所周知，教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是：严格按照考试大纲规定的考试内容与考试要求命题，试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主，要加强对考生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查 根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点，考生在备考阶段的复习，一方面要重视“三基”，通过全面系统的复习，扎扎实实把基础打好；另一方面要注重能力的培养，特别是计算能力和综合思维能力的培养基础的重要性是不言而喻的，没有基础，其他方面都无从谈起，但较好地把握了基础后，想要进一步有所提高，就必须注重能力的训练了线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分 例1 （2007年）设3阶实对称矩阵A的特征值为，是A的属于的一个特征向量，记，其中E是3阶单位矩阵，（）验证是B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量；（）求矩阵B分析：本题解法非常直接，主要用到特征值与特征向量的概念性质，实对称矩阵的相似对角化等知识点(1) 设A有特征值，那么有特征值；(2) 实对称矩阵的特征值为实数，属于不同特征值的特征向量正交；(3) 设A为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P使得解 （） 由，知，故是B的属于特征值的一个特征向量因为矩阵A的全部特征值为，故B的全部特征值为，即B的全部特征值为由，知B的属于特征值的全部特征向量为，其中为非零的常数因为A为实对称矩阵，所以B也为实对称矩阵，设为B的属于特征值1的任一特征向量，由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，得， 即 解得该方程组的基础解系为故B的属于特征值1的全部特征向量为，其中为不全为零的常数（）令，则，因为，所以例2 （2003年）设矩阵 的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A*及，然后计算B=P-1A*P及B+2E，最后求B+2E的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果解 由又由可得于是 根据可知B+2E的特征值为解 9E-(B+2E) x =0，得基础解系为因此属于的所有特征向量为是不全为零的任意常数解3E(B+2E) x =0，得基础解系为 为非零的任意常数评注 本题直接计算，工作量是相当大的若由定义A =，有若求出A的特征值及对应特征向量， 则B+2E的特征值为及对应特征向量P-1这样就不必求A* 且根据的特征值为0，0，6，从而A的特征值为1，1，7例3 (2006) 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2 求a， b的值和方程组的通解 分析：本题考察矩阵的秩，非齐次方程组的求解等，涉及的知识点有：非齐次线性方程组的解的性质，解的结构，齐次线性方程组的基础解系，向量组的线性相关性，矩阵秩的定义，用初等变换求解方程组等解： 设是方程组的3个线性无关的解，则是Ax=0的两个线性无关的解于是Ax=0的基础解系中解的个数不少于2，即4-r (A) 2，从而r (A) 2又因为A的行向量是两两线性无关的，所以r (A) 2，两个不等式说明 r (A) = 2 对方程组的增广矩阵作初等行变换：由r (A) = 2，得出a = 2，b = -3代入后继续作初等行变换： 求出一个特解(2，-3，0，0)T和Ax = 0的基础解系(-2，1，1，0)T，(4，-5，0，1) T得到方程组的通解： (2，-3，0，0)T+c1(-2，1，1，0)T+c2(4，-5，0，1)T， c1，c2为任意常数例4 已知3阶矩阵A的第一行是，其中不全为零，矩阵，（为常数），且，求线性方程组的通解解：由知，又则(1) 若，则必有，此时，方程组的通解为，（为任意常数）(2) 若，则，线性方程组可化为，且满足若，方程组的通解为，（为任意常数），若，方程组的通解为，（为任意常数）注：也可直接对和进行讨论 例5 (2003年)已知齐次线性方程组其中试讨论满足何种关系时，(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系分析 本题直接利用：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度 解 方程组的系数行列式(1)当；(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为由可知ai(i=1，2，n)不全为零，不妨设因为秩r(A)=1，取为自由未知量，可得方程组基础解系为，当，系数矩阵可化为 由于秩r(A)=n1，易知Ax=0的基础解系为评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为而r(B)=1，可方便地求出B的特征值为0，0，0，于是的特征值为从而根据特征值可求出行列式为 评注2 当时，注意到系数矩阵A的秩为r(A)=n-1，而显然为Ax=0的一个解，即可作为基础解系例6 (2000年) 设，其中是的转置，求解方程 解：将代入下式得 由 得 又 ， 所以 即 对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 方程组等价于 即 为导出组的基础解系 为方程组的一个特解故通解为 例7 (2006年) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量，都是齐次线性方程组Ax = 0的解 求A的特征值和特征向量； 求作正交矩阵Q和对角矩阵L，使得 Q TAQ=L 分析：本题考察实对称矩阵的性质，矩阵的特征值和特征向量，施密特正交化和矩阵的相似对角化等，A的各行元素之和都为3可得A有特征值3，Ax = 0可得0为A的特征值，且0对应的特征向量由齐次线性方程组Ax = 0的基础解系确定解： 条件说明A(1，1，1)T=(3，3，3)T，即 是A的特征向量，特征值为3，又都是Ax=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0，由于线性无关， 特征值0的重数大于1于是A的特征值为3，0，0属于3的特征向量：；属于0的特征向量：不全为0 将单位化，得，对作施密特正交化，得作，则Q是正交矩阵，并且例8 设二次型，其中a、b为实数，问a、b满足什么条件时，二次型f正定 解：二次型 f的矩阵A的各阶顺序主子式的值与它的阶数n的奇偶性有关： （1）当n=2m+1时，二次型f的矩阵为它的各阶顺序主子式为 （2）当n=2m时，二次型f的矩阵为它的各阶顺序主子式为综合（1），（2）可知：当时，二次型f是正定的二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的例如有关A*的公式结论有：AA*= A*A=|A|E，由此还可推出一系列相关的公式： (2)若A可逆，则A *=| A | A -1， (A*)-1(3) (4) (5) 若A可逆，且为A的特征值，则A*有一个特征值为(6) 对任何一个实二次型f (x1， x2， ， xn)，一定有正交变换x = Q y， 使得f (x1， x2， ， xn) =l1 y12 +l2 y22 + + ln yn2 如果不考虑变量顺序，实二次型在正交变换下的标准形是惟一的，各平方项的系数恰为A的全部特征值 A的非零特征值的个数就是A的秩；A的正特征值的个数恰为A的正惯性指数；A的负特征值的个数就是A的负惯性指数(7) 对于实二次型f (x1， x2， ， xn) = xT A x，下列条件等价1) f (x1， x2， ， xn)是正定的；2) f的正惯性指数与秩相等，即f (x1， x2， ， xn )的规范形为y12 + y22 + + yn2 ；3) 有可逆矩阵C，使得 ；4) 有n阶可逆方阵C，使得A = CT C；5) A的所有主子式皆大于0例9 已知A，B为三阶相似矩阵，为A的两个特征值，且，求解：因为A，B为相似矩阵，则，又由特征值的性质，知，从而因此的特征值为2，2，3，即，而，从而例10 （2000年）设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B分析 本题相当于解矩阵方程若先从A*求出A-1及A，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大考虑到题设与A*有关，若先用A*A=AA*=|A|E化简，则方便得多解 由ABA-1=BA-1+3E先右乘A，得 AB=B+3A，再左乘A*，并利用A*A=|A|E，得A*AB=A*B+3A*A，即 |A|B= A *B+3| A |E 再由|A*|=|A|4-1=|A|3，得 |A|3=8，即 |A|=2于是有2B=A*B+6E， (2E-A*)B=6E 故 评注 题设与A*有关时，一般均可考虑利用AA*=A*A=|A|E及其相关公式，结论先化简、再计算例11 设 阶矩阵的4个不同特征值为， 其对应的特征向量依次为，记， 求证： 线性无关解法1，从而无关，故的秩为4，故线性无关 解法2设存在一组数使 （1）由题设，利用特征向量的性质可得 （2）将（2）式一并代入（1）式可有整理得因分属不同的特征值，故线性无关，从而有视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列的转置 因互异，所以 这表明只有零解，即=0，从而线性无关例12 （2003年）设矩阵可逆，向量是矩阵A*的一个特征向量，是a对应的特征值，其中A*是A的伴随矩阵，试求的值分析 题设与A*有关，先用A A *= A * A =|A|E化简解 已知A * =，利用A A *=|A|E，有 | A |=，因为A可逆，知 即 解此方程组得a=2， b=1或2又，由式可知：当b=1时=1； 当b=2时=4又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设1，2，n为n阶方阵A的n个特征值，则f(1)，f(n)为f(A)的n个特征值，其中f(A)为A的多项式且(2) 若r(A)=1，则A的特征值为1=2=n-1=0，n=a11+a22+ann(3) 若A B，则|A|=| B|，r(A)=r(B)，特征多项式相同：|E- A |=|E-B|，从而特征值相同，进而有a11+a22+ann=b11+b22+bnn设是维实向量，且线性无关，例13 已知是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组，的线性相关性 解：设有一组数使得 成立，因为是线性方程组 的解，且，故有 即 于是，由得 ，但，故从而 由于向量组线性无关，所以有 因此，向量组线性无关 例14 A、B 为n阶正定矩阵，则AB也为n阶正定矩阵的充分必要条件是：AB=BA，即A与B可交换证法1 先证必要性 由于A、B、AB都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有 于是即A与B可交换再证充分性 由条件AB=BA得因此AB是对称矩阵 因为是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P、Q，使于是 上式左乘Q，右乘得这说明AB与对称矩阵相似；因为P是可逆矩阵，故矩阵是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零 综合上述知AB正定 证法2 必要性同方法一，以下证明充分性 由条件AB=BA得因此AB是对称矩阵 由于A正定，所以存在可逆矩阵Q，使A=QQ于是 这说明AB与有相同的特征值 因为B是正定矩阵，易见也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零综合上述知AB正定例15 （2000年）若4阶方阵A与B相似，矩阵A的特征值为，则行列式|B-1-E|= 分析 利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可解 由AB，知B的特征值是，于是B-1的特征值是2，3，4，5，从而B-1-E的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B-1-E|=1234=24例16（2001年数学）设则A与B(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 不合同且不相似分析 本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同又r(A)=1，其特征值为显然A、B为实对称矩阵，且AB，于是A与B也合同故应选（A）评注 当A、B为实对称矩阵时，若AB，则A、B有相同的特征值xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数A与B合同但若A、B为非对称矩阵，则A与B不合同（合同矩阵必为对称矩阵）例17（2007年数学） 设矩阵， ，则A与B (A)合同， 且相似 (B) 合同， 但不相似 (C)不合同， 但相似 (D) 既不合同， 又不相似 解 由 得A的特征值为0， 3， 3， 而B的特征值为0， 1， 1，从而A与B不相似 又r(A)=r(B)=2， 且A、B有相同的正惯性指数， 因此A与B合同 故选(A) 评注1)若A与B相似， 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B)； A与B有相同的特征值2)若A、B为实对称矩阵， 则 A与B合同 r(A)= r(B)， 且A、B有相同的正惯性指数 例18 设n阶实对称矩阵的秩为r，且满足（称A为幂等矩阵），求：（1）二次型的标准形；（2）行列式的值，其中E为单位矩阵解：A为实对称阵，正交阵P，使，为A的特征值。（1）设是A的任一特征值，为对应特征向量，则，或，即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。由，知中有r个1，个0，适当排列P中列向量，可使，其中为r阶单位矩阵，故二次型的标准形为。（2）由得，故例19已知三元二次型经正交变换化为，又知，其中，为A的伴随矩阵，求此二次型的表达式解 由已知条件知A的特征值为，则，的特征值为，的特征值为，由已知是关于的特征向量，也就是是A关于的特征向量，设A关于的特征向量为， 是实对称阵，与X要正交，解出令，则，故 例20 已知A是n阶正定矩阵，令二次型的矩阵为B，求证：（1）B是正定矩阵；（2） 证（1）设，则 B= 显然B为实对称矩阵，且B与A的前n-1阶顺序主子式完全相同，由于A是正定矩阵，故它的各阶顺序主子式全大于零，因此B的前n-1阶顺序主子式也全大于零 现考虑B的第n阶顺序主子式即它的行列式，有 += （*）可见B是正定矩阵 （2）由（*）即知例21 设为正定矩阵，为非零实数，记则方阵B为正定矩阵证法1由是正定矩阵，则为对称矩阵，即，所以，这说明B是对称矩阵，显然 = 对任给的n维向量，因为非零实数，所以，又因为A是正定矩阵，因此有 =即B是正定矩阵证法2 记，则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵， B的k阶顺序主子阵可由A的k阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而得到，即计算的行列式，有故由正定矩阵的等价命题知结论正确 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查例如：行列式|A|=0矩阵A不可逆秩r(A)nA的行（列）向量组线性相关Ax=0有非零解=0是矩阵A的特征值可由1，2，n惟一线性表示Ax=有惟一解x=(x1，x2，xn)T， A=(1， 2， n)r(A)=r(A)=n|A|0Ax=0只有零解=0不是A的特征值AB=0A(b1，b2， bs)=0， B=( b1， b2， bs)Abj=0， j=1，2，sb1，b2，bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)n)若bj0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值j=0的特征向量AB=CA(b1， b2， br)=(C1， C2， Cr)Abj=Cj，j=1，2，rbj为Ax=Cj的解C1， C2， Cr可由A的列向量组1， 2， s线性表示r(C)=r(AB)r(A)或r(B)例22（2003年）设向量组I： 1， 2， r可由向量组II：1，2，s线性表示，则(A) 当rs时，向量组II必线性相关(C) 当rs时，向量组I必线性相关分析 本题可由定理“若1， 2， s可由1， 2， t线性表出，且st，则1， 2， s线性相关”，直接得正确选项(D)若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项也可根据上述结论用秩来判定：由题设，存在sr矩阵P，使(1， 2， r)=( 1， 2， s)Psr，则r(1， 2， r)=r( 1， s)Pr(1， s)s当rs时，有r(1， 2， r)sr，此时1， 2， r必线性相关例23 （2002年）已知4阶方阵A=1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为4维列向量，其中2，3，4线性无关，1=22-3，如果=1+2+3+4，求线性方程组Ax=的通解分析 本题可将A=(1， 2， 3， 4)，=1+2+3+4及x=代入Ax=，找出具体的方程，再按通常方法求解也可由=1+2+3+4即可由1， 2， 3， 4线性表示，相当于已知为Ax=的特解，及1-22+3+04=0与2， 3， 4线性无关知为Ax=0的基础解系再根据解的结构理论知Ax=的通解为，k为任意常数评注 Ax=的解与可由A的列向量组线性表示之间可相互转换例24 已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x， Ax， A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x(1) 记P=(x， Ax， A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2) 计算行列式|A+E|分析 A=PBP-1AP=PBP-1AP=B本题(1) 有多种方法求解：设法求出A的特征值、特征向量；将B的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等但根据结论，由已知一组关系式：Ax=Ax，A2x=A2x，及A3x=3Ax-2A2x合并起来有(Ax，A2x，A3x)=( A x，A2x，3 A x-2A2x)， 即 A(x， Ax， A2x)=(x， A x，A2x)， 也即AP=P，可方便地求得B=至于行列式的计算可用特征值(A、B有相同特征值)或相似矩阵计算即可(ABA+EB+E) 评注 从本题可见，矩阵运算AB=C与关系式Abj=Cj之间的转换可化为线性方程组的解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等。例25求二次型，令，则二次型的秩等于 证法一：将二次型f写成如下形式： 设A= 则于是故 = = =X(AA)X 因为为对称矩阵，所以就是所求的二次型f的表示矩阵 显然()=(A)，故二次型f的秩为(A) 证法二：设 记，于是，其中，则 因为为对称矩阵，所以就是所求的二次型f的表示矩阵 显然()=(A)，故二次型f的秩为(A) 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题