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8.4三元一次方程组的解法 纸币问题纸币问题 小明手头有小明手头有12张面额分别是张面额分别是1元、元、2元、元、5元的纸币，共计元的纸币，共计22元，其中元，其中1元纸元纸币的数量是币的数量是2元纸币数量的元纸币数量的4倍求倍求1元、元、2元、元、5元的纸币各多少张？元的纸币各多少张？ 前面我们学习了二元一次方程组及前面我们学习了二元一次方程组及其解法其解法消元法。对于有两个未知数消元法。对于有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解的问题，可以列出二元一次方程组来解决。实际上，在我们的学习和生活中会决。实际上，在我们的学习和生活中会遇到不少含有更多未知数的问题。遇到不少含有更多未知数的问题。分析：在这个题目中，要我们分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然求的有三个未知数，我们自然会想到会想到设设1元、元、2元、元、5元的纸元的纸币分别是币分别是x张、张、y张、张、 z张，根张，根据题意可以得到下列三个方程据题意可以得到下列三个方程:x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y. 这个问题的解必须同时满这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成把三个方程合在一起写成 xyzxyzxy12,2522,4 . 这个方程组中含有这个方程组中含有 个未知数，个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都每个方程中含未知数的项的次数都是是 。三三1由此，我们得出三元一次由此，我们得出三元一次方程组的定义：方程组的定义： 402zxzyxzyx453xzzyyx4532xzzyyx1321xxyyx 如何求解三元一次方程组？如何求解三元一次方程组？ 解二元一次方程解二元一次方程组的基本思想是：组的基本思想是： 设法消去一个未设法消去一个未知数，将知数，将“二元二元”转转化为化为“一元一元”。 解三元一次方程组解三元一次方程组的基本思想呢的基本思想呢? ? 是不是也是先设法是不是也是先设法消去一个未知数，将消去一个未知数，将“三元三元”转化为转化为“二二元元”，再把，再把“二元二元”转转化为化为“一元一元”呢？呢？ 试一试吧！试一试吧！ 试一试试一试：1、试着求解我们前面列出的三元一次方程组、试着求解我们前面列出的三元一次方程组 1225224xyzxyzxy解解:把把分别代入分别代入，得，得5126522yzyz解这个二元一次方程组得解这个二元一次方程组得2,2yz把把y=2代入代入 ，得，得x=8822xyz原三元一次方程组的解为原三元一次方程组的解为能不能类比二元一次方程组的解法能不能类比二元一次方程组的解法,设法消去设法消去一个或两个未知数一个或两个未知数,把它化成二元一次议程组把它化成二元一次议程组或二元一次方程呢或二元一次方程呢?分析：分析： 1、三个方程中、三个方程中X的系数都是的系数都是1，因此，确定用加，因此，确定用加减消元法可消去减消元法可消去X。如果。如果X的系数不是的系数不是1，你用什，你用什么方法来消元呢？这也是常用的法。么方法来消元呢？这也是常用的法。2、式是关于式是关于X的表达式，因此也可以将的表达式，因此也可以将分别代入其它两式中，消去分别代入其它两式中，消去X。即：有表达。即：有表达式，用代入法。式，用代入法。3、式中只有两个未知数，缺少一个未知数，式中只有两个未知数，缺少一个未知数，你想到了什么方法呢？（把另外两个方程中的你想到了什么方法呢？（把另外两个方程中的未知数能不能变得和未知数能不能变得和式中的未知数一样呢？式中的未知数一样呢？那要消去哪个未知数？即：缺某元消某元那要消去哪个未知数？即：缺某元消某元 1、 解三元一次方程组的基本思路是：解三元一次方程组的基本思路是： 通过通过“代入代入”或或“加减加减”进行消元，把进行消元，把“三元三元”转化为转化为“二元二元”，使，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。化为解一元一次方程。总结：总结：2、解三元一次方程组有哪些方法？、解三元一次方程组有哪些方法？有表达式，用代入法。有表达式，用代入法。缺某元消某元缺某元消某元消去某一元消去某一元3472395978xzxyzxyz例例1、解三元一次方程组、解三元一次方程组13y 347111035xzxz52xz 5132xyz 例例2 ：在等式：在等式中，中，当当x1时，时，y0；当；当x2时，时，y3；当；当x5时，时，y60 求求a、b、c的的值值 yaxbxc2 分析分析:分别将分别将 x1，y0； x2，y3； x5，y60 代入等代入等式式 , 从而得到一个关从而得到一个关于于a、b、c的三元一次方程组。的三元一次方程组。 y axbx c2 解：根据题意，得三元一次方程组解：根据题意，得三元一次方程组a ab bc= 0 c= 0 4a4a2b2bc=3 c=3 25a25a5b5bc=60 c=60 ， 得得 a ab=1 b=1 ，得，得 4a4ab=10 b=10 与与组成二元一次方程组组成二元一次方程组a ab=1b=14a4ab=10b=10a=3a=3b=-2b=-2解这个方程组，得解这个方程组，得把把 代入代入，得，得a=3a=3b=-2b=-2c=-5c=-5a=3a=3b=-2b=-2c=-5c=-5因此因此答：答：a=3, b=-2, c=-5.a=3, b=-2, c=-5.练习巩固练习巩固 1解下列三元一次方程组解下列三元一次方程组 . xyyzzx29,(1)3,247. xyzxyzxyz34,(2) 2312,6. 2甲、乙、丙三个数的和是甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的甲数的2倍比乙数大倍比乙数大5，乙数的三分之，乙数的三分之一等于丙数的二分之一求这三个一等于丙数的二分之一求这三个数数 小结与作业小结与作业 小结：小结： 这节课我们学习了三元一次方这节课我们学习了三元一次方程组的解法，通过解三元一次方程程组的解法，通过解三元一次方程组，进一步认识了解多元方程组的组，进一步认识了解多元方程组的思路思路消元消元作业：作业：P106页：习题页：习题8.4第第1、2题。题。
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