数学第五章 四边形 第1节 平行四边形与多边形

平行四边形平行四边形与多边形与多边形平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定多边形多边形性质性质判定思路判定思路多边形的性质多边形的性质正多边形的性质正多边形的性质性性质质 返回返回1.边边3.对角线：对角线互相平分：对角线：对角线互相平分：AO=CO,_4.面积：面积：S底底高高5.对称性：是中心对称图形，对称中心是对角线的交点对称性：是中心对称图形，对称中心是对角线的交点边两组对边分别平行：边两组对边分别平行：ABCD,AD_两组对边分别相等：两组对边分别相等：AB=CD,_=BC2.角角两组对角分别相等：两组对角分别相等：DAB= ,ABC=ADC一组邻角互补：一组邻角互补：ADC+DAB=180，ADC+BCD=180 BCADDCBDO=BO判判定定思思路路未完未完 继续继续已知条件已知条件寻找条件寻找条件一组对边平行一组对边平行（ABCD）该组对边相等（该组对边相等（ABCD）另一组对边平行（另一组对边平行（ADBC）一组对边相等一组对边相等（ABCD）该组对边平行（该组对边平行（ABCD）另一组对边相等（另一组对边相等（AD=BC）一条对角线被平分一条对角线被平分（AOOC）另一条对角线被平分另一条对角线被平分（BO=DO）一组对角相等一组对角相等（DAB=DCB）另一组对角相等另一组对角相等（ADC=ABC）温馨提示温馨提示 涉及线段或角相等的证明，一般有两种涉及线段或角相等的证明，一般有两种思路：一是通过证明四边形是平行四边形，再利用思路：一是通过证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质解决；二是通过证明线段或角所在的三角形等性质解决；二是通过证明线段或角所在的三角形全等得结论全等得结论返回返回多多边边形形返回返回1.内角和定理：内角和定理：n边形的内角和等于边形的内角和等于 (n3)2.外角和定理：任意外角和定理：任意n边形的外角和都等于边形的外角和都等于 (n3)3.对角线：过对角线：过n(n3)边形的一个顶点可以引（边形的一个顶点可以引（n-3）条对）条对角线，角线，n边形共有边形共有 条对角线条对角线1.正多边形的各边相等，各内角相等，各外角相等正多边形的各边相等，各内角相等，各外角相等2.正正n边形边形(n3)的每一个内角为的每一个内角为 ，每一个，每一个外角为外角为_3.对于正对于正n边形边形(n3)，当，当n为奇数时，是轴对称图形，不为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形是中心对称图形;当当n为偶数时，既是轴对称图形为偶数时，既是轴对称图形,又是中又是中心对称图形心对称图形多边形多边形的性质的性质正多边正多边形的性形的性质质(3)2n n(n-2) 180360(2) 180nn3 6 0n与平行四边形性质有关的计算方法：与平行四边形性质有关的计算方法：1. 求角度：将已知中提供的角平分线、直角及角的数量关系，在图中找求角度：将已知中提供的角平分线、直角及角的数量关系，在图中找出来，再结合平行四边形性质：对角相等、邻角互补及平行关系，将所出来，再结合平行四边形性质：对角相等、邻角互补及平行关系，将所求角度进行和差变化转化为已知角求解；求角度进行和差变化转化为已知角求解；2. 求线段长：根据平行四边形性质及已知角关系，转化到同一三角形求线段长：根据平行四边形性质及已知角关系，转化到同一三角形中，利用勾股定理、直角三角形性质或等腰三角形性质进行求解；根中，利用勾股定理、直角三角形性质或等腰三角形性质进行求解；根据平行四边形性质，利用平行线分线段成比例（三角形相似）求线段长据平行四边形性质，利用平行线分线段成比例（三角形相似）求线段长或线段比值或线段比值.平行四边形的相关证明及计算平行四边形的相关证明及计算满满 分分技技法法 例例 已知，在已知，在 ABCD中，连接对角线中，连接对角线AC，CAD平分线平分线AF交交CD于点于点F，ACD平分线平分线CG交交AD于点于点G，AF、CG交于点交于点O，点，点E为为BC上一点，且上一点，且BAE=GCD.(1)如图，若如图，若ACD是等边三角形，是等边三角形，OC=2，求，求 ABCD的面积；的面积；(2)如图，若如图，若ACD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CAD=90，求证：，求证：CE+2OF=AC.(1)解：解：ACD为等边三角形，为等边三角形，CG平分平分ACD，AF平分平分CAD，ACGDCGCAFDAF30，AFCD，AOCO2，OF CO1，CF ，CD2CF2，AFAOOF213，S ABCDCDAF6；12223OCOF(2)证明：过点证明：过点F作作FMAD，交，交CG于点于点M，如解图，如解图，ACAD，AF平分平分CAD，CAD90，CFDF，ACDADC45，DG2FM，CG平分平分ACD，DCG22.5，AFC90，CFMD45，COF90DCG67.5，OMFFCMMFC67.5，FMFO，DG2OF，四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD，BCAD，BACACD，BAEDCG，CAEACG，AECG，四边形四边形AECG为平行四边形，为平行四边形，AGCE，AGDGADAC，CE2OFAC.练习练习1 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点E，CBD=90，BC=4,BE=ED=3,AC=10，则四边形，则四边形ABCD的面的面积为（积为（ ）A. 6 B. 12 C. 20 D. 24D【解析解析】在在RtBCE中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得CE 5.AECE5，BCE DAE，四边形四边形ABCD是平行四边形四边形是平行四边形四边形ABCD的面积为的面积为BCBD4(33)24.22BCBE2243练习练习1题图题图 练习练习2 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD中，中，E是是BA延长线上一点，延长线上一点，AB=AE,连接连接CE交交AD于点于点F.若若CF平分平分BCD,AB=3,则则BC的长的长为（为（ ）A. 3 B. 23 C. 32 D. 6D【解析解析】CF平分平分BCD，BCEDCE，四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，BECD，EDCE，EBCE，BCBEABAE2AB6.练习练习2题图题图