扬州市2019届高三第二次调研测试

扬州市 2019 届高三第二次调研测试数学 I1 .曲线 y =x3-2x 在点(1, -1)处的切线方程是 2.若 L 岂=3 bi ( a, bR，i 为虚数单位)，则 ab= .3i3 命题“若实数 a 满足则 a2：: : 4 ”的否命题是 命题(填“真”、“假”之一).4.把一个体积为 27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的 27 个小正方体，现从中任取一块则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 _ 5.某教师岀了一份三道题的测试卷，每道题 1 分，全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生所占比例分别为 30%、50%、10%和 10%，则全班学生的平均分为分.6 设 MXaa=(2, 0)m(0, 1), mR?和 N Xb b 二(1, 1) n(1, -1),nR?都是元素为向量的集合，贝 u MAN= 7.在如图所示的算法流程图中，若输入a= AOF 始)8 .设等差数列的公差为正数，右+玄2+玄 3=15, a(a2a3=80,贝ua“ a(2a(3=_ 9.是平面及 1 外的两条不设 J 是空间两个不同的平面，m, n同直线从“m 丄 n；丄卩 :门丄：；口丄”中选取三个作(第 7为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命(用代号表示)f(x) = 2- x-4 下列四个不寺尖系：睪吩)V 十。睛)；f (sin1) f(COS1)；10.定义在 R 上的函数 f (x)满足：f (x) =f (x+2)，当 3, 其中正确的个数是)/2-32-3n nF.rF.r；f (cos2) f (sin 2).们在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是双曲线 x1 的左、右焦点 ABC 的顶点3C 在双曲线的右支上则的值是sin C12.(P,在平面直角坐标系Q)=人咲？ +xOy 中，设点 Pg yj、 Qg, %y?.已y2)定义：d知 iB (1,0)，点 M 为直线 x- 2y+ 2= 0 上的动点，则使 d (B, M)取最小值时点 M 的坐标是13.xw y zt B2 设直线 ABi 的倾斜角的正弦值为 1圆 C 与以线段 OA2 为直径的圆3矢于直线 A Bi 对称.（1）求椭圆 E 的离心率；（2）判断直线AB1与圆C的位置矢系，并说明理由；（3）若圆 C 的面积为二，求圆 C 的方程.【解】（1 ）设椭圆 E 的焦距为 2c （c0）,和yx因为直线 A1B1 的倾斜角的正弦值为1，所以a2b2于是 a2=8b2即 a2pa2p2) 所以椭圆E 的离心率(2)由 e 二晋可设 a =4k k . 0 , c 二环 14k，则 b . 2k ,是 AB1 的方程为：x_2、2y 4A0 , 故 OA2 的中点 2k, 0 到 AB的距离 d 工 又以 OAz 为直径的圆的半径r=2k,所以直线 AB 与圆 C 相切.（3）由圆 C 的面积为二知圆半径为设 OAa 的中点 1,0 矢于直线 ABi：12 分罟么2訂二0.解得 m =3, n 二孕.所以，圆 C 的方程为 x 一鲁y 严严33318.（本小题满分 16 分）-1.14 分如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆 P 和圆 Q 的半径都是 2km，点 P 在圆 Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地.（1） 如图甲，要建的活动场地为 RST,求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形 ABCD，求场地的最大面积.（第 17题（第 17 题【解】（1）如右图，过 S 作 SH 丄 RT 于 H,1S1S 2 2由题意，RST 在月牙形公园里，RT 与圆 Q 只能相切或相离；RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有 RTW4, SHW2,2k 4k =2k,即有 d =r1,从而 k2,x-2.2y 2 =0 的对称点为10 分m, n ,当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立.此时场地面积的最大值为SARST= 42=4 ( krrp)(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大， AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,AD 必须切圆 Q 于 P,再设/ BPA=Z1，则有S 四边形ABCDx2x2xsi 门仪 2 +*x2 x 2xsi n(冗一 2 日)=4(si n 日 +sin 日 cos&)(0 日 n.令 y =sin j sin ncos n，贝 U2y =cos v cos : cos T sin v(-sin v) =2 cos J cos T -1.若八。，coy , _n,又施(o,扌时巾,施(才,扌)时，ydo.函数 y =si nr-si n rcosh 在 vf 处取到极大值也是最大值，3故 V 才时，场地面积取得最大值为 33 ( kmo.3佃.(本小题满分 16 分)设定义在区间人，X2上的函数 y=f(x)的图象为 C, M 是 C 上的任意一点，O 为坐标原点，量OA= X, f Xi ,0Br, f 冷,OM =(x, y)，当实数 入满足心入仆(1R X2 时，量 ON =R0A+(1ROB 定义”函数 y=f(x)在区间凶，x?上可在标准 k 下线性近似”是指“ M2 所以 ar1，因 aA:a?: : : a.3，又 aAa.?-an3 贝【J1 q q，所以 1： ： ：q，因为三2项均为整数，所以 q 为1,也内的既约分数且知含平方数因子，经验证，仅含2 丿12或 32时不合，所以 -(2k 3)p (k, pNJ;3 .第(3)小题的构造形式不唯数学 II （附加题）21.【选做题】本题包括 A , B , C, D 四小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分，共计 20 分, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A. 选修 4 1：几何证明选讲自圆 0 外一点 P 引圆的一条切线PA，切点为切点为 A,M 为 PA 的中点，过点M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点，且/ BMP=100,/ BPC=40 ,求/ MPB 的大小.【解】因为 MA 为圆 O 的切线，所以 MA? =MB MC .又 M 为 PA 的中点，所以 MP2=MB MC .因为.BMP 工/PMC，所以.BMPs. PMC .于是.MPB 二 MCP .在厶 MCP 中，由.MPB . MCP . BPC . BMP=180，得/ MPB=20. .B. 选修 42：矩阵与变换已知二阶矩阵:矩阵A属于特征值2的一个特征向量为属于特征值3,2=4 的一个特征向量为 i “【解】由特征值、特征向量定义可知，A 宀二二:1 ,m a 胆 1 津得伫； 3a +2b 1223 同理可得，解得 a =2, b=3, c = 2,d= 1 因此矩阵 A=j . 10 分c 2d =8,|2 1C 选修 4 4 :坐标系与参数方程x =2couot点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 I 的极坐标方程为cos 二；=22.点P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 I 距离的最大值.【解】cos 二才=2 .2 化简为COST ：?sin v4 ,10 分在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为2C0 ,.y =sin 二为参数以直角坐标系原.4 分C（第 21- A则直线 I 的直角坐标方程为 x, y=4.2cos：: 亠 sin4设点 P 的坐标为（2coso （, sina ），得 P 到直线|的距离 d =.尸.，其中 cos 护 sin 4545当 sin : =-1 时，dmax =2. 2./2D .选修 4 5 :不等式选讲111若正数 a , b , c 满足 a+b+c=1,求的最小值.3a+2 3b+2 3c+2【解】因为正数 a, b, c 满足 a+b+c=1,所以，(蠱+品十詁 2) (3a十讣十彳 F &十今 p (1 十$, 即丄111,3a 2 3b 2 3c 21当几仅当3a由 cos DE, CD.二 T 二3| DE 11 CDi |6所以异面直线 AE 与 CDi 所成角的余弦值为6(2)设平面 CDiO 的向量为, yi , Zi),由 mCO 二10 分10 分丨 一_1 =0得 g2X12 取 X1= 1,得yi= Z1=1,即 m=(1 , 1, 1).-yi乙=o,DQ 上一点，且 DiE 二疋 0.mCDi =(第22题)6n-1苔：恰好侍到 n 分旳楼竽足乂 z 二10 分由 DiE=疋 0,贝 uEJ , J ,01+扎)2(1+扎)1+人丿J2(1+)j 2(1+几)1+扎丿又设平面 CDE 的法向量为 n 二(Xz, y2, Z2)，由 nCD 二 0, nDE 二 0.1.y2= 得彳眺九 * Z2 取 X2=2,得ZR人即 n 二(-2, 0, ?).22=0,2(1 .)2(1 ) 1 因为平面 CDE 丄平面 CDiF，所以 mn 二 0，得入二 2. 10 分23. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1 分，反面向上得 2 分.(1)设抛掷 5 次的得分为，求的分布列和数学期望 E ;(2)求恰好得到 呦八分的概率.5【解】所抛 5 次得分匕的概率为 P(匕二 i)=C5(1)(i=5, 6, 78, 9, 10),56789101132532516516532132105E 八 iCs-2=2(分分).).y22(2)令 5 表示恰好得到 n 分的概率不出现 n 分的唯一情况是得到n- 1 分以后再掷出一次反面因为“不出现 n 分”的概率是 仁 Pn, “恰好得到 n1 分”的概率是 Pn-1,因为“掷一次出现反面”的概率是2所以有1-Pn=ipnv即 Pn y = 一 1 Pn 1J Pn 是以32 汽唸项以亠为公比的等比数列.所以其分布列如下: