2018--2019年北京市朝阳区--理科数学

1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2019.5(第 3 题图)2（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共40分）A.心C.D.0,1,3,9(2)1o若o(x2mx)dx = 0，则实数m的值为(3)12A.B.33执行如图所示的程序框图.若输出的结果是A.n 6? B.n_7?C.-1D. -216，则判断框内的条件是C.n 8?D.n 9?（第 5 题图）(第 3 题图)3、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项已知集合M =0,1,31，集合N=xx =3a,a(1)(第 3 题图)42 2(4)若双曲线X2_y2“(a . 0,b . 0)的渐近线与抛物线y=x22有公共点，则此双曲a b线的离心率的取值范围是A.3,二)B.(3,：)C. (1,3D.(1,3)(5) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为111,A.B.C.D.1632(6) 某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一 天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A.10种B.12种C.18种D.36种(7)已知函数f (x)二a 2X 1(a =0)，定义函数F(x)二f (X), X 0,给出下列命题：-f(x), x0.F(x)=|f(x);函数F (x)是奇函数；当ac0时，若mn0,总有F(m) F(n)：0成立，其中所有正确命题的序号是第二部分(非选择题 共110分)6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.3 +i(9) i 为虚数单位，计算二_.1 +ix =2cos二(10)若直线丨与圆C :(二为参数)相交于A,B两点，y =T +2sin日且弦AB的中点坐标是(1,-2),则直线丨的倾斜角为A.(8 )点 P 是棱长为D.的正方体ABCD-ABGD的底面A1B1C1D1上一点，则PAPC；的B.C.取值范围是1A. -1-41 1B. UC. -1,01D.匕,0二、填空题：本大题共(第 3 题图)5(11)如图，PC切圆O于点C,割线PAB经过圆心O,PC =4,PB=8,则tanCOP二_ , OBC的面积是(12)某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存6储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买_ 吨.3x4y 19,(13 将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组x_1,所构成的三角形区域内， 则y -1该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_ .(14) 数列2n-1的前n项1,3,7,川,2n-1组成集合A =1,3,7,川,2n7( n N)，从集合An中任取k (k =1,2,3川1,n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为 人(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记ST；T2Tn.例如当n =1时，A,二1,T1=1,S=1;当n=2时，A2=1,3,T1=1+3,T2=1x：3,S2=1+3 + 1x：3=7.则当n =3时，S3二_ ;试写出Sn二_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15) (本小题满分 13 分)在厶ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且AA2A2Af (A) =2cos sin()sin cos22 2 2(I)求函数f (A)的最大值；(n)若f (A) =o,c , a =，求 b 的值.12(16)(本小题满分 14 分)AD = PD =2EA =2,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.(I)求证：FGL 平面PED；(n)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；(川)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60?若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.如图，四边形EA丄平面A B C D EA PD,PIHFEGIICAB7(17)(本小题满分 13 分) 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”比赛成绩共有 90 分,70 分，60 分，40 分，30 分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随 机抽取了30 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩(分)9070604030人数(名)461073(I)根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人， 其成绩等级为“A或B”的概率；(n)根据(I)的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3 人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX-(川)从这 30 名学生中，随机选取 2 人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.(18)(本小题满分 13 分)imx已知函数f(x)21(m=0),g(X = e2(axa) R.x +1(I)求函数f (x)的单调区间；(n)当m.0时，若对任意x1,x 0,2,f ( g(x2)恒成立，求a的取值范围(19)(本小题满分 14 分)2 2已知椭圆C:笃与=1(a b 0)的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为B,B2,a b(I)求椭圆C的方程；(n)过点F且斜率为k (k = 0)的直线l交椭圆于M ,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于(20)(本小题满分 13 分)已知实数X1,X2,|l,xn(n2)满足|x F1(i =1,2,3，川，n),记S(X1,X2,IH,xn)二 XjXj1笙O奇且FB1FB2二-a.点D.设弦MN的中点为P，试求DPMN的取值范围.28(I)求S(-1,1,)及S(1,1,1,1)的值；3(n)当n =3时，求S(xi,x2,xa)的最小值；(川)求S(X1,X2|,Xn)的最小值.注：a xj表示为必,川，人中任意两个数 人，为(1n：:j n)的乘积之和i丄:j ip北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案(理工类)2019.5、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案DBCAACDD、填空题:题 号(9)(10)(11)(12)(13)(14)答 案2 -iJI44318530JI1 1263n(n卅)22-1(注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分)三、解答题：(15)(本小题满分 13 分)A A2A2A解:(I)因为f(A) =2cos sin sin cos 2 2 2 2=sin A-cos A =、一2sin(A).4因为A为三角形的内角，所以0：A：二,JI3JI:：A _ _44所以当A，即A=时，f (A)取得最大值，且最大值为424(n)由题意知f(A).2sin(A)=0，所以sin(A )=0.44JTJE3nJEit又因为-:A-，所以A= 0,所以A 二.44444, 5nn又因为C，所以B = .123所以一-96 sina ba sin B3由正弦定理得，b3=3. 13 分si nA si nBsinA. :sin 4(16)(本小题满分 14 分)(I)证明：因为F,G分别为PB,BE的中点，所以FG PE.又FG二平面PED，PE二平面PED， 所以FG平面PED.(H)因为EA_ 平面ABCD,EA二：PD,所以PD_平面ABCD,所以PD _ AD,PD _CD.又因为四边形ABCD是正方形，所以AD _ CD.如图，建立空间直角坐标系，因为AD =PD =2EA=2,所以D0,0,0,P0,0,2,A2,0,0,C0,2,0,B2,2,0,E(2,0,1). 5分 因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点，1 1 1所以F1,1,1,G (2,1,?),H (0,1,1).所以GF =(-1,0,?),GH =2,0,-).I厲GF =0设口= (%,召)为平面FGH的一个法向量，则，即g GH =0再令 %=1，得 口= (0,1,0).PB二(2,2, -2),PC二(0,2, -2).In2PB =0设“2=(X2, y2,Z2)为平面PBC的一个法向量，则，n2PC = 01门-x1n = 021-2x1zi = 0210即2X22y0，令z2j,J2目2- 2z? = 0得址=(0,1,1).所以cos(n n1, n n2)=nin2|42mm 2JI所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为4（川）假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60：.依题意可设PM = PC,其中0乞岂1.由PC = (0,2, -2),则PM = (0,2 ,一2 )又因为FM.FP PM,FP =(_1,_1,1)，所以FM = (1,2丸1,1 2丸).因为直线FM与直线PA所成角为60，PA二（2,0, -2），所以coS FM ,PA ，解得 =5.2 2J 2(2 -1)2855所以PM =(0,三，-5)，44PM所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60：，此时PM5. 24. 14 分率为303010 1303.010238所以唄皿叫）蔦）育11122P(X卄(J Q12276=22791121221P(X=2)4(1)(3)二12P（XC33（1）3W仁27随机变量X的分布列为X0123P842127992781261所以EX=O 1231 .9 分27272727（川）设事件 M :从这 30 名学生中，随机选取 2 人，这两个人的成绩之差大于20分. 设从这 30 名学生中，随机选取 2 人，记其比赛成绩分别为m,n.显然基本事件的总数为c30.不妨设m n,当m=90时，n=60或40或30,其基本事件数为C；C；0+C；+C；）;当m = 70时，n= 40或30，其基本事件数为C6（C7C3）；当m =60时，n =30，其基本事件数为C；。C3；当m 0时，当x变化时，f （x）,f （x）的变化情况如下表:x(3-1)(T,1)（1严）f（X）+f(x)匚所以，函数f（x）的单调递增区间是（-1,1），单调递减区间是（-=-1）,（1,=）C1所以P(M )C；+C；+C1C6(C；+C3)+C1034C3087所以从这 30 名学生中，随机选取3487 2 人，这两个人的成绩之差大于.13 分20分的概率（18）（本小题满分 1 3 分）解：（I）函数f （x）的定义域为R,f (x)”x2)(x21)2m(1 - x)(1 x)(x21)2当m：0时，当x变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表:13x(r -1)(-1,1)(1,p)(X)+f(x)匚所以，函数f(x)的单调递增区间是(-：，-1),(1j：)，单调递减区间是(-1,1). 5分(n)依题意，“当m.0时，对于任意x1,x20,2,f(xj_g(x2)恒成立”等价于 “当m 0时，对于任意0, 2,f (x)min- g(X)max成立”.当m .0时，由(I)知，函数f(x)在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，因为f(0) =1,f (2H1 1，所以函数f (x)的最小值为f (0) = 1.5所以应满足g(X)max- 1 . 6 分因为g(x) =x2eax,所以g (x)二(ax2+ 2x)eax. 7 分当a =0时，函数g(x)=x2，一x 0,2,g(x)max=g (2)=4,显然不满足g(x)max乞1,故a = 0不成立. 8 分2当a=0时，令g(x)=0得，x)=0,x2.a2(i)当2，即一仁a : 0时，a在0,2上g(x)_0,所以函数g(x)在0, 2上单调递增，所以函数g(x)max=g(2) =4e2a.由4e2a辽1得，a -一1 n 2，所以 一1一a - In 2. 10 分当m：0时，当x变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表:142(ii)当02，即a：T 时，a15所以MN | = J(m -x2)2+(y1-y2)2= J(k2+1)(为+x2)2-4为乂222在0,)上g(X) 0,在(，2上g (x) : 0，aa22所以函数g(x)在0,)上单调递增，在(，2上单调递减,aa24所以g(x)max=g()牙 p .a a e42由22-1得，a，所以a-1.a ee2(iii)当-：0,即a 0时,显然在0, 2上g(x)_0,a11 分函数g(x)在0,2上单调递增，且g(x)max二g(2) =4e2a.显然g(x)max=4e2a_1不成立，故a 0不成立.12 分综上所述，a的取值范围是(-：，-1 n2.13 分(19)(本小题满分 14 分)解：(I)依题意不妨设B1(0,-b),B2(0,b)，则-b),222由FBiFB2- -a，得1 - a.又因为a b 1,FB2十1,b).2 2所以椭圆C的方程为X y143(n)依题直线I的方程为y=k(x-1).y =k(x-1),由X2y2得(3 4k2)x2-8k2x 4k2-12=0.143设M (X1,yJ,x2=8k23 4k24k2-123 4k2所以弦MN的中点为P(4k23 4k2-3k3 4k21612(k21)24k 3所以0(20)(本小题满分 13 分)22解：(I)由已知得S(-1,1,) - -1二33S(1,1,1,1) =1 -1一1一1一1 1 =一2.(n)设S =S(xX2,X3).当n =3时，S = S(xx2,x3) =Xj=人乂2XM x2x3.若固定x2, x3，仅让变动，此时S二X2 x1x3 X2X3二(x2 x3)x1x2x3,因此SminS(1,X2,X3),S(1, X2,X3).同理S(1,X2,X3)AminS(1,1,X3),S(1,-1压).(k2%4(4k212)-3 4k2直线PD的方程为目4k2+3k 4k23所以=0,得xk，则4k +3k2DE0)，所以DP=3Jk2(k2+1)4k2311 分又因为DP|MN3,k2(k21)24k2312(k21)4k2312 分k211，所以0 :1k21+X2+-+xn-IVT吕壬slv(nil)2卧x-IHX2H-=HxnJ_HlxnHxn三HxnHlm=SH3l(n1)刈M* M由2i f Hl-sl-r.GO