第七章第一节 简单不等式及其解法

第七章第一节 简单不等式及其解法第七章 不等式第一第一节节 简单简单不等式及其解法不等式及其解法一、选择题1.（2009 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:acb+d , q:ab 且 cd B.p:a1,b1 q:( )(01)xf xab aa，且的图像不过第二象限 C.p: x=1, q:2xx D.p:a1, q: ( )log(01)af xx aa，且在(0,)上为增函数 答案 A解析 由ab 且 cdacb+d，而由acb+d ab 且 cd，可举反例。选 A。2.（2009 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 A解析 易得abcd 、 、时必有acbd .若acbd 时，则可能有adcb 、 、，选A。3.（2009 四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且cd.则“ab”是“acbd”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若acbd和cd都成立，则同向不等式相加得ab 即由“acbd”“ab”4.（2009 天津卷理）ab 10,若关于 x 的不等式2()xb2()ax的解集中的整数恰有 3 个，则A.01 a B.10 a C.31 a D.63 a答案 C5.（2009 四川卷理）已知, , ,a b c d为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。 （同文 7）答案 B解析 ba 推不出acbd；但bdcbadbca ，故选择 B。解析 2：令2,1,3,5abcd ，则13( 5)8acbd ；由acbd可得，()abcd因为cd，则0cd，所以ab。故“ab”是“acbd”的必要而不充分条件。6.（2009 重庆卷理）不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A(, 14,) B(, 25,) C1,2 D(,12,)答案 A解析 因为24314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立，所以22343041aaaaaa 即，解得或二、填空题7.（2009 年上海卷理）若行列式417 5 x x 3 8 9中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 x 满足的条件是_ . 答案 83x 解析 依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得：83x 三、解答题8.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为1 2hh. 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为Am元和Bm元，甲买进 A与卖出 B 的综合满意度为h、，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h、(1)求h、和h、关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h、=h、； (2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh、和0hh、同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。(1)当35ABmm时，23535(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲,235320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙, h、=h、 （2）当35ABmm时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲由1115,20, 20 5BBmm得，故当1120Bm即20,12BAmm时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105。（3） （方法一）由（2）知：0h=105由010=1255ABABmmhhmm甲得：12552ABABmmmm， 令35,ABxymm则1 ,14xy、，即：5(14 )(1)2xy。同理，由0105hh乙得：5(1)(14 )2xy另一方面，1 ,14xy、141xx5、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 ,255(1 4 )(1),(1)(1 4 ),22xyxy当且仅当14xy，即Am=Bm时，取等号。所以不能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh、和0hh、同时成立，但等号不同时成立。 第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题2005-2008 年年高高考考题题一、选择题一、选择题1.（2008 天津）已知函数2,0( )2,0 xxf xxx ，则不等式2( )f xx的解集是()A. 1,1 B. 2,2 C. 2,1 D. 1,2答案 A2.（2008 江西）若121212120,01aabbaabb, 且，则下列代数式中值最大的是（）A1 122aba b B121 2a abb C1 22 1aba b D12 答案 A3.（2008 浙江）已知a，b都是实数，那么“22ba ”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 4.（2008 海南）已知1230aaa，则使得2(1)1ia x(1,2,3)i 都成立的x取值范围是（ ）A.（0，11a） B. （0，12a）C. （0，31a） D. （0，32a） 答案 B 5、 （2008 山东）不等式252(1)xx的解集是（ ）A132，B132，C11132，D11132，解析 本小题主要考查分式不等式的解法。易知1x 排除 B;由0 x 符合可排除 C;由3x 排除 A, 故选 D。也可用分式不等式的解法,将 2 移到左边直接求解。答案 D6、 （2007 广东）设, a bR，若| 0ab，则下列不等式中正确的是（ ）A、0ba B、330ab C、220ab D、0ba解析 利用赋值法：令1,0ab排除 A,B,C,选 D 答案 D7、 （2007湖南湖南） 不等式201xx的解集是（ ）A(1)( 12 ，B 12 ，C(1)2) ，D( 12 ，答案 D8 （2007 福建）已知集合 A |x xa，B |12xx，且R()ABR ，则实数a的取值范围是（ ）A2a B a2答案 C9(2007 安徽)若对任意xR,不等式xax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）(A)a-1 (B)a1 (C) a1 D.a1 答案 B10(2007 浙江)“x1”是“x2x”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案 A11 （2007 湖南）1不等式2xx的解集是（ ）A(0)，B(01)，C(1)，D(0)(1)，答案 D12 （2007 广东） 已知集合 M=x|1+x0，N=x|0，则 MN=（ ）11 Ax|-1x1 Bx|x1 Cx|-1x1 Dx|x-1答案 C13 （2006 安徽）不等式112x的解集是（ ）A(,2) B(2,) C(0,2) D(,2)(2,)答案 D解：由112x得：112022xxx，即(2)0 xx，故选 D14 （2006 山东）设f(x)= 1232,2,log (1),2,xexxx 则不等式f(x)2 的解集为(A)（1，2）（3，+） (B)（10，+）(C)（1，2） （10 ，+） (D)（1，2）答案 C15、 （2006 江西）若 a0，b0，则不等式b1xa 等价于（ ）A1bx0 或 0 x1a B.1ax1b C.x-1a或 x1b D.x1b或 x1a答案 D解析故选 D11bxb001xxba11axxa00 xx1x0 xxbx1011bxxx 1ax01baxx0a或（）或（）或16(2006 上海)如果0,0ab，那么，下列不等式中正确的是（ ）A.11ab B.ab C.22ab D.| |ab答案 A解析 如果0,0ab，那么110,0ab， 11ab，选 A. 答案 A17 （2006 上海春）若bacba,R、，则下列不等式成立的是( ) A.ba11. B.22ba . C.1122cbca.D.|cbca.答案 C解析 应用间接排除法取 a=1,b=0，排除 A. 取 a=0,b=-1，排除 B; 取 c=0，排除 D故应该选 C显然 ，对不等式 ab 的两边同时乘以 ，立得 成立18 （2006年陕西）已知不等式1()()9axyxy对任意正实数, x y恒成立，则正实数a的最小值为 （ ）（）8（）6C.4D.2答案 D19 （2005 福建）不等式01312xx的解集是（ ）A2131|xxx或B2131|xxC21|xxD31|xx答案 A20. （2005 辽宁）在 R 上定义运算).1 (:yxyx若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（ ）A11aB20 aC2321aD2123a答案 C21. （2005 山东）01a，下列不等式一定成立的是（ ）A.(1)(1)log(1)log(1)2aaaaB.(1)(1)log(1)log(1)aaaaC.(1)(1)log(1)log(1)aaaa(1)(1)log(1)log(1)aaaaD.(1)(1)log(1)log(1)aaaa(1)(1)log(1)log(1)aaaa答案 A二二、填填空空题题22、（2008 上海）不等式11x 、的解集是答案 （0，2）23.（2008 山东）若不等式3x-b4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则b的取值范围 .答案 （5，7）.24.（2008 江西）不等式31122xx 的解集为 答案 (, 3(0,1 25 （2007 北京）已知集合|1Ax xa，2540Bx xx 若AB ，则实数a的取值范围是（2，3）26（2006 江苏）不等式3)61(log2xx的解集为【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法答案 ( 32 2, 32 2)1x 解析 1(6)822log3logxx ，0168xx，12160 xxxx.解得( 32 2, 32 2)1x 27.（2006 浙江）不等式102xx的解集是。.答案 x1 或 x2解析 102xx（x1） （x2）0 x1 或 x2.28.（2006 上海）不等式0121xx的解集是 .答案 解析 应用结论： 不等式 等价于(1-2x)(x+1)0，也就是 ，所以 ，从而应填 三、解答题三、解答题29.（2007 北京）记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x 的解集为Q（I）若3a ，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围解：（I）由301xx，得13Pxx （II）1102Qx xxx由0a ，得1Pxxa ，又QP，所以2a ，即a的取值范围是(2)，30（2007 湖北湖北）已知 m，n 为正整数.（）用数学归纳法证明：当 x-1 时，(1+x)m1+mx；（）对于 n6，已知21311nn，求证mnnm2131，m=1,1,2，n；（）求出满足等式 3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数 n.解：（）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当 x-1，且 x0 时，m2,(1+x)m1+mx. 1(i)当 m=2 时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为 x0,所以 x20，即左边右边，不等式成立；（ii）假设当 m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当 m=k+1 时，因为 x-1,所以 1+x0.又因为 x0,k2,所以 kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx 两边同乘以 1+x 得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即当 mk+1 时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.()证：当,)21()311 (,21311, 6mnmmnnnmn、 而由（） ，31)311 (nmnm .)21()311 ()31 (mnmnnnm（）解：假设存在正整数00)3()2(43600000nnnnnnn、成立，即有（0330nn ）+00)32()34(000nnnnn1.又由（）可得（0330nn ）+0000)311 ()31 ()32()34(0000000nnnnnnnnnnn+, 121121)21()21()311 (000010nnnnn与式矛盾，故当 n6 时，不存在满足该等式的正整数 n.故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形；当 n=1 时，34，等式不成立；当 n=2 时，32+4252，等式成立；当 n=3 时，33+43+5363，等式成立；当 n=4 时，34+44+54+64为偶数，而 74为奇数，故 34+44+54+6474,等式不成立；当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的 n 只有 n=2,3.第二部分第二部分 三年联考题汇编三年联考题汇编2009 年年联联考考题题一、选择题1、 （山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）已知, a b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是（ ）A . 22ab B.22a bab C.220ab D.11ab 答案 C2.若ab，则(安徽省示范高中皖北协作区 2009 届高三第一次联考试题)下列不等式中正确的是（ ）A 11ab B 22ab C 22acbc D 2222abab答案 D3 （福建省福州市普通高中 09 年高三质量检查）已知0)2(, 0)(,0,), 0)(fxfxRxxxf且时当是奇函数，则不等式 0)(xf的解集是（ ）A （2，0）B), 2( C), 2()0 , 2( D), 2()2,(答案 C 4 （安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测）不等式21x 的解集为 A | 11xx B |1x x C |1x x D |11x xx 或答案 C 5. (北京市朝阳区北京市朝阳区 2009 年年 4 月高三一模理月高三一模理)蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买 2 千克甲种蔬菜与 1 千克乙种蔬菜所需费用之和大于8 元，而购买 4 千克甲种蔬菜与 5 千克乙种蔬菜所需费用之和小于 22 元. 设购买 2 千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买 3 千克乙种蔬菜所需费用为B元，则 （ ）AAB BAB CAB D,A B 大小不确定答案 A 6(北京市西城区北京市西城区 20092009 年年 4 4 月高三一模抽样测试理月高三一模抽样测试理) )设 , a bR，且(1)0b ab+，(1)bcBbacCbcaDcab答案 B 9、 （2009 龙岩一中理）若不等式|4|3|xxa的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ ） A7a B17a C1a D1a 答案 C 10、 （2009 龙岩一中文）已知a,bR，且ab，则下列不等式中恒成立的是 （ ）Aa2b2B(21) a 0Dba1答案 B 11、 （2009 泉州市）0,04,abab若，且则下列不等式中恒成立的是11.2Aab 11.1Bab .2Cab 2211.8Dab答案 D12、 （2009 广州一模）已知 p：关于 x 的不等式 x2+2axa0 的解集是 R，q：1a的解集为_.答案 1 |13x xx、14.( (北京市北京市东东城区城区 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三月高中示范校高三质质量量检测检测理理) )已知函数 f(x)的定义域为2，+)，部分对应值如下表,)(xf 为 f (x)的导函数，函数)(xfy的图象如右图所示，若两正数 a，b 满足1)2( baf，则33ab的取值范围是 答案 37,5315( (北京市北京市东城区东城区 20092009 年年 3 3 月高中示范校高三质量检测文月高中示范校高三质量检测文) )若关于x的不等式62 ax的解集为2 , 1，则实数a的值等于 2xyOx204f (x)111答案 -416. ( (北京市北京市丰台区丰台区 20092009 年年 3 3 月高三统一检测文月高三统一检测文)不等式021x的解集是 。答案 )21, 0(17、 （2009 龙岩一中文）当(12)x ，时，不等式240 xmx恒成立，则m的取值范围是 答案 5m18、 （山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习）设 p:实数 x 满足22430 xaxa,其中0a ,命题:q实数x满足2260,280.xxxx.()若1,a 且pq为真，求实数x的取值范围；()若p是q的充分不必要条件,求实数x的取值范围. 解解 由22430 xaxa得(3 )()0 xa xa，又0a ,所以3axa, 当1a 时，13x ,即p为真时实数x的取值范围是 13x . 2 分由2260280 xxxx,得23x,即q为真时实数x的取值范围是23x. 4 分若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是23x. 6 分() p是q的充分不必要条件，即pq,且q p, 8 分设 A= |xp,B= |xq,则AB,又 A= |xp= |3 x xaxa或, B= |xq=23xx或， 10 分则 0ac是bc的A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件答案 D4、(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)不等式xx1log21 的解集为 ( )A1, B , 1 C0, 1 D, 01, 答案 C5、(2008 江西省五校 2008 届高三开学联考)设2sin1sin2sin222nnna , 则对任意正整数, ()m n mn , 都成立的是A|2nmm naa B|2nmmnaa C1|2nmnaa D1|2nmnaa 答案 C12sin(1)sin(2)sin| |222nmnnmnnmaa12sin(1)sin(2)sin|222nnmnnm1112111111122|12222212nmnnmnm12n . 故应选 C6、(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)设1212121ab，那么( )A.ababaa B.baaaba C。aabbaa D.aababa 答案 C7、(四川省乐山市 2008 届第一次调研考试)已知, ,a b c满足0c b aac 、 、，则下列选项中不一定能成立的是（） Abcaa ；B.0b ac ；C.22bacc ；D.0a cac ；答案 C8、(四川省乐山市 2008 届第一次调研考试)不等式 532xxx 的解集为（）A. 3, ；B. 3, ；C. 2,5 ；D. 3,5答案 D9、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数( )f x为R上的连续函数且存在反函数1( )fx，若函数( )f x满足下表：那么，不等式1(1)2fx的解集是（ ）A. 542|xx B.332|xxC. 12|xx D. 15|xx答案 A10、(甘肃省河西五市 2008 年高三第一次联考)已知1( , 1)(1, ),xxa与b则不等式0a b 的解集为 （ ）A 11|xxx或B 101|xxx或C 101|xxx或D 101|xxx或答案 D11、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)如果 ab，给出下列不等式： （1）a1b3 (3) a2+1b2+1 (4) 2a2b其中成立的是 （ ） A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D. (2)(4)x32123( )f x132235答案 D12、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)在 R 上定义运算).1 (:yxyx若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（ ）A11aB20 aC2321aD2123a答案 C13、(黑龙江省哈尔滨三中 2008 年高三上期末)不等式0322xxx的解集为（ ）A)3 , 02,(B), 3(0, 2C), 30 , 2D), 3(0 ,(答案 A