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阶段质量评估（三）数学归纳法与不等式证明平均值不等式三个重要不等式（时间：60分钟满分：80分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若10gxy=2,则x+y的最小值是B.2V33c. 23D.32解析：由10gxy=2,得y=2.x-x+y=x+4=x+x+-123x22x答案：A1111*,-,、.2.用数学归纳法证明不等式1+23+33+.-+芾2,nCN）时，第一步应验证不等式().11A.1+了2, nCN，第一步应验证当n=2时，1+*bc0,所以 a3b3 c3.233.1 十为十方支-111D. 1+2由排序不等式，得a3xa+b3x b+ c3xca3b+b3c+ c3a.又知 abacbc, a2b2c2,+22a2bc+b2ca+c2ab.即a(abc)+b(bac)+c(cab)0.答案：B4,若5xi+6x2-7x3+4x4=1,贝U3x2+2x2+5x3+x2的最小值是()782A，彳5B.15782C. 3解析：二学+18+生+163525D. V3(3x2 + 2x2 + 5x2 + x4) 3x1x- + 3-2 X 2x2+,5x3 + 43x2+ 2x2 + 5x3+ x4 5-.782X 乂 / = (5x1 + 6x2 7x3 + 4x4)2=1,答案：B5.学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件，50件，20件，现选择商店中单价元，3元，2元的商品作为奖品，则至少要花（）A.300元B.360元C.320元D.340元解析：由排序原理可知，反序和最小，最小值为50X2+40X3+20X5=320（元）.答案：C6.已知x,y,zCR+,且1+2+3=1,则xyz的最小值是(xyz1A. 27B.27C. 162D.1162解析：x,. 1x -x -(x+y+z+t)2.当且仅当x=y=z=t=1时，取最小值4.答案：48.已知aC(0,+00)不等式x+12,x+423,，x+4n+1(nCN*),则a的xxx值为.解析：,.x+12,x+4?=X+x+23xx22x. a x , x , x , x+ -n= 一+ +一+x n n nW5=(n+1)(=门+1.a=nn(nN*).答案：nn(nCN*)9.设xi,x2,，xn为不同的正整数，则m=L+%的最小值是解析：设a1，a2,，an是x1，x2,，xn的一个排列，且满足aia2-1,a22,，ann.，111又1孑孑n7.我+拳+x3+-+x2a1+a+a2+喉1X1+2X+3x72+nx2=1+1I23n23n23n2+二+一3n、111答案：1+1+1+123n三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分10分)设a,b,cCR+,求证：丁111、9(a+b+c)日+b+b+c+a+c厂2.证明：.a,b,cR+,.2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)3(a+b1(b+c1(c+a0,_J1、o3111-a+bb+ca+；a+bb+ca+c当且仅当a=b=c时，等号成立.11.(本小题满分12分)设x0,求证：1 +x+x2+x2n(2n+1)xn.证明：(1)当x1时，1WxWx2WWxn,由排序不等式，得1x1+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn1+xnTx+xn1,即1+x2+x4+x2nA(n+1)xn.又x,x2,x3,，xn,1为序列1,x,x2,，xn的一个排列，由排序不等式，得1x+xx2+xnTxn+xn11xn+xxn-1+xnTx+xn1.即x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn.将和相加，得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.(2)当0xxx2-xn.仍然成立，于是也成立.综合(1)(2)可知，原不等式成立.12.(本小题满分13分)已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.25x216y29z2(1)求证：/+q+J5.4y+3z3z+5x5x+4y(2)求9x2+9y2+z2的最小值.(1)证明：根据柯西不等式，得-25x216y29z212(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)4y+3z+3z+5x+5x+4y.(5x+4y+3z).-.15x+4y+3z=10,.上+3+上送=5.4y+3z3z+5x5x+4y20(2)解：根据平均值不等式，得9x2+9y2+z22,9x29y2+z2=23x2+y2+z2.当且仅当*2=/+/时，等号成立.根据柯西不等式，得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100,1P(x2+y2+z2)2.当且仅当5=4=z时，等号成立.综上所述，9x2+9y2+z2232=18.当且仅当x=1,y=4,z=5时，等号成立，9x2+9y2+z2的最小值为18.B卷（时间：60分钟满分：80分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.一32.一.1 .右n0,则n+孑的取小值为（）A.2B.4C.6D.1632nn32解析：n+32=2+2+32,应用平均值不等式即可求出答案.答案：C2.用数学归纳法证明111111,/42+E力Qn=k时，不等式成立,则当n=k+1时，应推证的目标是（）A1.1.11，A-22+32+(k+222-k+3.1.1.111B。22+32+(k+122k+2c.+禺T1 1111D-尹相+丹力k解析：当n=k+1时，不等式变为十七+心1-23(k+1j(k+2)2(k+1汁2答案：A3,已知a2+a2+a2=1,x2+x2+X2=1,则ax+a2X2+anXn的最大值为()A.1B.nC.5D,2解析：由柯西不等式，得(a2+a2+a2)(x2+x2+-+x2)(a1x1+a2x2+j+anxn)2.即11(ax+a2x2+anxn)2.ax+a2x2+anxnW1.故所求的最大值为1.答案：A4.一长方体的长、宽、高分别为a,b,c且a+b+c=9,当长方体的体积最大时，长方体的表面积为（）B. 54A.27C. 52D.563一斛析： 9= a + b+ c 3,abc,，abcw 27.当且仅当a=b=c= 3时取得最大值 27,此时其表面积为 6X 32=54.答案：B5.用数学归纳法证明“对任意x0和正整数n,者B有 xn + xn 2+xn 4+hn4 + x1, 一 jn+1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值 Xno应为（）B. n0=2C. no= 1,2D.以上答案均不正确1. .一 1斛析：当n=1时，左边=x+ X,右边=1+1,而x+x”即n=1时不等式成上答案：A6.设a, b, c为正数，且a+2b+ 3c= 13,求V3a+亚b+五的最大值为（）13 3A3解析：(a+2b + 3c)(* 2 +12+D, 613赌 j I fya V3+v2b 1+怎左/= (V3a+V2b+c)2. .(强+亚+黄)2W呼. 3当且仅当去=尊=空时取,3又 a + 2b+3c= 13,.3a+ - 2b+ c有最大值 今13 3答案：A二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中的横线上 ）7.函数 y= 1 +sin a ,A1 + cos a J解析：由柯西不等式，得y= 12+ f-r=) k/sin a)12 +COCOS a(1+#)2=3+2倨当且仅当11I)sin2(X1)“cosasjnin民即“=n寸等号成立答案：3+22(a,)上恒成立，则实数 a的最小值18.已知关于x的不等式2x+；27在区间2a,我+c)x-a，ha+hb+hc9r,当且仅当a=b=c时取等号.故ha+hb+hc=9r时，三角形为等边三角形.答案：等边三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10 .(本小题满分10分)已知正数x,y,z满足x+y+z=1.222,(1)求证.+-y+-(刁y+2zz+2xx+2y3.(2)求4x+4y+4z2的最小值.证明：x0,y0,z0,由柯西不等式，得x2.y2z22(y+2z)+(z+2x)+(x+冽冒豆+为十仁广(x+y+z).又x+y+z=1,2222J段Oxz)Jy+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3(2)解：由平均值不等式，得4x+4y+4z2334x+y+z2,.x+y+z=1,x+y+z2=1z+z2=!z+3-3244故4X+4y+4z2A3-3y4|=3V2,11当且仅当x=y=4,z=2时等号成立.4x+4y+4z2的最小值为3m11 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-|x-2|,mCR,且关于x的不等式f(x+2)0的解集为1,1.(1)求m的值._一一1,1.1(2)若a,b,cCR,且&+3+获=m，求证：a+2b+3c9.(1)解：.f(x+2)=m-|x|,.f(x+2)0等价于|x|wm.由|x|Wm有解，得m0,且其解集为x|mwxwm.又f(x+2)0的解集为1,1,故m=1.111(2)证明:由(1)知;,+2b+3：=1，a2b3c又a,b,cCR+,由柯西不等式，得a+2b+3c=(a+2b+3c)6+21b+力帆/通盘+相意2=9.12 .(本小题满分13分)已知数列bn是等差数列，bi=1,bi+b2+bio=145(neN*).(1)求数列bn的通项公式.(2)设数列an的通项an=logab1,(其中a0且aw1),记Sn是数列an的前n项和，试比较SnTlOgabn+1的大小，并证明你的结论.3解：(1)设数列bn的公差为d,由题意，得10X1+10%20TXd=145.d=3,bn=3n2.(2)由bn=3n-2,得Sn=lOga(1+1)+lOga1+4户+a+3n1jToga”11).3nb)又110gabn+1=loga3/3n+1,31要比较Sn与110gabn+1的大小，可先比较3(1+1)卜+4(1+37132,占3/3n+1的大小.取n=1,有(1+1)知31,nCN*时，有(1+1力+9,力+372V3.下面用数学归纳法说明：当n=1时，已验证不等式成立.假设当n=k(kCN)时，不等式成立，即(1+1)-4卜卜+3k1_2；33k+1,则当n=k+1时，仙11，%(3k+2).1:工3/3k+13k+1厂3k+1_3k+11313k+2-A3k+4)332=(3k+2j(3k+4(3k+1)3k+129k+4=20,3k+1.弧+13r-3y-3k+1(3k+2)3k+4=3k+1+1.（1+1）+4,Ai1+3；l1+3（k+当 0a1 时，Sn1+S23/3R都成立再由对数的性质，可得1当a1时，Sn-logabn+1；3l-a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.1.1解析：2x+2=(xa)+(xa)+2+(xa)(xa)2x+/丁3济京二+2a=3+2a.当且仅当x-a=-*1_2,即x=a+1时取等号.(x-a)1.2x+2的最小值为3+2a.(x-a)由题意可得3+2a7,得a2.故实数a的最小值为2.答案：29.三角形的三边，a,b,c对应的高为ha,hb,hc,且r为三角形内切圆的半径.若ha+hb+hc的值为9r,则此三角形为三角形.解析：记三角形的面积为S,则2S=aha=bhb=chc.,-2S=r(a+b+c),.ha+hb+hc=2S(+；+；=r(a+b+c)由柯西不等式，得(a+b+cg+*)=()2+(|)2+(#)2+伍)+
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