数学第五章 平面向量与解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理

第五章 平面向量与解三角形5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理高考数学高考数学考点一平面向量的线性运算及几何意义考点一平面向量的线性运算及几何意义1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.2.向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作|.3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度为1个单位长度的向量叫做单位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.规定:0与任一向量平行.5.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.向量的加法法则:三角形法则和平行四边形法则.7.向量加法的交换律:a+b=b+a.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).ABABAB知识清单8.与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.规定:0的相反向量是0.9.实数与非零向量a的乘积a是一个向量,它的长度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向:当0时,与a同向;当0时,与a反向.显然,当=0时,a=0.10.设a、b是任意向量,、是实数,则实数与向量的积适合以下运算律:(1)结合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.11.向量共线的判断(1)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=a;(2)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数、,使得a+b=0.考点二平面向量的基本定理及坐标表示考点二平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2,其中e1、e2是一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),R,则a=(x,y).3.向量平行的坐标表示(1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),则ab的充要条件为x1y2-x2y1=0;(2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-ABy 1)=0.4.几个重要结论:如图,(1)若a、b为不共线向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的对角线向量;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);(3)G为ABC的重心+=0G.GAGBGC,33ABCABCxxxyyy 平面向量的线性运算的解题策略平面向量的线性运算的解题策略平面向量线性运算的思路:(1)根据已知条件,正确选择基底;(2)把条件和结论(或问题)中的所有向量用基底表示;(3)进行相关的运算.例1(2017浙江台州质量评估,16)已知不共线的平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,则=.|c bb|c aa方法技巧方法1解题导引设=a,=b,=c由条件知A,B,C三点共线,且OC为AOB的平分线由平分线性质得结论OAOBOC解析如图,设=a,=b,=c.因为向量c=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三点共线.由=知,|c|cos=|c|cos,所以OC为AOB的平分线.因为c=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b),即=,所以=,OAOBOC|c bb|c aaBCBA|BCBA易知=,所以=.|BCCA|OBOA23|BCBA25答案25 平面向量的坐标运算的解题策略平面向量的坐标运算的解题策略向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,向量的运算就完全可以转化为代数运算,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,很多几何问题的证明,特别是共线、共点等较难问题的证明,就可以转化为较为简单的代数运算的论证.例2(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,15)已知ABC中,AB=4,AC=2,若|+(2-2)|的最小值为2,则对于ABC内(包括边界)一点Q,(+)的取值范围是.ABACQAQBQC方法2解题导引建立合适的平面直角坐标系由最值确定点B坐标由向量的坐标运算把向量的数量积转化为动点与定点的距离的平方由距离的几何意义得结论解析不妨设=+(2-2)=+2(1-)=+(1-)(其中C为AN的中点),可知B,M,N三点共线,且AB=AN=4,因为|的最小值为2,且易知取到最小值时,AMBN,所以MAN=60,所以BAC=120.如图,建立以A为坐标原点,AC所在的直线为x轴的平面直角坐标系.设B点在x轴上方,可得A(0,0),B(-2,2),C(2,0),则BC的中点D的坐标为(0,).设Q(x,y),则(+)=2=2x2+y(y-)=2.x2+的几何意义为点Q与点P的距离的平方,可知当Q与P重合时,距离的平方最小,为0;当Q在B点处时,距离的平方最大,为,所以(+)的取值范围为.AMABACABACABANAM33QAQBQCQAQD3223324xy232y30,2434QAQBQC3,202答案3,202