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42空间图形的公理空间图形的公理(二二)第一章立体几何初步第一章立体几何初步1问题导航问题导航(1)两条异面直线所成角的范围是什么？两条异面直线所成角的范围是什么？(2)空间四边形的对角线一定不相交吗？空间四边形的对角线一定不相交吗？(3)在平面中，我们知道在平面中，我们知道“一个角的两边与另一个角的两边分一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补别垂直，则这两个角相等或互补”，在空间中这个结论还成，在空间中这个结论还成立吗？立吗？2例题导读例题导读P25例例2.通过本例学习，学会判断正方体中线与线位置关系的通过本例学习，学会判断正方体中线与线位置关系的方法解答本例过程中需注意，将展开图还原成正方体时，方法解答本例过程中需注意，将展开图还原成正方体时，各顶点的位置关系要弄清楚各顶点的位置关系要弄清楚文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言平行于同一条平行于同一条直线的两条直直线的两条直线线_若若ab，bc，则则_1.公理公理4平行平行ac2.等角定理等角定理空间中，如果两个角的两条边分别空间中，如果两个角的两条边分别_，那么这两，那么这两个角个角_3异面直线所成的角异面直线所成的角对应平行对应平行相等或互补相等或互补定义定义过空间任意一点过空间任意一点P分别引两条异面直线分别引两条异面直线a,b的平行线的平行线l1,l2(al1，bl2),这这两条相交直线所成的两条相交直线所成的_就就是异面直线是异面直线a，b所成的角所成的角取值取值范范围围异面直线所成的角异面直线所成的角的取值范围：的取值范围：_特例特例当当_时时，a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作ab锐角锐角(或直角或直角)090902空间两个角空间两个角，的两边分别对应平行且方向相同，若的两边分别对应平行且方向相同，若50，则，则等于等于()A50B130C40 D50或或130解析：由等角定理知解析：由等角定理知与与相等相等，故选故选A.3垂直于同一条直线的两条直线垂直于同一条直线的两条直线()A平行平行 B相交相交C异面异面 D以上都有可能以上都有可能解析：可借助正方体来分析解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可可知平行、相交及异面都有可能能，故选故选D.AD90所以所以DGD1(或其补角或其补角)是异面直线是异面直线CD1与与EF所成的角所成的角又因为又因为A1AAB，所以四边形所以四边形ABB1A1，四边形四边形CDD1C1都是都是正方形正方形，且且G为为CD1的中点的中点，所以所以DGCD1，所以所以D1GD90，所以异面直线所以异面直线CD1，EF所成的角为所成的角为90.公理公理4的应用的应用 若本例中的条件不变，求证改为若本例中的条件不变，求证改为“四边形四边形MBND1为菱形为菱形”又该如何证？又该如何证？D等角定理的应用等角定理的应用B70或或110异面直线所成的角异面直线所成的角方法归纳方法归纳1求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解三角形求解2注意注意(1)作异面直线所成的角时作异面直线所成的角时，要选择适当的点要选择适当的点，平移异面直线平移异面直线中的一条或两条成为相交直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置这里的点通常选择特殊位置上的点上的点，如线段的中点或端点如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点直线上的一个特殊点(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况要注意识别这种情况B规范解答规范解答求异面直线上两点间的距离求异面直线上两点间的距离D2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行一定平行 B一定相交一定相交C一定异面一定异面 D相交或异面相交或异面解析：分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面解析：分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面，如如图图(1)(2)D3如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，A1C1D1B1O，E,F分别是分别是B1O和和C1O的中点，则在长方体各棱中与的中点，则在长方体各棱中与EF平行的平行的有有_条条解析：与解析：与EF平行的棱为平行的棱为B1C1，BC，AD，A1D1，共共4条条44已知正方体已知正方体ABCDABCD，求：，求：(1)BC与与CD所成的角；所成的角；(2)AD与与BC所成的角所成的角解：解：(1)连接连接BA，则则BACD，则则ABC就是就是BC与与CD所成的角所成的角连接连接AC，由由ABC为正三角形为正三角形， 知知ABC60. (2)由由ADBC，知知AD与与BC所成所成的角就是的角就是CBC，易知易知CBC45.
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