资源描述
第2课时 排列、组合基础知识梳理基础知识梳理排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数定定义义1.排列：从排列：从n个不同元素中取个不同元素中取出出m(mn)个元素，个元素， ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素个元素的一个排列的一个排列2.排列数：从排列数：从n个不同元素中个不同元素中取出取出m(mn)个元素的个元素的 ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素个元素的排列数的排列数.1.组合：从组合：从n个不同元素中个不同元素中取出取出m(mn)个元素个元素 ，叫做从，叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的一个组合个元素的一个组合2.组合数：从组合数：从n个不同元素个不同元素中取出中取出m(mn)个元素的个元素的 ，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的组合数元素的组合数按照一按照一定的顺序排成一列定的顺序排成一列所有所有不同排列的个数不同排列的个数合成一合成一组组所所有不同组合的个数有不同组合的个数基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理如何区分某一问题是排列问题如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？还是组合问题？【思考思考提示提示】区分某一问区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组生影响，则是排列问题，否则是组合问题合问题1(2009年高考湖北卷改编年高考湖北卷改编)将甲、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不班，每个班至少分到一名学生，则不同分法的种数为同分法的种数为()A18B24C30 D36答案答案：D三基能力强化三基能力强化2从从1,2,3,4,5,6六个数字中，选六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数有重复数字的三位数，这样的三位数共有共有()A9个个 B24个个C36个个 D54个个答案答案：D三基能力强化三基能力强化2从从1,2,3,4,5,6六个数字中，选六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数有重复数字的三位数，这样的三位数共有共有()A9个个 B24个个C36个个 D54个个答案答案：D三基能力强化三基能力强化4在在10件产品中有三件是次品，件产品中有三件是次品，从中任取三件恰有一件次品的取法有从中任取三件恰有一件次品的取法有_种种答案答案：63三基能力强化三基能力强化5(教材习题改编教材习题改编)电视台连续播电视台连续播放放6个广告，其中含个广告，其中含4个不同的商业广告个不同的商业广告和和2个不同的公益广告，要求首尾必须个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有播放公益广告，则共有_种不同种不同的播放方式的播放方式(结果用数值表示结果用数值表示)答案答案：48三基能力强化三基能力强化课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一排列数、组合数计算排列数、组合数计算课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】本题主要考查本题主要考查排列数公式、阶乘的定义及运算能排列数公式、阶乘的定义及运算能力力(1)是涉及含字母的排列数，但是涉及含字母的排列数，但因因2、3数字比较小，仍用公式数字比较小，仍用公式Anmn(n1)(nm1)课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)原方程可化为：原方程可化为：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示误区警示】在解有关排列数在解有关排列数(或或组合数组合数)的方程或不等式时，必须注意的方程或不等式时，必须注意Anm中的中的n是正整数，是正整数，m是非负整数，且是非负整数，且nm，求出方程或不等式的解后，要进，求出方程或不等式的解后，要进行检验，把不符合的解舍去行检验，把不符合的解舍去课堂互动讲练课堂互动讲练涉及有限制条件的排列问题时，首先考涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素上的其他元素(这种方法称为特殊元素或特这种方法称为特殊元素或特殊位置法殊位置法)；或者，先求出不加限制条件的；或者，先求出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数排列数，再减去不符合条件的排列数 (也也叫做间接法或排除法叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基，这是解排列题的基本策略所谓本策略所谓“捆绑法捆绑法”与与“插空法插空法”，实际上，实际上都是特殊元素都是特殊元素(位置位置)特殊考虑的结果特殊考虑的结果课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二排列应用题排列应用题课堂互动讲练课堂互动讲练有有3名男生、名男生、4名女生，在下列不同条件下，名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数求不同的排列方法总数(1)选其中选其中5人排成一排；人排成一排；(2)排成前后两排，前排排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人；人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻全体排成一排，男生互不相邻课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】本题是有限制条本题是有限制条件的排列问题，它们分别属于相邻问件的排列问题，它们分别属于相邻问题、不相邻问题、顺序一定问题、在题、不相邻问题、顺序一定问题、在与不在问题等模型，应采取相应的捆与不在问题等模型，应采取相应的捆绑法、插空法、直接法、间接法、排绑法、插空法、直接法、间接法、排除法等求解除法等求解【解解】(1)从从7个人中选个人中选5个人来个人来排列，是选排列有排列，是选排列有A75765 432520(种种)(2)分两步完成，先选分两步完成，先选3人排在前人排在前排，有排，有A73种方法，余下种方法，余下4人排在后排，人排在后排，有有A44种方法，故共有种方法，故共有A73A445040(种种)(3)(优先法优先法)课堂互动讲练课堂互动讲练法一法一：甲为特殊元素先排甲，：甲为特殊元素先排甲，有有5种方法；其余种方法；其余6人有人有A66种方法种方法 ，故共有故共有5A663600(种种)法二法二：排头与排尾为特殊位：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的置排头与排尾从非甲的6个人中选个人中选2个排列，有个排列，有A62种方法，中间种方法，中间5个位置个位置由余下由余下4人和甲进行全排列，有人和甲进行全排列，有A55种种方法，共有方法，共有A62A553600(种种)课堂互动讲练课堂互动讲练(4)(捆绑法捆绑法)将女生看成一个整体，将女生看成一个整体，与与3名男生在一起进行全排列，有名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将种方法，再将4名女生进行全排列，名女生进行全排列，也有也有A44种方法，故共有种方法，故共有A44A44576(种种)(5)(插空法插空法)男生不相邻，而女生男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有不作要求，所以应先排女生，有A44种种方法，再在女生之间及首尾空出的方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选个空位中任选3个空位排男生，有个空位排男生，有A53种方法，故共有种方法，故共有A44A531440(种种)课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】求排列应用题的求排列应用题的主要方法有：主要方法有：1直接法：把符合条件的排列直接法：把符合条件的排列数直接列式计算数直接列式计算2特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排的优先安排的方法即先排特殊元素或特殊位置方法即先排特殊元素或特殊位置3排列、组合混合问题先选后排列、组合混合问题先选后排的方法排的方法课堂互动讲练课堂互动讲练4相邻问题捆绑处理的方法即可相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列排列，同时注意捆绑元素的内部排列5不相邻问题插空处理的方法即不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中邻的元素插在前面元素排列的空当中6“小集团小集团”排列问题中先集体后局排列问题中先集体后局部的处理方法部的处理方法课堂互动讲练课堂互动讲练若将本例中的第若将本例中的第(3)问改为问改为“甲不站排头，甲不站排头，乙不站排尾乙不站排尾”其他条件不变，应如何求解其他条件不变，应如何求解解解：用间接法，：用间接法，3名男生，名男生，4名女生站成名女生站成一排的方法共有一排的方法共有A77种种甲站在排头的方法有甲站在排头的方法有A66种，乙站在排种，乙站在排尾的方法有尾的方法有A66种种甲站排头，乙站排尾的方法有甲站排头，乙站排尾的方法有A55种种符合题意的方法数为：符合题意的方法数为：A77A66A66A553720(种种)课堂互动讲练课堂互动讲练组合问题常有以下两类题型变化：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组某些元素的组合题型：合题型：“含含”，则先将这些元素取出，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；再由另外元素补足；“不含不含”，则先将这，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选些元素剔除，再从剩下的元素中去选取取课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三组合应用题组合应用题(2)“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视的题型：解这类题必须十分重视“至至少少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理时，考虑逆向思维，用间接法处理课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练7名男生名男生5名女生中选取名女生中选取5人，分别人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；必须当选；(2)A，B不全当选；不全当选；(3)选取选取3名男生和名男生和2名女生分别担任名女生分别担任班长、体育委员等班长、体育委员等5种不同的工作，但种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任女生担任课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】(1)属于组合问题，属于组合问题，可用直接法；可用直接法；(2)属于组合问题可用间属于组合问题可用间接法；接法；(3)属于先选后排问题应分步完属于先选后排问题应分步完成成【解解】(1)由于由于A，B必须当选，必须当选，那么从剩下的那么从剩下的10人中选取人中选取3人即可，人即可，有有C103120(种种)(2)全部选法有全部选法有C125种，种，A，B全当选有全当选有C103种，故种，故A，B不全当选有不全当选有C125C103672(种种)(3)分三步进行：分三步进行：第一步，选第一步，选1男男1女分别担任两个职务有女分别担任两个职务有C71C51种种第二步，选第二步，选2男男1女补足女补足5人有人有C62C41种种第三步，为这第三步，为这3人安排工作有人安排工作有A33种种由分步乘法计数原理共有由分步乘法计数原理共有C71C51C62C41A3312600(种种)选法选法课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】对于第对于第(3)问也可问也可以先选人，其方法为以先选人，其方法为C73C52，再分工，再分工C31C21A33利用乘法原理利用乘法原理C73C52C31C21 A3312600.课堂互动讲练课堂互动讲练题目条件不变，求符合下列条件的选法题目条件不变，求符合下列条件的选法总数有多少？总数有多少？(1)A、B必不当选必不当选(2)至少有至少有2名女生当选名女生当选解解：(1)从除去从除去A，B两人的两人的10人中选人中选5人人即可，即可，有有C105252(种种)(2)注意到注意到“至少有至少有2名女生名女生”的反面是只的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行有一名女生或没有女生，故可用间接法进行求解求解有有C125C51C74C75596(种种)选法选法课堂互动讲练课堂互动讲练解排列、组合的综合应用问题，要解排列、组合的综合应用问题，要按照按照“先选后排先选后排”的原则进行，即一般是的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出先将符合要求的元素取出(组合组合)，再对，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分有：元素分析法、位置分析法、图形分析法要根据实际问题探索分类分步的析法要根据实际问题探索分类分步的技巧，做到层次清楚，条理分明技巧，做到层次清楚，条理分明课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四排列、组合应用题排列、组合应用题课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)从从1到到9的的9个数字中取个数字中取3个偶数个偶数4个奇数，个奇数，试问：试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，上述七位数中，3个偶数排在一起的有个偶数排在一起的有几个？几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？也排在一起的有几个？(4)(1)中任意中任意2个偶数都不相邻的七位数有个偶数都不相邻的七位数有几个？几个？课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】本题属于有限制本题属于有限制条件的排列、组合问题可优先考虑条件的排列、组合问题可优先考虑特殊元素或特殊位置，采用先选后排特殊元素或特殊位置，采用先选后排的顺序求解的顺序求解【解解】(1)分步完成：第一步，分步完成：第一步，在在4个偶数中取个偶数中取3个，有个，有C43种情况；第种情况；第二步，在二步，在5个奇数中取个奇数中取4个，有个，有C54种情种情况；第三步，况；第三步，3个偶数，个偶数，4个奇数进行个奇数进行排列，有排列，有A77种情况所以符合题意的种情况所以符合题意的七位数有七位数有C43C54A77100800(个个). 3分分(2)上述七位数中，上述七位数中，3个偶数排在一起的个偶数排在一起的有有C43C54A55A3314400(个个). 6分分(3)上述七位数中，上述七位数中，3个偶数排在一起，个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A225760(个个).9分分(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可上述七位数中，偶数都不相邻，可先把先把4个奇数排好，再将个奇数排好，再将3个偶数分别插入个偶数分别插入5个空档，个空档，共有共有C43C54A53A4428800(个个). 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】解排列、组合应用问题解排列、组合应用问题的常用思想方法：的常用思想方法：(1)对于有特殊元素或特殊位置的排列问对于有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置；殊位置；(2)对于元素有顺序限制的排列，可以先对于元素有顺序限制的排列，可以先将不受限制的元素进行排列，然后将受限制将不受限制的元素进行排列，然后将受限制的元素按要求插入到空档里面，同时要注意：的元素按要求插入到空档里面，同时要注意：若空档的个数多于受限制元素的个数，则在若空档的个数多于受限制元素的个数，则在插入时要考虑受限制元素的排列；插入时要考虑受限制元素的排列；课堂互动讲练课堂互动讲练(3)间接法：先不考虑题中的间接法：先不考虑题中的限制条件，求出一个中间结果，再限制条件，求出一个中间结果，再想法剔除不满足限制条件的情况，想法剔除不满足限制条件的情况，得出最后结果得出最后结果课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)用用0、1、2、3、4、5这六个数字这六个数字(1)可以组成多少个无重复数字的五可以组成多少个无重复数字的五位数；位数；(2)可以组成多少个无重复数字的五可以组成多少个无重复数字的五位奇数；位奇数；(3)可以组成多少个无重复数字的能可以组成多少个无重复数字的能被被5整除的五位数整除的五位数课堂互动讲练课堂互动讲练解解：(1)法一：法一：(直接法直接法)从从1,2,3,4,5这五个数字中任取一个作首位，有这五个数字中任取一个作首位，有C51种；余下的种；余下的5个数字可排在后四位中个数字可排在后四位中的任何一个位置，有的任何一个位置，有A54种，由分步计种，由分步计数原理，共有数原理，共有C51A54600(个个).4分分法二：法二：(间接法间接法)不考虑任何限制，不考虑任何限制，共有共有A65种，而种，而0作首位时，有作首位时，有A54种，种，故符合题意的数字个数为故符合题意的数字个数为A65A54600(个个).4分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)一个数是否为奇数取决于个位数字，一个数是否为奇数取决于个位数字，所以个位为特殊位置，又所以个位为特殊位置，又0不能排在首位，不能排在首位，所以所以0为特殊数字，应优先考虑，有为特殊数字，应优先考虑，有C31C41A43288(个个). 8分分(3)能被能被5整除的五位数，则个位数字是整除的五位数，则个位数字是0或或5.当个位数字是当个位数字是0时，共有时，共有A54个；个；当个位数字是当个位数字是5时，共有时，共有C41A43个，个，由分类计数原理，符合题意的数字共有由分类计数原理，符合题意的数字共有A54C41A43216(个个). 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练1对于有附加条件的排列组合应用对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑：题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组或组合数，再减去不合要求的排列或组合数合数规律方法总结规律方法总结2关于排列、组合问题的求解，关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊特殊元素优先安排；元素优先安排；(2)合理分类与准确分合理分类与准确分步；步；(3)排列、组合混合问题先选后排；排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题不相邻问题插空处理；插空处理；(6)定序问题排除法处理；定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；分排问题直排处理；(8)“小集团小集团”排排列问题先整体后局部；列问题先整体后局部；(9)构造模型；构造模型；(10)正难则反，等价转化正难则反，等价转化规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
展开阅读全文