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第六节离散型随机变量及其分布列总纲目录教材研读1.随机变量的有关概念考点突破2.离散型随机变量分布列的概念及性质3.常见的离散型随机变量的概率分布考点二超几何分布考点二超几何分布考点一离散型随机变量的分布列教材研读教材研读1.随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果不同而变化变化的变量,常用字母X,Y,表示.(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出一一列出的随机变量.2.离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.(2)分布列的性质(i)pi0,i=1,2,3,n;(ii).11niip3.常见的离散型随机变量的概率分布(1)两点分布若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.X01P1-ppC CCkn kMN MnNX01mP 0n 0MN MnNC CC1n 1MN MnNC CCmn mMN MnNC CC如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.1.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数C答案答案C选项A、B是随机事件,选项D是确定的值,为2,并不随机;选项C是随机变量,可能的取值为0,1,2.B2.从标有110的10支竹签中任取2支,设所取2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值有()A.17个B.18个C.19个D.20个A答案答案A从10支竹签中任取2支,竹签上的数字之和可以是319中的任意一个,共有17个.3.设随机变量Y的分布列为则“Y”的概率为()A.B.C.D.Y-123Pm1414327214123423C答案答案C因为+m+=1,所以m=,所以P=P(2)+P(3)=.1414123722Y34B4.随机变量X等可能取值1,2,3,n,如果P(X4)=0.3,则n=.10答案答案10解析解析由题意知P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=+=0.3,故n=10.1n1n1n3n5.在含有3件次品的10件产品中任取4件,则取到次品数X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3.437410CCCkk答案答案P(X=k)=,k=0,1,2,3437410CCCkk解析解析由题意知,X服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=4,所以分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3.437410CCCkkB考点一离散型随机变量的分布列考点突破考点突破典例典例1长时间用手机上网严重影响学生的健康,某校为了解A,B两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时,则称为“过度用网”.(1)请根据样本数据,估计A,B两班的学生平均每周上网时长的平均值;(2)从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度用网”的概率;(3)从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据,记“过度用网”的学生人数为,写出的分布列.解析解析(1)A班样本数据的平均值为(9+11+13+20+24+37)=19,由此估计A班学生平均每周手机上网时长的平均值为19小时.B班样本数据的平均值为(11+12+21+25+27+36)=22,由此估计B班学生平均每周手机上网时长的平均值为22小时.(2)因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个数据,为“过度用网”的概率是,所以从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据,恰有1个数据为“过度用网”的概率P=.(3)的可能取值为0,1,2,3,4.16161312C132349P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=.的分布列为22432266C CC C2251122114234332266C C CC C CC C267522221111234342332266C CC CC C C CC C31752111122334232266C C CC C CC C117522232266C CC C17501234P225267531751175175规律总结规律总结(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤:理解X的意义,写出X可能取得的全部值;求X取每个值的概率;写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.1-1如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到了不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,据此解答以下问题.(1)求全班人数及分数在80,100之间的频率;(2)现从分数在80,100之间的试卷中任取3份分析学生的失分情况,设抽取的试卷分数在90,100的份数为X,求X的分布列.解析解析(1)由茎叶图可知分数在50,60)之间的人数为4,60,70)之间的人数为8,70,80)之间的人数为10.总人数为=32(人).40.0125 10分数在80,100之间的人数为32-4-8-10=10(人),频率为=.1032516(2)分数在90,100之间的人数为4,分数在80,90)之间的人数为6.X的所有可能取值是0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列为36310CC20120162164310C CC60120122146310C CC3612031034310CC4120130X0123P1612310130考点二超几何分布典例典例2(2017北京顺义二模,16改编)春节期间,受烟花爆竹集中燃放影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2016年除夕18时和2017年初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表(单位:微克/立方米):除夕18时PM2.5浓度初一2时PM2.5浓度北京75647天津66400石家庄89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;(2)环保部门发现:2016年除夕18时到2017年初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是禁止燃放烟花爆竹的城市,浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到禁止燃放烟花爆竹的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析解析(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为=70微克/立方米.(2)8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为756689 10246 1635 1318034438C CC114124438C CC614214438C CC614304438C CC114X0123P114614614114X的数学期望EX=0+1+2+3=.114614614114211432规律总结规律总结1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,超几何分布的特征:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象中个体的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察抽取到的某类个体个数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2-1(2018北京东城期中,16)袋子里有完全相同的3个红球和4个黑球,现从袋子里随机取球;(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;(2)若无放回地取3次,每次取一个球,取出1个红球得2分,取出1个黑球得1分,求得分的分布列和数学期望.解析解析(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率均为,取出黑球的概率均为,设事件A=“取出2个红球1个黑球”,则P(A)=3=.(2)的取值有四个:3、4、5、6,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,随机变量的分布列为374723C23747949471083433437CC435123437C CC1835213437C CC12353337CC1353456P43518351235135E=3+4+5+6=.43518351235135307
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