数学总第七章 图形的变化 第三节 图形的对称、平移、旋转与位似

第三节图形的对称、平移、旋转与位似考点一考点一 图形的对称图形的对称例例1 1(2018(2018烟台烟台) )在学习在学习图形变化的简单应用图形变化的简单应用这一节这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案下列设计的时，老师要求同学们利用图形变化设计图案下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( () )【分析分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解【自主解答自主解答】选项选项A A、B B既是中心对称图形，也是轴对称图既是中心对称图形，也是轴对称图形；选项形；选项C C是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项D D既既不是轴对称图形也不是中心对称图形故选不是轴对称图形也不是中心对称图形故选C.C.总结：既是轴对称图形又是中心对称图形的特点：图形既总结：既是轴对称图形又是中心对称图形的特点：图形既能沿着某条直线能沿着某条直线( (穿过图形穿过图形) )对折后完全重合，又能关于某对折后完全重合，又能关于某个点个点( (图形内部，即图形的中心图形内部，即图形的中心) )旋转旋转180180后与原图形完全后与原图形完全重合重合1 1(2018(2018德州德州) )下列图形既是轴对称图形又是中心对称下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是图形的是( )( )B B2 2(2017(2017河北河北) )图图1 1和图和图2 2中所有的小中所有的小正方形都全等，将图正方形都全等，将图1 1的正方形放在的正方形放在图图2 2中的某一位置，使它与中的某一位置，使它与原来原来7 7个小正方形组成的图形是中心个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是对称图形，这个位置是( )( )A A B BC C D DC C考点二考点二 图形的平移图形的平移例例2 2(2017(2017铜仁铜仁) )如图，如图，ABCABC沿着沿着BCBC方向方向平移得到平移得到ABCABC，点，点P P是直线是直线AAAA上上任意一点，若任意一点，若ABCABC、PBCPBC的面积分的面积分别为别为S S1 1、S S2 2，则下列关系正确的是，则下列关系正确的是( ( ) )A AS S1 1S S2 2 B BS S1 1S S2 2C CS S1 1S S2 2 D DS S1 12S2S2 2【分析分析】 根据平行线间的距离相等可知根据平行线间的距离相等可知ABCABC，PBCPBC的高相等，再由等底等高的三角形面积相等即可得到答案的高相等，再由等底等高的三角形面积相等即可得到答案【自主解答自主解答】 ABCABC沿着沿着BCBC方向平移得到方向平移得到ABC. ABC. AABCAABC，BCBCBC.BC.点点P P是直线是直线AAAA上任意一点，上任意一点，ABCABC，PBCPBC的高相等，的高相等，S S1 1S S2 2. .故选故选C.C.1 1(2017(2017东营东营) )如图，把如图，把ABCABC沿着沿着BCBC的方向平移到的方向平移到DEFDEF的位置，它们重叠部分的面积是的位置，它们重叠部分的面积是ABCABC面积的一半，若面积的一半，若BCBC ，则，则ABCABC移动的距离是移动的距离是( )( )3D D2 2如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，BCBC12 12 cmcm，点，点D D在在ACAC上，上，DCDC4 4 cmcm. .将线段将线段DCDC沿着沿着CBCB的方向平移的方向平移7 7 cmcm得到线段得到线段EFEF，点，点E E，F F分别落在边分别落在边ABAB，BCBC上，则上，则EBFEBF的周长为的周长为_cmcm. . 13 13 考点三考点三 图形的旋转图形的旋转例例3 3(2018(2018枣庄枣庄) )如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，ADAD2 2 ，把边，把边BCBC绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转3030得到线段得到线段BPBP，连接，连接APAP并延长交并延长交CDCD于于点点E E，连接，连接PCPC，则三角形，则三角形PCEPCE的面积为的面积为 3【分析分析】 根据旋转的思想得根据旋转的思想得PBPBBCBCABAB，PBCPBC3030，推，推出出BAPBAP6060，APAPABAB2 2 ，解直角三角形得到，解直角三角形得到DEDE，从，从而求出而求出CECE2 2 2 2，PEPE4 42 2 ，过，过P P作作CDCD的垂线，求出的垂线，求出垂线长度，即可得出垂线长度，即可得出PCEPCE的面积的面积333【自主解答自主解答】四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABCABC9090，把边把边BCBC绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转3030得到线段得到线段BPBP，PBPBBCBCABAB，PBCPBC3030，ABPABP6060，ABPABP是等边三角形，是等边三角形，BAPBAP6060，DAEDAE3030，APAPABABADAD2 2 ，AEAE 4 4，DEDEADADtantan 30 302 2，CECE2 2 2 2，PEPE4 42 2 ，如解图，过点，如解图，过点P P作作PFCDPFCD于于F F，则，则FPEFPEDAEDAE3030，PFPFPEPEcoscos 30 30 PEPE2 2 3 3，S SPCEPCE CECEPFPF (2 (2 2)2)(2 (2 3)3)9 95 .5 . 330ADcos3332312123331 1(2017(2017青海青海) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，RtRtOEFOEF绕点绕点O O旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的面积是正方形面积的面积是正方形面积的( )( )A A2 2(2017(2017贵港贵港) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，将，将ABCABC绕顶点绕顶点C C逆时针逆时针旋转得到旋转得到ABCABC，M M是是BCBC的中点，的中点，P P是是ABAB的中点，连接的中点，连接PM.PM.若若BCBC2 2，BACBAC3030，则线段则线段PMPM的最大值是的最大值是( )( )A A4 B4 B3 C3 C2 D2 D1 1B B考点四考点四 图形的折叠图形的折叠例例4 4(2014(2014安徽安徽) )如图，如图，RtRtABCABC中，中，ABAB9 9，BCBC6 6，B B9090，将，将ABCABC折叠，使折叠，使A A点与点与BCBC的中点的中点D D重合，折痕为重合，折痕为MNMN，则线段，则线段BNBN的长的长为为( )( )A. B. CA. B. C4 D4 D5 55352【分析分析】 设设BNBNx x，则由折叠的性质可得，则由折叠的性质可得DNDNANAN9 9x x，根据中点的定义可得根据中点的定义可得BDBD3 3，在，在RtRtBDNBDN中，根据勾股定理中，根据勾股定理可得关于可得关于x x的方程，解方程即可求解的方程，解方程即可求解【自主解答自主解答】设设BNBNx x，由折叠的性质可得，由折叠的性质可得DNDNANAN9 9x x，D D是是BCBC的中点，的中点，BDBD3 3，在，在RtRtBDNBDN中，中，x x2 23 32 2(9(9x)x)2 2，解得解得x x4 4，线段线段BNBN的长为的长为4.4.忽略折叠前后的对应关系忽略折叠前后的对应关系在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠( (翻折翻折) )前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应线段相前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应线段相等的性质解题等的性质解题1 1(2018(2018烟台烟台) )对角线长分别为对角线长分别为6 6和和8 8的的菱形菱形ABCDABCD如图所示，点如图所示，点O O为对角线的交点，为对角线的交点，过点过点O O折叠菱形，使折叠菱形，使B B，BB两点重合，两点重合，MNMN是折痕，若是折痕，若BMBM1 1，则，则CNCN的长为的长为( )( )A A7 B7 B6 C6 C5 D5 D4 4D D2 2(2018(2018广西广西) )如图矩形纸片如图矩形纸片ABCDABCD，ABAB4 4，BCBC3 3，点，点P P在在BCBC边上，将边上，将CDPCDP沿沿DPDP折叠，点折叠，点C C落在点落在点E E处，处，PEPE、DEDE分别分别交交ABAB于点于点O O、F F，且，且OPOPOFOF，则，则coscosADFADF的值为的值为( )( )C C考点五考点五 网格中图形的变换作图网格中图形的变换作图百变例题百变例题7 7 如图，在边长为如图，在边长为1 1个单位长度的小正方形组成的个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点网格中，给出了格点ABC(ABC(顶点是网格线的交点顶点是网格线的交点) )(1)(1)作出作出ABCABC关于直线关于直线l l的轴对称图形的轴对称图形A A1 1B B1 1C C1 1；【自主解答自主解答】 解：解：A A1 1B B1 1C C1 1如解图如解图1 1所示；所示；百变例题百变例题7 7解图解图1 1 (2)(2)以图中的以图中的O O点为位似中心，将点为位似中心，将ABCABC作位似变化并放大到作位似变化并放大到原来的原来的2 2倍，得到倍，得到A A2 2B B2 2C C2 2；【自主解答自主解答】解：解：A A2 2B B2 2C C2 2如解图如解图2 2所示；所示；百变例题百变例题7 7解图解图2 2 (3)(3)以点以点P P为顶点作为顶点作ABCABC的全等三角形的全等三角形A A3 3B B3 3C C3 3；【自主解答自主解答】解：解：A A3 3B B3 3C C3 3如解图如解图3 3所示；所示； 百变例题百变例题7 7解图解图3 3 (4)(4)作出作出ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转9090的图形的图形A A4 4B B4 4C C4 4；【自主解答自主解答】解：解：A A4 4B B4 4C C4 4如解图如解图4 4所示；所示； 百变例题百变例题7 7解图解图4 4 (5)(5)过点过点O O作作l l的垂线的垂线OEOE，以，以OEOE为对称轴作为对称轴作ACAC的对称线段的对称线段FGFG，以以FGFG为边作格点为边作格点FGHFGH，使，使FGHFGH是等腰三角形；是等腰三角形；【自主解答自主解答】解：解：FGHFGH如解图如解图5 5所示；所示；百变例题百变例题7 7解图解图5 5 (6)(6)将将ABCABC向右平移向右平移5 5个单位，再向下平移个单位，再向下平移4 4个单位，作出平个单位，作出平移后的移后的A A5 5B B5 5C C5 5，并找出一点，并找出一点D D，使四边形，使四边形A A5 5B B5 5C C5 5D D是平行四边是平行四边形，指出当形，指出当O O点为坐标原点时，点为坐标原点时，D D点的坐标；点的坐标；【自主解答自主解答】解：解：A A5 5B B5 5C C5 5如解图如解图6 6所示，平行四边形所示，平行四边形A A5 5B B5 5DCDC5 5如解图如解图6 6所示，当点所示，当点O O为坐标原点时，为坐标原点时，D D点的坐标为点的坐标为(2(2，4)4) 百变例题百变例题7 7解图解图6 6 (7)(7)作作C C点关于直线点关于直线l l的对称点的对称点C C6 6，连接，连接PCPC6 6，移动线段，移动线段PCPC6 6，使，使其与其与ABCABC有交点有交点( (不包括不包括ABCABC的边的边) )，请写出满足要求的一，请写出满足要求的一种平移方法；种平移方法；【自主解答自主解答】解：解：C C6 6如解图如解图7 7所示，连接所示，连接PCPC6 6，将，将PCPC6 6向上平移向上平移6 6个单位，再向左平移个单位，再向左平移2 2个单位时，与个单位时，与ABCABC有交点有交点( (平移方法平移方法不唯一不唯一) )百变例题百变例题7 7解图解图7 7 (8)(8)以点以点O O为旋转中心将点为旋转中心将点B B顺时针旋转顺时针旋转9090，得到，得到B B6 6，求点，求点B B经过的路径长经过的路径长【自主解答自主解答】解：解：B B6 6如解图如解图8 8所示，路径长所示，路径长 百变例题百变例题7 7解图解图8 8