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不等关系吗？或图中找出一些相等关系设计的你能在这个图古代数学家赵爽的弦会标，会标是根据中国的届国际数学家大会上图是在北京召开的第一、新课引入一、新课引入ICM2002会标会标赵爽：弦图赵爽：弦图一、新课引入一、新课引入实黄实，加差实，亦成弦以勾股之差自相乘为中，朱实二，倍之为朱实四图，又可以勾股相乘为弦证明方法叙述为：按开方除之，即弦实股各自乘，并之，为弦勾股定理表述为：勾将勾股定理的理论证明，价值的文献它记述了有图注文是数学史上极余字的勾股圆方了详细注释其中一段为该书写了序言，并作，入研究了周髀算经贡献是约在年深要三国时代的人他的主中国数学家，东汉末至ADBCEFGHab22ab不等式：不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab证明推导证明推导1：结论： 如果a、bR,那么 a+b2ab (当且仅当a=b时取“=”号) 以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法综合法。如果a、bR,那么有 ( a-b ) 0 ( 1 )把(1)式左边展开，得 a -2ab+b 0 a+b 2ab ( 2 )(2)式中取等号成立的充要条件是什么？式中取等号成立的充要条件是什么？证明推导证明推导2：:基本不等式22(1)2( ,_);abab a b预备不等式(2)( ,_).2abab a b均值不等式()分析法证明不等式?)2(,.,的几何解释得出不等式试用这个图形连接的弦垂直于作过点上一点点是是圆的直径如图BDADDEABCbBCaACABAB证明推导证明推导3：证明推导证明推导4：均值不等式的几何解释是均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦半径不小于半弦.均值不等式的代数解释为均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小它们的等比中项不小它们的等比中项.两个不等式的适用范围不同两个不等式的适用范围不同结论推广结论推广公式公式 如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n 叫做这n个正数的算术平均数算术平均数 ， 叫做这n个正数的几何平均数几何平均数 。a1a2a nn结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21结论举例结论举例1. 如果a、bR,那么a+b2ab (当且仅当a=b时取“=”号)2 如果a、b、c 0,那么a+b+c 3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)推论推论 如果a、b 0,那么(a+b)/2 (当且仅当a=b时取“=”号)ab推论推论 如果a、b、c 0,那么(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c时取“=”号)abc3二、新课讲解二、新课讲解1. ,:a b例均为正数 证明以下不等式;112) 1 (baab.22)2(22baba:重要结论222( ,).1122abababa bRab其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.三、探索三、探索由a、b、cR，依次对其中的两个运用公式(2)，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.把以上三式叠加，得 a +b +c ab+bc+ca （a、b、cR） ( 3 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号) 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法迭代与叠加迭代与叠加.证明： a +b +c ab+bc+ca （a、b、cR ） (当且仅当a=b=c时取“=”号) 由于 a+b=(a+b)(a-ab+b), 启示我们把公式a+b2ab变成 a-ab+bab, 两边同乘以a +b，为了得到同向不等式，这里要求a、b0, 得到 a+bab+ab。 ( 4 )结论结论 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)四、再探索四、再探索 由公式(3) 的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c , c、a 迭代(4)式，并应用公式(2)，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3abc ( 5 )(当且仅当a=b=c时取“=”号）证明证明 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)五、继续探索五、继续探索结论结论 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c时取“=”号)在公式(5)中用 、 、 分别替换a、b、c，可得 ( ) + ( ) + ( ) 3 a + b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 ( 7 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号）3abc证明证明 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c时取“=”号)221.2 ( ,)ababab R2222.( ,).1122abababa bRab3.3. 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)4. 4. 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c时取“=”号)5.n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号. .2,)1(”号）”号）时取“时取“（当（当时时当当 baabbaRba . 21,)2( aaRba时时当当变式：变式：3种情况，种情况，5个结论个结论 ：abbaabbaRba22,22 ，时，有时，有当当abbaabbaRba22,22 ，时，有时，有当当”不成立”不成立，显然“，显然“时，有时，有当当 abbaba2022推广：推广：（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。（2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：应用要点：一正一正 二定二定 三相等三相等2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。232(0,0)xyxy练习：练习：1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此，此时时x= 。1xx21思考：当思考：当x0时表时表达式又有何最值达式又有何最值呢？呢？16P100A组第组第1题题
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