三角恒等变换知识点总结(共8页)

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精选优质文档-倾情为你奉上第三章 三角恒等变换一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:; (); ()2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:升幂公式降幂公式, 3、 (后两个不用判断符号,更加好用)4、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 形式。,其中5(1)积化和差公式sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-)coscos=cos(+)+cos(-) sinsin= -cos(+)-cos(-)(2)和差化积公式sin+sin= sin-sin=cos+cos= cos-cos= -tan+ cot= tan- cot= -2cot21+cos= 1-cos=1sin=()26。(1)升幂公式1+cos= 1-cos=1sin=()2 1=sin2+ cos2sin=(2)降幂公式sin2 cos2sin2+ cos2=1 sincos=7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下:(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍; ;问: ; ;等等(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ;(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:; ; ; ; ; = ; = ;(其中 ;) ; ;(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。如: ; 。 ; ;推广: ;推广:二、基础训练1下列各式中,值为的是 A、 B、C、D、(答:C);2已知,那么的值为_(答:);3的值是_(答:4);4已知,求的值(用a表示)甲求得的结果是,乙求得的结果是,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_(答:甲、乙都对)5已知,那么的值是_(答:);6已知,且,求的值(答:)7求值(答:1);8已知,求的值(答:)9已知A、B为锐角,且满足,则_(答:);10若,化简为_(答:)11函数的单调递增区间为_(答:)12化简:(答:)13若方程有实数解,则的取值范围是_.(答:2,2);14当函数取得最大值时,的值是_(答:);15如果是奇函数,则=(答:2);16求值:_(答:32)17若且,求的值(答:).三、规范解题1. 已知(,),(0,),(),sin(),求sin()的值解:() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()2.化简sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解 方法一 (复角单角,从“角”入手)原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 (从“名”入手,异名化同名)原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2=-cos2=-cos2=.方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次)原式=+-cos2cos2=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2cos2=.方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2(+)-1=.3已知;(1) 求的值; (2) 设,求sin的值解:(1)(2)16sin224sin110 解得 故4已知sin2 22 coscos21,(0,),求sin、tan的值解:由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0,) cos0 sin12sin1 sin tan5.设向量,若,求的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:【导引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换6.已知,()求的值.()求.【解题思路】由同角关系求出再求;又结合角的范围定角。解析()由,得,于是()由,得又,由得:,所以【导引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。7.已知函数()将函数化简成(,)的形式;()求函数的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力. 解:()()由得在上为减函数,在上为增函数,又(当),即故g(x)的值域为专心-专注-专业
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