一个基本图形的演变及应用11

从圆幂定理能否作为课题学习的内容说开去一个相似基本图形在圆中的演变及应用湖北省襄樊市第七中学 （441021） 曾庆丰湖南邵阳的张老师在文1提到“圆幂定理能否作为课题学习的内容？”，该问题提得很好，具有一定代表性，问到了我们许多教师的心坎上我想，这还不仅仅是一个课题学习的问题，而是该不该作为学生必须了解乃至掌握的内容在教学中渗透或补充的问题因为圆幂定理的应用确实太广泛了！许多以圆为载体的中考几何综合题，若利用圆幂定理去分析、解决，则过程、方法更为便捷然而，不仅课程标准对圆幂定理已不做要求，而且在中考中很多地市已明确规定不准直接使用圆幂定理，真可谓“进退两难”！如何解决这个问题？我们得首先清楚圆幂定理的由来是由两个三角形相似对应边成比例，得到的等积式既然如此，那么圆幂定理需不需要学生掌握的问题，实际上就是需不需要学生掌握圆中几对常见的相似三角形问题（因为给等积式取个什么名字并不重要）相似三角形作为整个初中阶段的一个核心知识，与圆的交汇性很强要提高学生辨别圆中的相似三角形的能力，就有必要让学生了解乃至掌握圆中的一些常见的、基本的相似三角形，而圆幂定理应用的广泛性就体现在几对相似三角形上所以，笔者以为，圆幂定理可以不提，但圆幂定理对应的几对相似三角形是需要学生了解和掌握的基于以上分析，笔者在教学中，根据圆幂定理对应的相似三角形的特点，从相似三角形判定引理所对应的图形（“A”字型）出发，通过对图形旋转、翻转和改变图形所处的环境（但不改变结论），让学生在体验图形演变的过程中，理解圆中几对相似三角形的来龙去脉，并把相似三角形作为圆中的基本图形去理解、掌握和应用，进而渗透圆幂定理，取得了很好的教学效果不仅很好地解决了上述问题，而且还丰富了圆幂定理（增添了比例式和对应边）现予以介绍并结合2008年部分中考试题加以说明，供参考图1 1 基本图形如图1，在ABC中，若DEBC，则ADEABC，所以有；图2例1 （2008 山东临沂）如图2，RtABC中，ACB90，AC4，BC2，以AB上的一点O为圆心作圆，分别与边AC、BC相切于点D、E求O的半径简析 连结OD、OE，则四边形OECD为正方形，所以ODBC，由，得若设O的半径为，则解得2 演变一：旋转如图3-13-2，ADE绕点A旋转1800如图3-2，若DEBC，则ADEABC，所以有；图3-1图3-2例2 （2008 武汉）如图4，AB是O的直径，图4AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若，求的值解析 （1）连结BC、OD，两线交于点G因为OD=OA，所以DAO=ADO，而DAO=CAD，所以ADO=CAD，所以AEOD又因为DEAC，所以ODDE，所以DE是O的切线；（2）因为AB是O的直径，所以ACB=900由（1），易证四边形ECGD是矩形若设，则，所以因为AEOD，由，得=3 演变二：翻转并改变图形的背景3.1 如图5-15-3，将ADE（）翻转，并过点B、C、D、E作圆（由ADE=B，易证E、B、C、D四点共圆）图5-3图5-2图5-1如图5-3，过点A的两条割线分别与圆交于E、B、C、D四点，则ADEABC，所以有；（切割线定理的推论）图6例3 （2008 苏州）如图6，在ABC中，BAC90，BM平分ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交A于P、K两点，作MTBC于T（1）求证：AKMT；（2）求证：ADBC；（3）当AKBD时，求证：简析 （1）由角的平分线的性质，得MT=MA，而AK=AM，故AK=MT；（2）由已知，易得1=2，3=4而AM=AN，所以1=3，故4=2，所以ADMT，而MTBC，所以ADBC；（3）因为BK、BM是A的两条割线，所以由，得，即因为AKBD，AKMT，所以BDMT易证ADBCTM，所以AB=CM，所BK=AC故图7例4 （2008 陕西）如图7，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE（1）求证：ACAE；（2）求ACD外接圆的半径简析 （1）由题意，易证RtACDRtAED，所以AC=AE（2）因为，而AE=AC=5,所以BE=8若设，则因为BA、BC是圆的两条割线，所以由，得，即解得所以，所以ACD外接圆的半径3.2 如图8-18-3，将ADE()翻转，并过A、C、E三点作圆（由ACE=B，易证直线AC为圆的切线）如图8-2如图8-3如图8-1如图8-3，直线AC与圆相切于点C，割线AB与圆分别交于点E、B，则ACEABC，所以有；（切割线定理）例5 （2008 孝感）如图9，为O的直径，切O于，于，交O于（1）求证：平分；（2）若，求O的半径 如图9简析 （1）连结OT，则OTPQ，而，所以OTAC，所以2=3，又1=3，1=2（2）因为CT与O切于点T，所以由，得若设，则，解得所以AC=3，故连结BT，则易证ABTATC，所以AB=AT=，故O的半径例6 （2008 襄樊）如图10，直线经过O上的点，并且，O交直线于，连接（1）求证：直线是O的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；如图10（3）若，O的半径为3，求的长简析 （1）连结OC，由“三线合一”，得OCAB，所以直线是O的切线；（2）因为BC与O相切于点C，所以由，得；（3）因为DE为O的直径，所以DCE=900由，得若设，则，由（2），得解得所以BD=2，故OA=OB=OD+BD=54 演变三：旋转、翻转并改变图形的背景如图11-111-4，ADE绕点A旋转1800，并翻转，再过B、C、D、E四点作圆（由C=E，易证点E在过B、C、D三点的圆上）如图11-4，圆的两条弦BE、CD交于点A，则ADEABC，所以有；（相交弦定理）如图11-3如图11-1如图11-4如图11-2例7 （2008 鄂州）如图12，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点如图12（1）求弦的长；（2）略简析 连结AC，则AC=，AP=因为圆的两条弦CD、AE交于点P，所以由，得，即解得例8 （2008 深圳）如图13，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且ABADAO（1）求证：BD是O的切线；如图13（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，cosBFA，AB=4，求EF（对结论进行了改变）简析 （1）连结OB，由ABADAO，得DBO=900，所以BD是O的切线；（2）因为AC为O的直径，所以ABC=900由已知，易求BF=3，AF=5因为AB=4，AC=2AB=8，所以，故因为O的两条弦BC、AE交于点F，所以由，得，即解得5 一点思考“韦达定理、弦切角定理与圆幂定理等内容，能否作为课题学习的内容？”，笔者以为不可一概而论有些内容可以尝试，有些内容就没必要，而有些内容更适合在相关内容的教学中去渗透或补充比如“韦达定理”，它既是一元二次方程的求根公式的引申和应用，又是高中阶段学习的必备知识，而且定理本身颇具思想性和探究性以韦达定理为载体开展课题学习，不仅能够加深学生对求根公式的理解和掌握，为高中阶段的学习做准备，而且还能有效地培养学生的数学思想和探究能力，所以这样的内容就适用于课题学习；对于“弦切角定理”，讲与不讲不仅不影响课本主体知识的掌握和问题的解决（定理的应用完全可以通过切线的性质和切线长定理来实现），而且对学生后继学习也并非不可或缺，所以该内容就没必要拿来进行课题学习；而“圆幂定理”则有所不同，其本质仍是初中阶段的核心知识“相似三角形”，只是改变了相似三角形所处的环境而已！抓住了圆中的这几对相似三角形，就等同于抓住了图形的一些本质特征及相应的位置关系和数量关系所以，该内容更适合转化为“基本图形”（图形语言和符号语言）在圆的教学中去渗透和补充总之，笔者的想法是，被删除的内容如果利于课本主体知识的理解和掌握；有利于后继阶段的学习；内容本身还具有一定的思想性和探究性等，就可以拿来作为课题学习的内容去尝试参考文献1 张晓阳初中教材删除的的内容能否作为课题学习的内容？J中学数学教学参考（中旬），2009，1-2