菲涅耳公式及其应用(共25页)

精选优质文档-倾情为你奉上江西师范大学2013届本科毕业论文题目：菲涅耳公式及其应用Title: Fresnel formula and its application院系名称：物理与通信电子学院学生姓名： 刘圣利 学生学号： 7 专 业： 物理学类 指导老师： 谢旻（讲师） 完成时间： 专心-专注-专业摘 要本文主要论述菲涅耳公式及其应用。我们理论推导菲涅耳公式的表达式，分析入射波、反射波和折射波的相位关系。文中还进一步探讨菲涅耳公式的应用，详细阐述半波损失、全反射、布儒斯特定律及其相关应用。关键词：菲涅耳公式，半波损失，全反射，布儒斯特定律AbstractThis paper mainly discusses the Fresnel formula and its application. We deduce the expression of Fresnel formula and analyze the phases of incident wave, reflected wave and refractive wave. In this paper, the applications of Fresnel formula are discussed in detail, including half-wave loss, total internal reflection, Brewster law and corresponding applications. Keywords: Fresnel formula, half-wave loss, total internal reflection, Brewster law目录绪论光是人们获取信息的主要媒介。因此，人们很早就对光就行了研究。这从反射定律和折射定律的发现可以看出。然而，从那以后，一直到十七世纪，对光的研究还没有本质上的进展。这是受对光的本性认识的困乏所阻。光的本性到底是什么？Descartes主张波动说，他认为光本质上是在完全弹性的、充满一切空间的煤质中传播的一种压力，且这种压力传播的速度无限大。然而他在解释光的反射和折射时却又用到小球模型。Newton倾向于微粒说，认为光可能是微粒流，这些微粒从光源飞出，在真空或均匀煤质中做惯性运动，但他在研究牛顿环时，又认识到了光的周期性，这使他把微粒说和以太振动的思想结合起来，对干涉条纹做出了自己的解释。可见，不论是Descartes还是Newton，都没有对光的本质做出清楚的解。Huygens在Hooke的光是类似水波的某种快速波动的基础上将他的思想进行了发展。他提出了Huygens原理。利用Huygens原理，他对光的反射和折射进行了说明。然而，由于他把光波看成类似声波一类的纵波，因此他不能解释偏振现象。另外，由Huygens原理还会推出另一个很明显的错误，那就是倒退的光波。1865年，Maxwell完成了电磁场理论的建立。他导出了对称的电磁波的磁场和电场波动方程，并在理论上预言光是一种电磁波。二十多年后，Hertz用实验证明了电磁波的速度就是光速。至此，人们才终于知道了光的电磁本性。Fresnel认为光是一种横波。他发展了Huygens和Thomas Young的波动理论。在Huygens原理的基础上，他提出了Huygens-Fresnel原理。他在理论中通过引入一个与倾斜角有关的倾斜因子消除了倒退波，并且他的理论可以很好地解释偏振和衍射现象。这之后，结合Maxwell方程组，Fresnel导出了Fresnel公式。Fresnel公式有着很大的用处。利用它，我们可以解释半波损失、全反射现象、反射光和透射光的偏振状态、Brewster角以及反射光和透射光之间的相位关系。本文介绍了Fresnel公式导出的基础准备知识和它的导出，重点则在Fresnel公式对一些光学现象的解释和应用上。 1 Huygens的光论Hooke主张光是类似于水波的某种脉冲振动。他认为，这种运动在均匀介质中在各个方向都以同一速度传播，所以发光体的每个脉冲或振动都必然会形成一个球面。在均匀介质中激起的这些球面的所有部分都与射线以直角相。Huygens发展了Hooke的思想。更进一步，他提出光是发光体中微小粒子的振动在弥漫于宇宙空间的以太中的传播的一种过程。光的传播方式与声音类似，是一种波，而不是微粒说所设想的像子弹那样的运动。波前上每一个面元都可以作为一个次级扰动中心，它们能产生球面子波，并且后一时刻的波前位置是所有这些子波的包络面。如下图，Huygens认为，传递波的每一个物质粒子，不仅将运动传给从发光点开始所画直线的下一个粒子，还要传给与之接触的并与其运动相对抗的其他一切粒子。结果是，在每个粒子的周围，兴起了以该粒子为中心的波。图中光源发出的光波在传到的面的过程中，在传播光线上的每一点都会产生子波。产生的各个子波将与光源上的光波同时到达面，即它们的速度相同。这就是Huygens原理。Huygens原理的核心是：波的进一步传播可以用次级点源波场的传播去等效表。图1 惠更斯原理示意图然而，在直观的Huygens原理中，因假设波前上的次级点源激发向四周均匀辐射的球面波，但物理世界的波在未遇到新的障碍物时都是单向地向前传播的，从而出现了倒退波问题。 因此说Huygens原理对于波传播的描述不是十分完善，因为它只给出了波传播的空间几何位置，而没有涉及到波到达该位置的物理状。2 光的电磁理论21 磁场的环量和旋度由毕奥-萨伐尔定律可以导出磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比， （1）对连续电流分布，只需计算闭曲线所围面内的电流。这时，环路定律表示为 （2） （3） （4）22 磁场的通量和散度磁感线总是从北极出发回到南极，磁感线是闭曲线。所以磁感应强度是无源场。即 （5）或者取微分形式 （6）23 电磁感应定律 在电流的磁效应和电磁感应定律的基础上，麦克斯韦导出了能完全描述电磁现象的Maxwell方程组。如右图2，为闭合线圈，为所围的一个曲面，为上的一个面元。规定上围绕方向与的法线方向成右手螺旋关系。电磁感应定律为 （7）上式符号的出现是因为，当通过的磁通量增加时，在线圈上的感应电动势与规定的围绕方向相反。感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，所以电磁感应定律（7）式可写为 （8）若回路是空间中的一条固定回路，那么上式就是所以，最后得到， （9）上式是磁场对电场作用的基本规律。由上式可知，感应电场是有旋。24 位移电流对闭合的恒定电流 （10）由于电流的分布要受到电荷守恒定律的制约，所以在交变情况下，电路不再闭合。于是此时电流密度的散度不再为零。即 （11）再看（4）式： （12）两边取散度，由于，所以上式只有当时才可能成立。在恒定情况，电流J是闭合的，（4）式在理论上没有矛盾。然而，在非恒定情况下，一般有：，因而（4）式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的守恒定律，（4）式是根据恒定情况下的实验定律导出的特殊定律，在两者互相矛盾时，应该修改（4）式使它服从普遍的电荷守恒定律的要。假设存在一个称为位移电流的物理量，它和电流J合起来构成闭合的量，满足关系 （13）假设位移电流和一样产生磁效应，即把（4）式修改为 （14）再让此时两边的散度都为零。由电荷守恒定律及电荷密度与电场散度的关系式可得到 （15）与（10）式比较即得的一个可能表达 （16）25 Maxwell方程组 式（4）、（6）、（9）和（16）以及组成的方程组称为Maxwell方程组。 （17）它适用于真空。它反映一般情况下电荷电流激发磁场以及电磁场内部运动的规律。Maxwell方程组最重要的特点是它揭示了电磁场的内部作用的运动。不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以互相激。 真空中，。在没有电荷电流的自由空间或均匀的绝缘介质中，可将麦克斯韦方程组（17）式化为 （18） （19） （20） （21） 将（9）式取旋度并利用（10）式得 （22） 另一方面，由矢量分析公式及（17）式 （23）代入（18）式，得到电场的偏微分方程： (24) 结合电场和磁场关系及得到 （25）这是磁场的偏微分方程。令 （26）则（22）、（23）可写为 （27） （28）式（27）称为波动方程，其解包括各种形式的电磁波，是电磁波在真空中的传播速度。Maxwell计算出电磁波速的值并利用他人的有关实验数据，Maxwell发现这一波速与当时公认的光速测定值十分接近，于是他敏感的意识到光是一种电磁起源的横波。而结果正如他所。3 Fresnel公式的导出图3 折射和反射Fresnel继承和发展了Huygens的光论。在Huygens的基础上，Fresnel人为地在Huygens的球面波上引入了一个与倾斜角有关的倾斜因子，当时，倾斜因子为0，从而消除了后向波补充了Huygens的不足。 他认为，由波前面各点所形成的新扰动( 二次扰动)在观测点上相互干涉迭加，其迭加结果是我们在该点观测到的总扰。这就使得Huygens原理具有更明显的物理意义。 此即是Huygens-Fresnel原理。根据Huygens-Fresnel原理，结合Maxwell方程组，他到了反射定律和折射定律的定量规律，即Fresnel公式。图3显示的是一束光在两种折射率分别为和的介质上发生的反射和折射现象。xoy为分界面。入射光对两种介质的。点为入射点。光是电磁波，它的传播方向单位矢量与电矢量单位矢量和磁矢量单位矢量的关系为：。将入射光、反射光和折射光的电矢量和磁矢量分成两个分量，一个平行于入射面，另一个垂直于入射面。下标带“”的为平行分量，而带“”的为垂直分量，为入射角，为反射角，为折射角。、和分别表示入射光线、反射光线和折射光线在入射面内的电矢量振动的振幅， 、和表示相应的光线在垂直于入射面内的磁矢量振动的振幅。以下分两部分讨论反、折射光与入射光的平行和垂直入射面上的分量之间的关系。31 平行分量之间的关系图4 平行于入射面上的分量由光的电磁理论可知，在分界面xoy的相对两侧各点上，电矢量和磁矢量沿分界面的分量应取连续值。在分界面相对的两侧沿分界面的电矢量和此时两分量如图2 所示。图（1）中，在介质中沿分界面的电矢量分量之和是在介质中，沿分界面的电矢量分量为所以，根据电矢量的边界条件及反射定律，可以得到 （29）图（2）中，根据边界条件，可得 （30）又因为与垂直，平行于，所以 （31）对于光波，可以认为所有介质的磁导率都是相等的，也就是根据（29）式和（30）式，又因为而且。对于光波，除铁磁质外，大多数物质只有很弱的磁性，也就是说，也即，所以（29）式可化简为 即 （32）于是磁矢量的边界条件就用电矢量表示出来。解由（29）式和（32）式组成的方程并结合折射定律，得到 （33） （34）式（33）、（34）表示反折射光与入射光的平行于入射面电矢量分量之间的关。 图5 垂直于入射面上的分量32 垂直分量之间的关系上图画出了三条光线的垂直于入射面部分。、和分别表示入射、反射和折射光的磁矢量在平行于入射面上的分量，而、和则表示入射、反射和折射光电矢量在垂直于入射面上的分量。电矢量和磁矢量在界面上依然连续，所以 （35） （36）利用关系式 (37)可将（36）式化为 （38）化简得 （39）大多数物质对光波只有很弱的磁性，即，所以 （40）于是又可将（39）式进一步化简为 （41）根据折射定律，继续化简为 （42）式（38）与式（42）联立加上即可得到 （43） （44）式（43）、（44）表示反折射光与入射光的垂直于入射面的电矢量分量之间的关系。式 （45） （46） （47） （48）四式即为Fresnel公。33 适用条件 (1)适用于绝缘介质。这是相对于导电介质而言的若是光波入射于金属表面，则情况就大为不同由于金属存在大量的自由电子，致使金属表面有很高的反射串和强吸收，这归属于全局光学所研究的内容。 (2)适用于各向同性介质这是相对于各向异性介质而言的。上述导出过程中用到关系式，式中相对介电常数各向相等。若是光波入射于晶体表面，其情况不同于目前，理论上要以介电张量代替目前的介电常数，得到形式上复杂的类Fresnel公式。 (3)适用于弱场或线性介质。因为在强电场作用下，介质极化会出现非线性项，这是电磁性能方程不再成立。 (4)适用于光频段。前面推到过程中用到即。而在光频段的高频率条件下，介质的磁化机制几乎冻结，满足条。4 反射光和折射光相对入射光的相位变化光波的电磁矢量可表达为 （49）式中 除了表示振幅之外，还可认为包含了初相位因子。41 反射光相对于入射光的位相变化 Fresnel公式给出振幅之间的关系，也就是给出了初相位的变化，垂直分量反射比 （50）式中式反射光的垂直分量相对于入射光的垂直分量的位相变化。外反射即光从光疏介质射入光密介质时，此时（47）式对比式（47）可知 （51）而，所以一定有，这说明。内反射即光从光密介质射入光疏介质时，。当时要发生全反射。时，而，所以，也就是说平行分量反射比， （52）式中。在时，。此时上式的值为0，它表明反射光在这种情况下没有平行分量。先讨论外反射，在时，所以 。时，这说明，也就是说，。再讨论内反射，时，。时，即无相位。42 折射光相对于入射光的位相变化根据Fresnel公式（46）式，透射平行分量振幅比 （53）式中。，所以也即。根据Fresnel公式（48）式，透射垂直分量振幅比 (54)同样，因为，所以 (55)最后，可得。综上可知，无论是垂直分量还是平行分量，其相位都与入射光相。5 Fresnel公式的应用Fresnel公式表面上似乎只是反射光和折射光的在平行和垂直入射面上的分量和入射光在平行和垂直入射面上的分量之间的比值与入射、反射以及折射角之间的关系，其实不然。前四式组成的Fresnel公式还可以解释半波损失、全反射现象、反射光和透射光的偏振状态、Brewster角以及反射光和透射光之间的相位关系。 51 半波损失 当光由入射到，即通常所说的由光疏介质射入光密介质时，垂直于入射面上的电矢量之间的关系为 （56）当。又，、，于是，-，+。所以， ，即光由光密射入光疏介质时，-+，这时有，0，因此无相位突变。由以上分析可知，光只有从光疏射入光密介质时才会发生半波损失。52 全反射现象和尼科尔棱镜521 全反射设光从介质1射入介质2，且，即光从光密射入光疏介质。根据折射定律，有 (57)所以便存在 当时，于是折射角不再具有几何意义。这便是全反射。然而，虽然这种情况下包含折射角的三角函数项虽然不再适用于角度关系，但此时它却变成一个与复振幅有关的参数。此时 （58） （59）注意，此时有 (60)该式表示反射比为1，即光能量完全返回到介质1，因此称这种现象为全反522 尼科尔棱镜光学实验有时需要用到严格的线偏振光。利用双折射和全反射工作尼克尔棱镜就可得到精密的线偏振光。取长宽比约为3的方解石晶体，将两端磨掉一部分，使原来是的变成。再从体对角面平分，将剖面磨成为光学平面。对钠黄光，加拿大树脂的折射率为1.550。如图6所示。图7是尼科尔棱镜的正视图，它是尼科尔棱镜的一个主截面。在这个平面内，平行于棱的入射光，沿着方向进入棱镜，在第一棱镜内分解为光和光，其中光以的入射角入射到树脂层上，由于入射角大于临界角，光将在树脂层上发生全反射，而被四周涂黑的棱镜壁吸收。但光却是由光疏介质向光密介质折射，不可能发生全反射，所以从尼科尔棱镜透射出来的光就是和光相应的线偏振光，其振动方向平行于主截面。尼科尔棱镜的工作原理是摒除光而利用全反射完全保留光，发生全反射要求光在一定范围内入射。设钠黄光以最大角度入射仍可使发生全反射以产生线偏振光。在两种介质界面上，钠黄光的临界角为，是直角，这时钠黄光在棱镜表面的折射角为，于是相应的最大入射角为 ，于是。53 Brewster角和用玻璃堆获取线偏振光531反射光的偏振状态由Fresnel公式可知，电矢量的平行分量和垂直分量的振幅比分别为 （61） （62）把这两式结合起来，忽略方向，可得 （63）在=0或= 情况下，有 (64) 因为，所以上式说明反射光中电矢量的平行分量值和垂直分量相等。由于这两束光是不相干的，合成后的光仍然是自然光。所以此时反射光不偏振。当自然光以不等于0或外的任何角度入射时，都有不等式于是，由式（63）可知这个关系表明反射光中电矢量的平行分量值总是小于电矢量的垂直分量。由于这两个分量是不相干的，由此它们不能合成，所以此时反射光为部分偏振光。532 Brewster角当时，由Fresnel公式可知，此时 (65) 此时电矢量的平行分量便完全不能被反射，于是反射光中只剩下垂直于入射面的分量，反射光转变为线偏振光。令此时的入射角为，则 （66） 为折射角，和为入射光和折射光所在介质的折射率。上式所确定的角称为Brewster角，上式所标示的关系称为Brewster定律。533 透射光的偏振状态折射后从介质中透射出来的光总是部分偏振的。特别地，在以Brewster角入射时，由于电矢量的平行分量完全透过，使得此时透射光的偏振度最。设光以Brewster角从折射率为的介质入射到折射率为的介质，之后再透射出来。介质1如介质2时，入射角为，折射角为；介质2入介质1时，入射角为而折射角为。于是第一次折射后，平行分量变为 （67），将上式化简为 （68）经第二次折射后，平行分量变为 （69）因为，所以 (70) 加之，上式可化为 （71）将（69）式代入（72）式可得 （72）该结论表明，当光以Brewster角入射到介质中时，在不被吸收的情况下，透射光中电矢量的平行分量与入射光中电矢量的平行分量相等。即完全透射。而，一次折射后垂直分量的振幅为 （73）经二次折射， （74） 将（74）式代入即可得 （75）第一次折射前，所以说明即使以布儒斯特角入射，二次折射出来的光还是偏振。5. 3. 4 用玻璃堆获得线偏振光由前分析可知，光以Brewster角由光疏射入光介质并透射时，光的平行分量完全通过，但垂直分量有损失。所以可以设想通过多次折射的办法逐渐削弱透射光的垂直分量，以达到得到线偏振光的目的。图6 玻璃堆示意图玻璃堆由片互相平行的透明介质板组成。如上图，当自然光以Brewster角入射即时，反射光都是线偏振的。透射光每经两次折射，也即每经过一块介质板，平行分量还原，而垂直分量削弱为倍。经块介质板后，。这样透射光就只剩平行分量，为线偏振。6 总结以上介绍的是Fresnel公式比较广泛的几个应用。其实关于光的问题，只要符合菲涅耳公式的推导条件，就可以用Fresnel公式来分析它，包括振幅和相位问题。另外，本文讨论的只是各向同性介质中的情况。各向异性介质中，虽然不适用，但是理论上要以介电张量代替目前的介电常数，可以得到形式上复杂的类Fresnel公式。参考文献1郭奕玲、沈慧君.物理学史（第二版）M.北京：清华大学出版社.20052惠更斯.惠)M.北京：北京大学出版社.20123麦克斯韦.电磁通论.北京：北京大学出版社20104梁灿斌、秦光戎、梁建竹.电磁学（第二版）M.北京：高等教育出版.20045郭硕鸿.电动力学（第三版）M.北京：高等教育出版社.20086姚启钧.光学教程.（第四版）M.北京：高等教育出版.20087蒋明明.菲涅耳公式的学习和分析一些问题的探究J.湖州师范学院物理学课程论.20078)M.北京：清华大学出版.20119章志鸣, 沈元华, 陈惠芬.)M.北京：高等教育出版.200910王楚、汤俊雄.M.北京: 北京大学出版.2001