二级倒立摆系统的控制与仿真

二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对 联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制 对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论 得到的联系控制规律， 再将控制规律离散化， 用控制器实现， 第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控 制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律 如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。我们 采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数 字再设计。二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x=A*x (t)+B*u(t),y=C*x (t)其初始条件为 x(t)=x0;其中： A=0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0;B=0;-2;0;0.8;C=1,0,0,0;0,0,1,0(2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为 6，能控性矩阵的秩也为 6，因此系 统是能控的。(3) 系统的能观性判定 To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。(4) LQR 控制设计 基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用 LQR 进行控 制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;F=lqr(A,B,Q,R) 得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330 三、仿真曲线采用 LQR 控制方式， 设初始状态为 x(0)=1,-1,0,0 ，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T) 分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=FI+(A+BF)T/23. F(T)=F3(T)=FI-(A+BF)/2 -1 (1) T=0.013s， ?c=e(A+BF)T 时系统的极点、状态 x1、x2、x3 的离散仿真曲线A=0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0;B=0;0;0;1;5.7012;-0.0728;C=1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;D=0;0;0;Q=1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 00;R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;G,H=c2d(A-B*F,B,T);%离散一的函数p0=eig(G),x0=1 -1 0.5 0 0 0;y,x t=dinitial(G ,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=1 0 0 0 0 0*x;%响应曲线plot(t,x1);grid;title( 状态变量 x1 的响应曲线 )subplot(3,1,2),x2=0 1 0 0 0 0*x;plot(t,x2);grid;title( 状态变量 x2 的响应曲线 )subplot(3,1,3),x3二0 0 1 0 0 0*x：plot(t,x3);grid;title(状态变量x3的响应曲线)p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i(2) T=0.013s, ?c=? +F1(T)时系统的极点、状态 x1、x2、x3的离散仿真曲线A二0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0; B=0;0;0;1;5.7012;-0.0728;C=1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;D=0;0;0;Q=1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;Ad,B=c2d(A,B,T);%离散二的函数Ad=Ad-B*F; p1=eig(Ad) x0=1 -1 0.5 0 0 0;y,x t=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=1 0 0 0 0 0*x;%显示程序plot(t,x1);grid;title( 状态变量 x1 的响应曲线 )subplot(3,1,2),x2=0 1 0 0 0 0*x; plot(t,x2);grid;title( 状态变量 x2 的响应曲线 ) subplot(3,1,3),x3=0 0 1 0 0 0*x;plot(t,x3);grid;title(状态变量x3的响应曲线)pl =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i的离散仿真曲线A二0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0;B=0;0;0;1;5.7012;-0.0728;C=1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;D=0;0;0;Q=1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2;%离散 3 的函数F2=F*(eye(size(P2)+P2) Add,B=c2d(A,B,T);Ad=Add-B*F2; p2=eig(Ad) x0=1 -1 0.5 0 0 0;%显示程序y,x,t=dinitial(Ad,B,C,D,x0); t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=1 0 0 0 0 0*x; plot(t,x1);grid;title( 状态变量 x1 的响应曲线 ) subplot(3,1,2),x2=0 1 0 0 0 0*x;plot(t,x2);grid;title( 状态变量 x2 的响应曲线 ) subplot(3,1,3),x3二0 0 1 0 0 0*x： plot(t,x3);grid;title(状态变量x3的响应曲线) F2 =1.723690.8365 -126.54814.00124.5195 -19.9211p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图 3 ? c=?+r F2(T)T=0.013s,?c二？+r F3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3 的离散仿真曲线A=0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0;B=0;0;0;1;5.7012;-0.0728;C=1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;D=0;0;0;Q=1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 00;R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2;%离散 4 的函数F3=F*(eye(size(P3)-P3)A-1Add,B=c2d(A,B,T); Ad=Add-B*F3;p3=eig(Ad),y,x,t=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;%显示程序subplot(3,1,1),x1=1 0 0 0 0 0*x;寸9 寸EOG69 寸9.寸 8E0L.寸 99e0.60Lco89LN6 6 卜卜、LHOH- ( cox _sp 一q(coXMO_d -x*o0 0 L 0 ofcoX.CLoxodqns ( 0X _sp_q(0XMO_d -x*o0 0 0 L 0丁 0xcco)4o_dqns ( X_spXMO_d一9900.0 0CO66O 一99000+ 0CO66O N09OO 00060 N09OO+ 刽 60 一9 卜寸 0.0 99980 一9 卜寸 00+ 99980由上面的1-4图我们可以知道：F（T）分别取Fi（T）, F2（T）, F3（T）构成 的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相 同，而取 F（T）=F3（T）时，从系统的极点看，用?c=?+r F3（T）代替?c=e（A+BF）T构成闭环系统的精确度相当好。（5）当T=0.07s时，重新运行上述程序，运行结果及仿真曲线如下：F =2.2361 106.6465 -155.46205.1719 4.9639 -24.5330 p0 =0.4410 + 0.1336i0.4410 - 0.1336i0.6133 + 0.2309i0.6133 - 0.2309i0.9635 + 0.0344i0.9635 - 0.0344ip1 =-1.62000.44460.6537 + 0.1930i0.6537 - 0.1930i0.9634 + 0.0345i0.9634 - 0.0345iF2 =2.5709-0.5233 21.5158 0.2283 -1.13210.3004p2 =1.59610.43790.6521 + 0.1966i0.6521 - 0.1966i0.9634 + 0.0345i0.9634 - 0.0345iF3 =0.6369 51.2148 -58.6229 1.4954 3.2064 -9.0394p3 =0.5960 + 0.3519i0.5960 - 0.3519i0.5336 + 0.1127i0.5336 - 0.1127i0.9636 + 0.0342i0.9636 - 0.0342i状态变量初的响应曲绒状态变蚩炷的响匿曲线2 nII10510152025,状态变量亦的响应曲线1IIIA*!：!- tlIIo shv :i :；十一hlii|iI4IiiiiIPI4IT IIIIIQ510152025图 5T=0.07s,?c=e(A+BF)T 仿真曲线伏态变重祠的响应曲袋211111HIlli billillIlli Illi1| JLJiI: i 1 i li 1 I 1 Il i i III11C0.511.522.5状态SSx2的响应曲线33.5Illi Fill 111HIlli hliiA ：/ikii- w vHill illi ii* iiL11Jzv110.511.522.5335状态变量*3的响应曲线C.511.522.533.5图 6T=0.07s,?c=?+r Fi(T)仿真曲线2,00.511.522.533.5图 7T=0.07s,?c=?+r F2(T)仿真曲线5状态变量的响应曲线二I11i1i1iln14in1in0_ - | 帛 -巧 5111ilH1t11s1015状态变臺泄的响应曲线20251 11n011i1IIiliii11ilII1Iiil1111111-51|9510152025图 8T=0.07s,?c二？+r F3(T)时仿真曲线由以上图5-8可知，当F(T)取Fi(T)或F2(T)构成闭环离散系统时， 仿真曲线已经发散，系统变得不稳定了，而用F(T)= Fs(T)构成闭环离 散系统时，该仿真曲线与?c=e(A+BF)T时系统的仿真曲线基本一致，并 且相应的闭环极点仍保持一定的精度。五、结束语从两次仿真结果可知，当采样时间很小时，人们通常用连续系统 的状态反馈矩阵F构成闭环离散系统，这没有多大问题。但是随着采 样时间的增大，仍采取这种方法，则闭环系统的状态响应变坏，甚至 出现不稳定现象。这时应用闭环系统离散化的状态矩阵 F(T)=FI-(A+BF)/2 -1作为状态反馈矩阵构成离散化的闭环系统才是 一种既简单而又具有较高精度的方法。六、试验心得 通过此次试验对 Matlab 的一些应用有了一定的了解，在仿真的过程 也碰到了不少问题，开始的有某些函数打错了一些字，在 commend 框的提示下解决一些问题， 还有就是程序中的一些问题， 开始参考的 程序中漏了一句程序 Add,B=c2d(A,B,T), 使得运行出现错误，经过自 己的调试和查找资料，最后终于顺利的完成了试验，于此同时对Matlab有了较好的兴趣，并且发现了其功能的强大，在往后自己会去 深刻的学习这个软件，并且多和论坛中的高手交流交流。