教学实际中的一道立体几何例题的变式处理

教学实际中的一道立体几何例题的变式处理哈尔滨市第五十八中学校 张子刚“一题多变”对于数学教师而言是极为熟悉的，和“一题多解”一样是数学教学中经常研究的问题，运用得也最为广泛和得心应手。一题多变可以激发学生的学习兴趣，可以培养学生的发散思维，是学生创新思维的必备前提，可以使学生学得更加牢固、透彻，大大提高学习质量与效率。当然，恰当与否的一题多变，在教学中也起着至关重要的作用。一题多变重点在于对某个问题进行多层次、多角度、多方位的探索。下面就我在前几天高三一轮复习中对一道立体几何例题的变式处理进行举例说明。原题：如图，在正方体ABCD-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P是DD的中点，设Q是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ平面PAO?这道题对于我的大多数学生而言理解起来有些困难，原因是点Q是动点，于是我把原题变式如下：变式一：如图，在正方体ABCD-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P是DD的中点，Q是CC的中点，求证：平面DBQ平面PAO。证明：在正方体ABCD-ABCD中，连结PQ， P、Q分别是DD、CC的中点 PQAB又PQ=AB 四边形PABQ是平行四边形 PAQB又QB平面PAOQB平面PAO又在BDD中，P、O分别是DD、DB的中点BDPO又BD平面PAOBD平面PAO又QB平面DBQ BD平面DBQBDQB=B平面DBQ平面PAO.这样，原题就比较好处理了，只需先判断Q为中点，然后再像上面这样证明即可。但是一些学生还是对Q为中点的判断有疑问，于是，我又设计了下面的变式。变式二：如图，在正方体ABCD-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P是DD的中点，设Q是CC上的点，当平面DBQ平面PAO时，求证：Q是CC的中点。证明：连结PC则平面PAC即平面PAO 平面DBQ平面PAC又平面PAC平面CDCD=PC 平面DBQ平面CDCD=DQ PCDQ 又在正方形CDCD中，P是DD的中点 Q是CC的中点。 通过以上两个变式的研究，学生就能够深刻的认识这个问题的本质是考察面面平行的判定和性质，也能较好的完成原有问题，但我还是觉得略有不够，于是，我又给出了以下变式。 变式三：在正方体ABCD-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P是DD上的点，Q是CC上的点，并且DP=2DP,问：当点Q在什么位置时，平面DBQ平面PAO? 这个问题在上述问题的解决后就不难处理了，学生可以很轻松地自主完成。此处，就不再赘述解题过程，事实上，当把“DP=2DP”中的常数2变成参数时，我们还是可以用相同的方法做进一步的研究。当然，本例也可以用向量法进行研究，作为“一题多解”的典型例题。最后，我想说：设计一题多变首先应该能够体现数学的层递性。力求每一变都体现层层递进，步步深入。此题不仅锻炼了学生的空间想象能力，而且促进学生举一反三的数学能力的形成，也使学生对解决问题的思路理解得更为透彻。数学中的一题多变设计应能够体现知识的一定规律和一定的关联，便于学生思考问题时思路的发展。了解数学从简单到复杂，从特殊到一般的探索规律。再用不同的思路去分析，不仅使得学生对思考的问题由浅入深，而且极大的锻炼学生类推能力和梳理思路归纳的能力。一题多变，变中有不变。相信通过一题多变的教学设计，既能促进学生的提高，更能促进教师的提高。