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第二章空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫 做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表 示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）OAuuuuuuuuurv uuuuuuOBOAABab ； BAOA运算律：加法交换律:加法结合律：（a b） c a （b c）数乘分配律：（a b） a b3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a / b。当我们说向量a、b共线（或a b ）时，表示a、b的有向线 段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b工0 ） , ab 存在实数入，使a =入b。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面 向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量a,b 共面的条件是存在实数x, y使p xa yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y, z，使 rr,rrp xa yb zc。若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,C叫做空间的一个基底， a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存 在唯一的三个有序实数 x,y,z,使OP xC)A yOOB zOC。、A，在空间任取 一点o作M -(两个向量的起点一定要相同)，贝y叫做 向量丿与的夹角，记作正确b错误090平移前90 叫&吒 1806 = 1806. 空间两向量的夹角：已知两个非零向量14 / 97. 空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有 序实数组(x, y,z)，使OA xi yi zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在 空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x, y,z) , x叫横坐标，y叫 纵坐标，z叫竖坐标。(2)右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴 以90角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是 z轴的正向；/工(3)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为i,这个基底叫单位正交基底，用r，r，k表示。(4 )空间向量的直角坐标运算律：若rbrbrba/brra G,a2,a3), b(add)，则(aib| , a2b2 , a3d),r(aibi , a2b2 , a3d),i a(ai ,a2 ,a3)(R)aib|a2b2a3b3 ，aibi , a2b2 ,d(r)或aa2a3b2b3qbia2fc2asd0。5a buuu若 A(Xi,yi,Zi)， B(X2, y2,Z2)，贝U AB (x?一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向 线段的终点的坐标减去起点的坐标。(5) 模长公式：若 a 总耳),b贝U | a | a aai2 a22 a32 , | b | . b b . Dr r(6) 夹角公式：cos： a b a bxi,y2 yi,z2 zi)。(bi,b2,b3)，2b22b32abi玄2匕2玄3匕32 2 2 2 2 2 a2a3 bib2&|a| |b|.ai2 a22 a32 bi(7)两点间的距离公式：若A(Xi,yi,zJ , B(X2,y2,Z2),LUIHLUU 2贝 V | AB| AB , (x2或 dA,B(y 2 zi 22 2 2xi) (y2 yi) (Z2 zi)，(8)空间线段 R(xi, yi，Zi), P2(X2, y2，Z2)的中点 M (x, y, z)的坐标:x1 x22 yy2 ziZ22 2(9)球面方程：x2 y2 z2 R28. 空间向量的数量积。(i)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA a,OB b，贝U AOB叫做向量a与b的夹角， 记作a,b ；且规定o a,b ,显然有a,b b,a ；若a,b ，则称a与b互相垂直，记作：a b。2(2) 向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a 的长度或模，记作：怡|。(3) 向量的数量积：已知向量 a,b，则| a| |b | cos 叫做 b的数量积，记作a b，即a b |a| |b| cos a,b。(4) 空间向量数量积的性质： a e |a|cos a,e 。 a b a b o。苛 a a =(a)2,I a (a)2(5) 空间向量数量积运算律： (a) b (a b) a (b)。 a b b a (交换律)。 a (b C)a b a c (分配律)。9、空间向量在立体几何证明中的应用：AB (a,a2,a3),CD (bdbs)01_ab1 b2 d(2) 证明AB CD ,即证明AB CD(3) 证明 AB/uuuaibi, a2b2, a3b3或也就是证明a1bi a2b2 a3b3 0，即证明Ab垂直于平面的(1 )证明AB/CD ,即证明AB/CD ,也就是证明0 ,平面)(或在面内)法向量或证明AB与平面内的基底共面；(4)证明AB，即证明AB平行于平面的法向量或证明 AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；(5)证明两平面 (或两面重合)，即证明两平面的法向量平 行或一个面的法向量垂直于另一个平面;(6)证明两平面 法向量在另一个面内,即证明两平面的法向量垂直或一个面的10. 运用向量的坐标运算解题的步骤:(1) 建坐标系，求相关点的坐标(2) 求相关向量的坐标(3) 运用向量运算解题11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题: (1)两条直线的夹角：设直线l,m的方向向量分别为a,b，(2)直线与平面的夹角:设直线I的方向向量分别为a，平面 的法向量分别为直线1与平面所成的角为(。-)s.(3) 二面角：0 方向向量法:cos6 cos cosO = -cos 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题（1）点与直线的距离：d AP sin （先求 cos AP, a ）a（2）点到平面的距离：喘I|n|如图A ,空间一点P到平面 的距离为d,已知平面 的一个法 向量为n,且AP与n不共线，分析:过P作丄于O,连结. uuu uur则 PO | PA | cos APO.uuu , ruuu r/ PO 丄，n，二 PO / n ./ urn r PA,n .urn r.uuu uuu r | PA n| PA PA, n u_!（3）异面直线间的距离:n ABd CD nb已知是异面直线为的公垂线 n是直线CD的方向向量，,B分别在直线上n ABd CD|n（4）其它距离问题： 平行线的距离（转化为点到直线的距离） 直线与平面的距离（转化为点到平面的距离） 平面与平面的距离（转化为点到平面的距离） 13.补充：（1）三余弦定理设是a内的任一条直线，且丄，垂足为C又设与所成的角为1 ,与所成的角为2，与所成的角为.则cos cos 1 cos 2（2）三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平 面所成的角是1, 2,与二面角的棱所成的角是B,则有.2. 2. 2 . 2 _ . .sinsinsin1 sin2 2sin 1 sin2 cos .1 12|180。（ 12）（当且仅当90时等号成立）.（3 ）点Q到直线I距离h 1 . （|a|b|）2 （a b）2uiu|a（点P在直线I上，直线I的方向向量PA，uju向量PQ）.（4）异面直线上两点距离公式 、h m n m2mn cos222/呻 ulm,h m n 2mncos.EA,AFJh2 m2 n2 2mncos （ E AA F）（两条异面直线a、b所成的角为B,其公垂线段 aa的长 度为h.在直线a、b上分别取两点E、F ,A E m , AF n , EF d ）.（5 ）三个向量和的平方公式r rr 2心心2r rr rr r（a bc）abc2a b2b c2c ar2 r2 r2 r r r r r r ：r r r r r ra b c 2 |a | |b|cos；;a,b. 2 | b | |c|cos： b,c 2 |c | | a | cos c,a（6）长度为丨的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长 分别为爪，夹角分别为1、2、3,则有l2I； I；cos21cos22cos23 1 sin2 1sin22 sin2 32（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）（7）面积射影定理IS旦cos .（平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为）.（8 ）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是I，侧面积和体积分别是 s斜棱柱侧 和 V斜棱柱它的直截面的周长和面积分别是 c1和S1,则s斜棱柱侧V斜棱柱（9）欧拉定理（欧拉公式）V F E 2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.E二各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为 n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E nF2 若每个顶点引出的棱数为 m,则顶点数V与棱数E的关 系: . E -!mV2(10) 球的组合体 球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长 ，正方体的棱切 球的直径是正方体的面对角线长 ，正方体的外接球的直 径是正方体的体对角线长. 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为 ，a,外接球的半12径为兰a.4
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