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第四十一讲第四十一讲 空间图形的基本关系与空间图形的基本关系与公理公理走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.空间图形的基本关系空间图形的基本关系(1)空间点与直线的位置关系空间点与直线的位置关系(2)空间点与平面的位置关系空间点与平面的位置关系(3)空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系(4)空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系(5)空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系2.空间图形的公理空间图形的公理(1)公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线那么这条直线上所有点都在这个平面内上所有点都在这个平面内(即直线在平面内即直线在平面内).用符号表示用符号表示:若若AL,BL,且且A,B,则则L ,公理公理1的作用是判断直线在平面内的作用是判断直线在平面内,也可以由点在直线上以及也可以由点在直线上以及直线在平面内直线在平面内,判断点在平面内判断点在平面内.(2)公理公理2:经过不在同一条直线上的三点经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面(即可以确定一个平面即可以确定一个平面).推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面可以确定一个平面;推论推论2:经过两条相交直线经过两条相交直线,可以确定一个平面可以确定一个平面;推论推论3:经过两条平行直线经过两条平行直线,可以确定一个平面可以确定一个平面.公理公理2的作用是确定平面的作用是确定平面.(3)公理公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线只有一条通过这个点的公共直线.用符号表示用符号表示:P,P,则则=L且且PL.公理公理3的作用的作用:可以确定两个平面的交线可以确定两个平面的交线,只要找到两个平面只要找到两个平面的两个公共点的两个公共点,就能找到它们的交线就能找到它们的交线,还可以判断点在直线还可以判断点在直线上上,即若某个点是两个相交平面的公共点即若某个点是两个相交平面的公共点,则这个点在两个平则这个点在两个平面的交线上面的交线上.(4)公理公理4:平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行.符号表示符号表示:AB,CBAC.公理公理4是判断两条直线平行的依据是判断两条直线平行的依据.(5)定理定理(等角定理等角定理):空间中空间中,如果两个角的两条边分别对应平如果两个角的两条边分别对应平行行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补.3.异面直线异面直线(1)判定方法判定方法定义法定义法:不同时在任何一个平面内不同时在任何一个平面内.过平面内一点与平面外一点的一条直线与该平面内不经过过平面内一点与平面外一点的一条直线与该平面内不经过该点的直线异面该点的直线异面.(2)异面直线所成的角异面直线所成的角,已知已知A,B为异面直线为异面直线过空间任意一点过空间任意一点P分别引两条异面直线分别引两条异面直线A,B的平行线的平行线L1,L2(AL1,BL2),这两条相交直线所成的锐角这两条相交直线所成的锐角(或直角或直角)就是就是异面直线异面直线A,B所成的角所成的角,如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,我我们称这两条直线互相垂直们称这两条直线互相垂直.两条异面直线所成角的范围两条异面直线所成角的范围090.考考 点点 训训 练练1.如果三个平面两两相交如果三个平面两两相交,那么它们的交线条数有那么它们的交线条数有( )A.3B.1C.1或或3D.2或或3答案答案:C解析解析:如图如图(一一)有三条交线有三条交线,如图如图(二二)有一条交线有一条交线.故选故选C.2.若直线若直线M与平面与平面相交但相交但不不垂直垂直,则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是( )A.在平面在平面内有且只有一条直线与直线内有且只有一条直线与直线M垂直垂直B.过直线过直线M有且只有一个平面与平面有且只有一个平面与平面垂直垂直C.与直线与直线M垂直的直线垂直的直线不不可能与平面可能与平面平行平行D.与直线与直线M平行的平面平行的平面不不可能与平面可能与平面垂直垂直解析解析:由直线与平面的位置关系可知选由直线与平面的位置关系可知选B.答案答案:B3.(2009海南海南,宁夏宁夏)如图如图,正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1,线段线段B1D1上有两个动点上有两个动点E,F,且且 ,2EF2则下列结论中错误的是A. ACBEB. EF平面平面ABCDC.三棱锥三棱锥ABEF的体积为定值的体积为定值D.异面直线异面直线AE,BF所成的角为定值所成的角为定值解析解析:因因AC平面平面BB1D1D,所以所以ACBE,选项选项A正确正确;因因B1D1平面平面ABCD,所以所以EF平面平面AC,选项选项B正确正确;因点因点A到平到平面面BB1D1D的距离为定值的距离为定值,BEF的面积也为定值的面积也为定值,所以三棱锥所以三棱锥ABEF的体积也为定值的体积也为定值,选项选项C正确正确;因点因点A、B到直线到直线B1D1的距离不等的距离不等,所以选项所以选项D错误错误.答案答案:D4.(2009全国全国)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,AA1=2AB,E为为AA1中点中点,则异面直线则异面直线BE与与CD1所成角的余所成角的余弦值为弦值为( )1013 103A. B. C. D.105105答案答案:C解析解析:连结连结BA1,BA1CD1,EBA1为异面直线为异面直线BE与与CD1所成的角所成的角.解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 公理的应用公理的应用例例1(2009辽宁卷辽宁卷)在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,E,F分别为分别为棱棱AA1,CC1的中点的中点,则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相都相交的直线交的直线( )A.不存在不存在B.有且只有两条有且只有两条C.有且只有三条有且只有三条D.有无数条有无数条答案答案:D解析解析:本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题,考查学考查学生的空间想象能力生的空间想象能力.如图如图,在在EF上任意取一点上任意取一点M,直线直线A1D1与与M确定一个平面确定一个平面,这个这个平面与平面与CD有且仅有有且仅有1个交点个交点N,当当M取不同的位置就确定不同取不同的位置就确定不同的平面的平面,从而与从而与CD有不同的交点有不同的交点N,而直线而直线MN与这与这3条异面直条异面直线都有交点线都有交点.题型二题型二 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系例例2(2009安徽模拟安徽模拟)若两条异面直线所成的角为若两条异面直线所成的角为60,则称则称这对异面直线为这对异面直线为“黄金异面直线对黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的在连接正方体各顶点的所有直线中所有直线中,“黄金异面直线对黄金异面直线对”共有共有_对对.答案答案:24解析解析:如图如图,与与A1C1成黄金对的直线有成黄金对的直线有D1C,AB1,AD1,B1C.而而A1C1这样的直线有这样的直线有12条条,再消去顺序为再消去顺序为().12 4242对点评点评:空间两条直线的位置关系的考查通常以选择题或填空题空间两条直线的位置关系的考查通常以选择题或填空题出现出现,要求能够根据图形想象它们的位置关系要求能够根据图形想象它们的位置关系.题型三题型三 异面直线所成的角异面直线所成的角例例3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,其棱长为其棱长为A,E,F分别为分别为BB1,CC1的中点的中点,求求AE与与BF所成的角的余弦值所成的角的余弦值.解解:如图如图,连接连接DF、BD.易证易证:DFAE,且且DF=AE.DFB为异面直线所成的角或它的补角为异面直线所成的角或它的补角,在在RTABE中中,点评点评:研究异面直线所成的角研究异面直线所成的角,就是通过平移把异面直线转化就是通过平移把异面直线转化为相交直线为相交直线,这是研究空间图形的一种基本思想这是研究空间图形的一种基本思想,即把空间图即把空间图形问题转化为平面图形问题形问题转化为平面图形问题.变式变式:如下图所示如下图所示,正四面体正四面体PABC中中,M为棱为棱AB的中点的中点,则则PA与与CM所成角的余弦值为所成角的余弦值为_.:36答案解析解析:不妨设正四面体的棱长为不妨设正四面体的棱长为1.设设N为为PB的中点的中点.如图所示如图所示.连结连结MN,则则MNAP.CMN为异面直线为异面直线PA与与CM所成的角所成的角.笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关异面直线的判定方法异面直线的判定方法:(1)根据异面直线的定义根据异面直线的定义;(2)利用异面直利用异面直线的判定定理线的判定定理;(3)反证法反证法.典例典例(2009辽宁辽宁)如图如图,已知两个正方形已知两个正方形ABCD和和DCEF不在不在同一个平面内同一个平面内,M、N分别为分别为AB、DF的中点的中点.(1)若若CD=2,平面平面ABCD平面平面DCEF,求求MN的长的长;(2)用反证法证明用反证法证明:直线直线ME与与BN是两条异面直线是两条异面直线.解解:(1)如图如图,取取CD的中点的中点G,连结连结MG,NG,ABCD,DCEF为正方形为正方形,且边长为且边长为2,CD,MG2,NG2.DCEF,NG.6.22MGABCDMGDCEFMGMNMGNG平面平面平面可得(2)假设直线假设直线ME与与BN共面共面,则则AB 平面平面MBEN,且平面且平面MBEN与平面与平面DCEF交于交于EN.由已知由已知,两正方形不共面两正方形不共面,AB 平面平面DCEF.ABCD,AB平面平面DCEF.而而EN为平面为平面MBEN与平面与平面DCEF的交线的交线,ABEN.又又ABCDEF,ENEF,这与这与ENEF=E矛盾矛盾,故假设不成立故假设不成立.ME与与BN不共面不共面,它们是异面直线它们是异面直线.考考 向向 精精 测测1.“A,B为异面直线为异面直线”是指是指:AB=,且且A不平行于不平行于B;A 平面平面,B 平面平面,且且AB=;A 平面平面,B 平面平面,且且A=;A 平面平面,B 平面平面;不存在平面不存在平面能使能使A ,B 成立成立.其中正确的序号是其中正确的序号是.解析解析:由异面直线的定义可得成立由异面直线的定义可得成立.答案答案:2.如图所示如图所示,鼓状的几何体是由半径为鼓状的几何体是由半径为5的球的球O经过两个水平经过两个水平平面切割而成平面切割而成,上下底面都是半径为上下底面都是半径为4的圆的圆,五点五点O1,O,O2,A,D同在平面同在平面上上,而另五点而另五点O1,O,O2,B,C同在平面同在平面上上,若若,则则直线直线OB与与AC所成角的余弦值为所成角的余弦值为( )175A. B.8521715C. D.1513解析解析:本题考查了有关异面直线成角的问题本题考查了有关异面直线成角的问题.解法一解法一,如图如图,将矩形将矩形O1O2BC补一个与其全等的矩形补一个与其全等的矩形BCEF,取取EF的中点的中点G,连接连接CG,则可证得则可证得OBCG,则则ACG即为所求即为所求的角的角.连接连接AG,在在ACG中中,可求得可求得AG2=89,CG=5,AC2=68,答案答案:A点评点评:求解立体几何成角问题常用的方法有几何法和空间向量求解立体几何成角问题常用的方法有几何法和空间向量法法.几何法主要就是通过图形的结构特点几何法主要就是通过图形的结构特点,实现三步实现三步:“作作角角”“”“证角证角”“”“求角求角”,一般最后都是将所求角放在一个易于一般最后都是将所求角放在一个易于求解的三角形内求解的三角形内,利用三角形的知识进行求解的利用三角形的知识进行求解的,利用此法求利用此法求解需要学生有一定的空间想象能力和构造能力解需要学生有一定的空间想象能力和构造能力,如本题的解法如本题的解法一一,就是通过补形的方法将所求异面直线所成角转化为平面角就是通过补形的方法将所求异面直线所成角转化为平面角的的.空间向量法的难度在于建立空间直角坐标系空间向量法的难度在于建立空间直角坐标系,建系的原则建系的原则一般都是以对称、垂直、坐标最简为原则一般都是以对称、垂直、坐标最简为原则.而后的具体问题可而后的具体问题可通过空间向量的相应知识进行求解通过空间向量的相应知识进行求解,其应用要简单于几何法其应用要简单于几何法,其过程在于算其过程在于算.课时作业课时作业(四十一四十一) 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理一、选择题一、选择题1.若若P是两条异面直线是两条异面直线L,M外的任意一点外的任意一点,则则( )A.过点过点P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与L,M都平行都平行B.过点过点P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与L,M都垂直都垂直C.过点过点P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与L,M都相交都相交D.过、鉖有且仅有一条直线与过、鉖有且仅有一条直线与L,M都异面都异面解析解析:A错错,若过点若过点P存在直线存在直线A与与L,M都平行都平行,则则LM,与与L,M异面矛盾异面矛盾.C错错,如图如图,L与与M异面异面,M ,P,L,则过则过P点与点与M相交的相交的直线都在直线都在内与内与L不能相交不能相交.D错错,过过P点有无数条直线与点有无数条直线与L,M都异面都异面,故选故选B.答案答案:B2.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示,A、B、C是展开图上的三点是展开图上的三点,则在正方体盒子中则在正方体盒子中,ABC的大小为的大小为( )A.30B.45C.60D.90解析解析:如图如图,正方体中正方体中,ABC是正三角形是正三角形,故故ABC=60.故选故选C.答案答案:C3.正方体正方体AC1中中,E、F分别是线段分别是线段C1D,BC的中点的中点,则直线则直线A1B与直线与直线EF的位置关系是的位置关系是( )A.相交相交B.异面异面C.平行平行D.垂直垂直答案答案:A解析解析:直线直线A1B与直线外一点与直线外一点E确定的平面为确定的平面为A1BCD1,EF 平平面面A1BCD1,且两直线不平行且两直线不平行,故两直线相交故两直线相交,选选A.4.空间中有五个点空间中有五个点,其中有四个点在同一平面内其中有四个点在同一平面内,但没有任何三但没有任何三点共线点共线,这样的五个点确定平面的个数最多可以是这样的五个点确定平面的个数最多可以是( )A.4个个B.5个个C.6个个D.7个个解析解析:以四棱锥为模型以四棱锥为模型,可知五个点确定可知五个点确定7个平面个平面.答案答案:D5.E、F、G、H分别是空间四边形分别是空间四边形ABCD的各边的各边AB、BC、CD、DA的中点的中点,若对角线若对角线BD=2,AC=4,则则EG2+HF2的值为的值为( )A.12B.10C.5D.不能确定不能确定答案答案:B解析解析:E、F、G、H分别为所在棱的中点分别为所在棱的中点,故故EFGH为为11EHBD1,EFAC2.22()10.2222EGHF2 EFEH平行四边形且6.正三棱锥正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等的侧棱与底面边长相等,如果如果E、F分别为分别为SC、AB的中点的中点,那么异面直线那么异面直线EF与与SA所成的角等于所成的角等于( )A.90B.60C.45D.30答案答案:C解析解析:正三棱锥的侧棱与底面边长相等正三棱锥的侧棱与底面边长相等,则则SABC为正四面体为正四面体,将它放在正方体中将它放在正方体中,如图所示如图所示,易知易知EF与与SA所成角即为侧棱与面对角线所成角所成角即为侧棱与面对角线所成角,故选故选C.二、填空题二、填空题7.在四面体在四面体ABCD中中,M、N分别是面分别是面ACD、BCD的的重心重心,则四面体的四个面中与则四面体的四个面中与MN平行的是平行的是_.答案答案:平面平面ABC和平面和平面ABD解析解析:连结连结AM并延长交并延长交CD于于E;连结连结BN并延长交并延长交CD于于F.由重由重心的性质可知心的性质可知:E、F重合为一点重合为一点,且该点为且该点为CD的中点的中点E.由由1,/ /.,/ /2/ /ABD.EMENMNABMNABCMANBMN得因此平面且平面8.(2009安徽安徽)对于四面体对于四面体ABCD,下列命题正确的是下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号写出所有正确命题的编号).相对棱相对棱AB与与CD所成的直线异面所成的直线异面;由顶点由顶点A作四面体的高作四面体的高,其垂足是其垂足是BCD三条高线的交点三条高线的交点;若分别作若分别作ABC和和ABD的边的边AB上的高上的高,则这两条高所在则这两条高所在的直线异面的直线异面;分别作三组相对棱中点的连线分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱最长棱.答案答案:解析解析:本题主要考查立体几何的线面关系本题主要考查立体几何的线面关系.对于对于,若若AB,CD共面共面,则则ABCD点共面点共面,则其不能构成四面则其不能构成四面体体,正确正确;错误错误;对于对于,设设E,F,G,H,M,N分别为分别为AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点的中点,则则EHFG,且且EHBD,EH= BD.即即EG与与HF交于交于EG的中点的中点O,同理同理EG与与MN交于交于EG的中的中点点O.所以所以EG,HF,MN交于点交于点O,正确正确;正确正确.129.四边形四边形ABCD中中,AB=BC=CD=DA=BD=1,要使要使A、B、C、D四点不共面四点不共面,则则AC的取值范围是的取值范围是_.: 0, 3答案解析解析:如图如图(一一)所示所示,ABD与与BCD均为边长为均为边长为1的正三角形的正三角形,当当ABD与与CBD重合时重合时,AC=0,将将ABD以以BD为轴转动为轴转动,到到A,B,C,D四点再共面时四点再共面时,(),0AC3.AC3AC如图 二 故的取值范围是10.下列命题正确的是下列命题正确的是_.过直线外一点作这条直线的平行平面有无数多个过直线外一点作这条直线的平行平面有无数多个过一点作一直线的平行直线有无数条过一点作一直线的平行直线有无数条过平面外一点过平面外一点,与该平面平行的直线有无数条与该平面平行的直线有无数条过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行答案答案:三、解答题三、解答题11.如图所示如图所示,在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,M为为AB的中点的中点,N为为BB1的中点的中点,O为面为面BCC1B1的中点的中点.(1)过过O作一直线与作一直线与AN交于交于P,与与CM交于交于Q(只写作法只写作法,不必证不必证明明);(2)求求PQ的长的长.分析分析:(1)AN和和CM是两条异面直线是两条异面直线,过过O点作直线要与点作直线要与AN和和CM都相交都相交,应在平面内来作应在平面内来作.因此因此,点点O、A、N和和O、C、M各确定一个平面各确定一个平面、.(2)当点当点P、Q作出后作出后,求求PQ的长只需解的长只需解三角形即可三角形即可.解解:(1)由由ONAD知知,AD与与ON确定一个平面确定一个平面;又又O、C、M三点确定一个平面三点确定一个平面(如图所示如图所示).平面平面、和平面和平面ABCD两两相交两两相交,有三条交线有三条交线OP、CM、DA,其中交线其中交线DA与交线与交线CM不平行且共面不平行且共面,DA与与CM必相交必相交,记交点为记交点为Q,OQ是是与与的交线的交线.连接连接OQ与与AN交于交于P,故故OPQ即为所求作的直线即为所求作的直线.12.如图所示如图所示,等腰等腰ABC的底边的底边AB=6 ,高高CD=3,点点E是线段是线段BD上异于点上异于点B、D的动点的动点.点点F在在BC边上边上,且且EFAB.现沿现沿EF将将BEF折起到折起到PEF的位置的位置,使使PEAE.记记BE=X,V(X)表示表示四棱锥四棱锥PACFE的体积的体积.(1)求求V(X)的表达式的表达式;(2)当当X为何值时为何值时,V(X)取得最大值、取得最大值、(3)当当V(X)取得最大值时取得最大值时,求异面直线求异面直线AC与与PF所成角的余弦值所成角的余弦值.6解解:(1)EFAB,EFPE.又又PEAE,EFAE=E,且且EF在平面在平面ACFE内内,PE平面平面ACFE.EFAB,CDAB,四棱锥四棱锥PACFE的体积的体积(3)过点过点F作作FGAC交交AE于点于点G,连接连接PG,则则PFG为异面直线为异面直线AC与与PF所成的角所成的角.ABC是等腰三角形是等腰三角形,GBF也是等腰三角形也是等腰三角形.点评点评:本小题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何本小题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积、空间异面直线所成的角等基础知识体体积、空间异面直线所成的角等基础知识,考查数形结合的考查数形结合的数字思想方法数字思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识能力、创新意识.
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