资源描述
精 品 数 学 课 件北 师 大 版第2课时指数函数及其性质应用问题问题引航引航1.1.图像的常见变换有哪些图像的常见变换有哪些? ?是怎样变换的是怎样变换的? ?2.2.指数函数的图像分布与底数大小的关系如何指数函数的图像分布与底数大小的关系如何? ?图像的变换图像的变换1.1.图像的平移变换图像的平移变换(1)y=f(x-a)(a0)(1)y=f(x-a)(a0)的图像可由的图像可由y=f(x)y=f(x)的图像沿的图像沿x x轴轴_平移平移a a个单位得到个单位得到;y=f(x+a)(a0);y=f(x+a)(a0)的图像可由的图像可由y=f(x)y=f(x)的图像沿的图像沿x x轴轴_平移平移a a个单位得到个单位得到. .(2)y=f(x)(2)y=f(x)h(h0)h(h0)的图像可由的图像可由y=f(x)y=f(x)的图像沿的图像沿_向上或向向上或向下平移下平移h h个单位得到个单位得到. .可以将平移变换化简成口诀：左加右减可以将平移变换化简成口诀：左加右减, ,上加下减上加下减. .向右向右向向左左y y轴轴2.2.图像的对称变换图像的对称变换(1)y=f(x)(1)y=f(x)与与y=f(-x)y=f(-x)的图像关于的图像关于_对称对称. .(2)y=f(x)(2)y=f(x)与与y=-f(x)y=-f(x)的图像关于的图像关于_对称对称. .(3)y=f(x)(3)y=f(x)与与y=-f(-x)y=-f(-x)的图像关于的图像关于_对称对称. .(4)y=|f(x)|(4)y=|f(x)|的图像是保留的图像是保留y=f(x)y=f(x)的图像中位于的图像中位于_的图像及与的图像及与x x轴的轴的_,_,将将y=f(x)y=f(x)的图像中位于的图像中位于_的图像以的图像以x x轴为对称轴翻折到上半面中去而得到轴为对称轴翻折到上半面中去而得到. .y y轴轴x x轴轴原点原点x x轴上半平面轴上半平面x x轴下半平轴下半平内内交点交点面内面内(5)y=f(|x|)(5)y=f(|x|)的图像是保留的图像是保留y=f(x)y=f(x)的图像中位于的图像中位于_的图像及与的图像及与y y轴的轴的_,_,去掉去掉_的图像的图像, ,利用偶利用偶函数的性质函数的性质, ,将右半平面内的图像以将右半平面内的图像以_为对称轴翻折到左半为对称轴翻折到左半平面中去而得到平面中去而得到. .y y轴右半平面轴右半平面内内交点交点y y轴左半平面内轴左半平面内y y轴轴1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1)(1)当当x0 x0时时, ,指数函数指数函数y=2y=2x x的图像在直线的图像在直线y=1y=1上方上方.(.() )(2)(2)在同一平面直角坐标系下在同一平面直角坐标系下,y=2,y=2x x的图像比的图像比y=3y=3x x的图像低的图像低.(.() )(3)(3)指数函数指数函数y=3y=3x x比比y=2y=2x x的增长速度快的增长速度快.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)y=2(1)y=2x x y=_.y=_.(2)(2)指数函数指数函数y=ay=ax x与与 (a0(a0且且a1)a1)的图像关于的图像关于_轴对称轴对称. .(3)y=2(3)y=2x+1x+1的图像向的图像向_平移平移_个单位可得个单位可得y=2y=2x x的图像的图像. .1 向上平移 个单位x1y( )a【解析解析】1.(1)1.(1)正确正确. .结合结合y=2y=2x x的图像可知的图像可知, ,当当x0 x0时时2 2x x1.1.(2)(2)错误错误. .在同一平面直角坐标系下在同一平面直角坐标系下, ,可知在可知在y y轴右侧轴右侧y=2y=2x x的图像的图像比比y=3y=3x x的图像低的图像低. .在在y y轴左侧轴左侧y=2y=2x x的图像比的图像比y=3y=3x x的图像高的图像高. .(3)(3)正确正确. .在同一平面直角坐标系下在同一平面直角坐标系下,y=3,y=3x x的图像比的图像比y=2y=2x x的图像离的图像离y y轴近轴近, ,可知可知y=3y=3x x比比y=2y=2x x的增长速度快的增长速度快. .答案答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)y=22.(1)y=2x x y=2y=2x x+1.+1.答案：答案：2 2x x+1+1(2)(2)如如y=2y=2x x与与 关于关于y y轴对称，可知轴对称，可知y=ay=ax x与与 也也关于关于y y轴对称轴对称. .答案：答案：y y(3)y=2(3)y=2x+1 x+1 y=2y=2x x. .答案：答案：右右 1 1 1 向上平移 个单位x1y( )2xx1y( )aa1 向右平移 个单位【要点探究要点探究】知识点知识点 函数图像的变换函数图像的变换1.1.对图像变换的两点说明对图像变换的两点说明(1)(1)平移不改变形状：图像变换中上下、左右平移，只改变位平移不改变形状：图像变换中上下、左右平移，只改变位置，不改变图像的形状置，不改变图像的形状. .(2)(2)图像变换的三个特点：图像变换的三个特点：对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减. .它只变其中它只变其中的的x x，如，如y=2xy=2x2 2 y=2(x+1)y=2(x+1)2 2. .对于上下平移变换，可简单记作：上加下减对于上下平移变换，可简单记作：上加下减. .它是作用于解它是作用于解析式整体上的，如析式整体上的，如y=2xy=2x2 2 y=2xy=2x2 2+1.+1.1左移个单位1上移个单位对于对称变换的特点：关于对于对称变换的特点：关于x x轴对称：轴对称：“y y”变为变为“-y-y”. .关于关于y y轴对称：轴对称：“x x”变为变为“-x-x”, ,可简单记作关于哪个轴对称可简单记作关于哪个轴对称, ,哪个轴对应的变量不变哪个轴对应的变量不变, ,另一个轴对应的变量变为相反数另一个轴对应的变量变为相反数. .即对即对称变换只分别作用于称变换只分别作用于x x和和y,y,与它们的系数无关与它们的系数无关. .2.2.指数函数指数函数y=ay=ax x(a0(a0且且a1)a1)的底数的底数a a对图像的影响对图像的影响(1)(1)底数底数a a与与1 1的大小关系决定了指数函数的大小关系决定了指数函数y=ay=ax x的图像的的图像的“升升降降”; ;当当a1a1时时,y=a,y=ax x的图像的图像“上升上升”; ;当当0a10ab1cd0.ab1cd0.【知识拓展知识拓展】两种特殊的对称变换两种特殊的对称变换(1)y=f(x)(1)y=f(x)的图像的图像 y=f(2a-x)y=f(2a-x)的图像的图像. .(2)y=f(x)(2)y=f(x)的图像的图像 y=2b-f(2a-x)y=2b-f(2a-x)的图像的图像. .【微思考微思考】(1)(1)函数函数y=f(|x|),xRy=f(|x|),xR的奇偶性如何的奇偶性如何, ,图像特征又如何图像特征又如何? ?提示：提示：y=f(|x|),xRy=f(|x|),xR是偶函数是偶函数, ,因为因为f(|-x|)=f(|x|),f(|-x|)=f(|x|),所以所以y=f(|x|),xRy=f(|x|),xR的图像关于的图像关于y y轴对称轴对称. .(2)(2)图像在上方的指数函数的底数一定大吗图像在上方的指数函数的底数一定大吗? ?提示：提示：不一定不一定. .在在y y轴右侧时底数大轴右侧时底数大, ,而在而在y y轴左侧时轴左侧时, ,底数反而底数反而小小. .【即时练即时练】1.(20141.(2014西安高一检测西安高一检测) )函数函数y=2y=2|x|x|的图像的图像( () )A.A.关于关于x x轴对称轴对称B.B.关于关于y y轴对称轴对称C.C.关于原点对称关于原点对称 D.D.关于原点和坐标轴都不对称关于原点和坐标轴都不对称2.(20142.(2014太原高一检测太原高一检测) )函数函数y=f(x)y=f(x)的图像与的图像与y=2y=2x x的图像关于的图像关于x x轴对称轴对称, ,则则f(x)f(x)的表达式为的表达式为. .【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为f(-x)=2f(-x)=2|-x|-x|=2=2|x|x|=f(x),=f(x),所以所以y=f(x)=2y=f(x)=2|x|x|是偶函数是偶函数, ,图像关于图像关于y y轴对称轴对称. .2.2.因为因为y=f(x)y=f(x)与与y=2y=2x x的图像关于的图像关于x x轴对称轴对称, ,所以所以f(x)=-2f(x)=-2x x. .答案：答案：f(x)=-2f(x)=-2x x 【题型示范题型示范】类型一类型一 指数型函数的单调性问题指数型函数的单调性问题【典例典例1 1】(1)(1)函数函数 的单调增区间为的单调增区间为_._.(2)(2014(2)(2014信丰高一检测信丰高一检测) )求函数求函数 的单调区间的单调区间. .问题问题5x 1y22x2x1y( )2【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中若令中若令 则原函数可拆分成哪则原函数可拆分成哪两个函数，根据什么性质来判别它们的单调性？两个函数，根据什么性质来判别它们的单调性？2.2.题题(2)(2)中函数可转化为哪两个基本初等函数的复合？中函数可转化为哪两个基本初等函数的复合？t5x1 ，【探究提示探究提示】1.1.若令若令 此函数可拆分成函数此函数可拆分成函数y=2y=2t t， 可根可根据复合函数的单调性求单调区间据复合函数的单调性求单调区间. .2.2.此函数可拆分成此函数可拆分成 u=xu=x2 2+2x+2x两个基本初等函数，再结两个基本初等函数，再结合复合函数的单调性求解合复合函数的单调性求解. .t5x1 ，t5x1 ，u1y( )2，【自主解答自主解答】(1)(1)令令 则则y=2y=2t t,t0,t0，由由5x-105x-10得得 所以定义域为所以定义域为因为因为 在在 上是增加的，上是增加的，y=2y=2t t在在0 0，+)+)上是增加的，上是增加的，所以所以 在在 上是增加的上是增加的. .答案：答案：t5x1 ，1x5，1 ,).5t5x11)5，5x 1y21)5，1)5，(2)(2)令令u=xu=x2 2+2x+2x，则，则xRxR，由，由u=xu=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1,-1,则则u=xu=x2 2+2x+2x在在(-1,+)(-1,+)上是增加的，在上是增加的，在(-,-1)(-,-1)上是减少的上是减少的. .又因为又因为 在在-1,+)-1,+)上是减少的，上是减少的，根据复合函数的单调性可知根据复合函数的单调性可知 在在(-,-1)(-,-1)上是增加的，在上是增加的，在(-1,+)(-1,+)上是减少的上是减少的. .u1y( )22x2x1y( )2【延伸探究延伸探究】若若 在在(-(-，-1)-1)上是增加的，则上是增加的，则a a的取的取值范围为值范围为_._.【解析解析】令令u=xu=x2 2+2ax+2ax，所以，所以函数函数 在定义域上是减函数在定义域上是减函数. .因为因为u=xu=x2 2+2ax+2ax在在(-,-a)(-,-a)上是减函数，上是减函数，所以所以 在在(-(-，-a)-a)上是增加的上是增加的. .因为因为 在在(-(-，-1)-1)上是增加的，上是增加的，2x2ax1y( )2u1y( )2，u1y( )22x2ax1y( )22x2ax1y( )2所以所以(-(-，-1)-1)(-(-，-a).-a).即即-a-1,-a-1,所以所以a1.a1.答案：答案：(-,1(-,1【方法技巧方法技巧】1.1.指数型复合函数的单调性的求解步骤指数型复合函数的单调性的求解步骤(1)(1)求定义域：依据题意明确研究范围求定义域：依据题意明确研究范围. .(2)(2)拆分：把原函数拆分成几个基本初等函数拆分：把原函数拆分成几个基本初等函数. .(3)(3)定性质：分层逐一求单调性定性质：分层逐一求单调性. .(4)(4)下结论：根据复合函数的单调性法则下结论：根据复合函数的单调性法则, ,即即“同增异减同增异减”, ,得得出原函数的单调性出原函数的单调性. .2.2.形如形如y=ay=af(x)f(x)的函数的单调性的函数的单调性(1)(1)当当a1a1时时, ,函数函数y=ay=af(x)f(x)的单调性与的单调性与f(x)f(x)的单调性相同的单调性相同. .(2)(2)当当0a10a0(a0且且a1).a1).判断判断f(x)f(x)的奇偶性；的奇偶性；讨论讨论f(x)f(x)的单调性；的单调性；当当xx-1,1-1,1时，时，f(x)bf(x)b恒成立，求恒成立，求b b的取值范围的取值范围. .x2a21 xx2af x(aa)a1【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中f(x)f(x)定义域为定义域为R R，如何根据函数，如何根据函数f(x)f(x)为为奇函数求奇函数求a a的值？的值？2.2.题题(2)(2)中由中由f(x)bf(x)b恒成立，可转化为求恒成立，可转化为求f(x)f(x)的最大值，还的最大值，还是最小值？是最小值？【探究提示探究提示】1.1.当奇函数当奇函数f(x)f(x)在在R R上有定义时，可通过上有定义时，可通过f(0)=0f(0)=0求参数的值求参数的值. .2.2.由不等式成立的条件，只需由不等式成立的条件，只需f(x)f(x)的最小值不小于的最小值不小于b b即可，故即可，故可求可求f(x)f(x)的最小值的最小值. .【自主解答自主解答】(1)(1)由题意知由题意知f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，因为因为f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，所以所以f(0)=0f(0)=0，即，即 所以所以a=1.a=1.经验证知符合题意经验证知符合题意. .答案：答案：1 102a021，(2)(2)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，关于原点对称，又因为又因为所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .当当a1a1时，时，a a2 2-10-10，y=ay=ax x为增函数，为增函数，y=ay=a-x-x为减函数，从而为减函数，从而y=ay=ax x-a-a-x-x为增函数，所以为增函数，所以f(x)f(x)为增函数为增函数. .当当0a10a1时，时，a a2 2-10-10a0且且a1a1时，时，f(x)f(x)在定义域内是增函数在定义域内是增函数. . xx2afxaaf xa1 ，由知由知f(x)f(x)在在R R上是增函数，上是增函数，所以在区间所以在区间-1-1，1 1上为增加的，上为增加的，所以所以f(-1)f(x)f(1)f(-1)f(x)f(1)，所以所以f(x)f(x)minmin=f(-1)=f(-1)=所以所以b-1b-1，故，故b b的取值范围为的取值范围为(-,-1(-,-1. .2122aa1 aaa1a1a1a g，【延伸探究延伸探究】本例题本例题(2)(2)中条件不变，求满足中条件不变，求满足f(2m-1)+f(1-m)f(2m-1)+f(1-m)00的的m m的取值范围的取值范围. .【解析解析】由本例题由本例题(2)(2)中知中知y=f(x)y=f(x)是奇函数，且是奇函数，且y=f(x)y=f(x)在在R R上是上是增函数，所以增函数，所以f(2m-1)+f(1-m)0,f(2m-1)+f(1-m)0,即即f(2m-1)-f(1-m)=f(m-1)f(2m-1)-f(1-m)=f(m-1)，所以所以2m-1m-1,2m-1m-1,即即m0.m0.即即m m的取值范围为的取值范围为(0,+).(0,+).【方法技巧方法技巧】1.1.判定函数奇偶性要注意的问题判定函数奇偶性要注意的问题(1)(1)坚持坚持“定义域优先定义域优先”的原则的原则如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数也不是偶函数. .(2)(2)正确利用变形技巧正确利用变形技巧耐心分析耐心分析f(x)f(x)和和f(-x)f(-x)的关系，必要时可利用的关系，必要时可利用f(x)f(x)f(-x)=0f(-x)=0判判定定. .(3)(3)巧用图像的特征巧用图像的特征在解答有图像信息的填空题时，可根据奇函数的图像关于原点在解答有图像信息的填空题时，可根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于对称，偶函数的图像关于y y轴对称，进行快速判定轴对称，进行快速判定. .2.2.函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用(1)(1)图像特征的应用图像特征的应用根据函数的奇偶性，可画出函数在定义域中关于原点对称的区根据函数的奇偶性，可画出函数在定义域中关于原点对称的区间上的图像间上的图像. .(2)(2)奇函数奇函数f(x)f(x)满足满足f(0)=0(f(0)=0(当当0 0属于定义域时属于定义域时) )，偶函数，偶函数f(x)f(x)满满足足f(x)=f(|x|).f(x)=f(|x|).3.3.函数单调性的判定函数单调性的判定(1)(1)解答题中通常利用定义法进行证明解答题中通常利用定义法进行证明. .(2)(2)选择题、填空题中可利用函数图像，也可以利用已知函数选择题、填空题中可利用函数图像，也可以利用已知函数单调性进行分析，例如由单调性进行分析，例如由y=2y=2x x是增函数可知是增函数可知y=2-2y=2-2x x是减函数，是减函数，y=x+2y=x+2x x是增函数等是增函数等. .【变式训练变式训练】(2014(2014桂林高一检测桂林高一检测) )已知函数已知函数 满足满足(1)(1)求常数求常数c c的值的值. .(2)(2)解不等式解不等式 2xccx10 xc,f x21 cx1， 2f x1.829f c.8【解题指南解题指南】确定确定c c的值是关键，注意分段函数的意义及单调的值是关键，注意分段函数的意义及单调性的应用性的应用. .【解析解析】(1)(1)因为因为0 x10 x1，所以，所以0c10c1，所以，所以c c2 2c1a1时，时，f(u)f(u)在在 上是增加的，上是增加的，则则f(x)f(x)在在 上是减少的，在上是减少的，在 上是增加的，上是增加的，所以所以f(x)f(x)minmin= = 解得解得a=16.a=16. 2333g x(x) ,3244，312，332，334，312，332，343f( )a82 ，当当0a10a1时，时，f(u)f(u)在在 上是减少的，上是减少的，则则f(x)f(x)在在 上是增加的，在上是增加的，在 上是减少的，上是减少的，所以所以f(x)f(x)minmin=f(3)=a=f(3)=a3 3=8=8，解得，解得a=2(a=2(舍去舍去) ). .综上得综上得a=16.a=16.答案：答案：1616334，312，332，【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析2 2或或1616忽略了前提条件忽略了前提条件0a1,0a1a1时时y=ay=ag(x)g(x)的单调区间与的单调区间与u=g(x)u=g(x)的单调区间一致的单调区间一致. .当当0a10a1a1和和0a10a0a0且且a1)a1)在在区间区间 上有上有y ymaxmax=3,y=3,yminmin= = 则则a,ba,b的值分别为的值分别为_._.【解析解析】令令t=xt=x2 2+2x+2x，因为，因为x ,x ,所以所以t=xt=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1-1的的值域为值域为-1,0-1,0，即，即tt-1,0-1,0，若若a1a1，函数，函数y=ay=at t在在R R上是增加的，所以上是增加的，所以,a,at t 则则 所以，所以，2x2xyba3,0252，3,021 ,1a，2x2xba1b,b1a ，15a2,b,a2b2b13 ，若若0a10a1，函数，函数y=ay=at t在在R R上是减少的，所以上是减少的，所以a at t 则则所以所以 所以所以a,ba,b的值为的值为 或或答案：答案： 或或a=2,b=2a=2,b=211,a，2x2x1bab1,b,a12b3,a,a353b1b,22 2a,33b2a2,b2.23a,b32
展开阅读全文