数值分析报告试的题目及问题详解51093

数值分析试题一、填空题(2 0X 2)1. 322 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，贝U x有_2A = |, X = |-2 一 -3位有效数字。2. 若 f(x)=x7 x3 + 1 , J贝 f2,21,22,23,24,25,26,27=_J,f20,21,22,23,24,25,26,27,28=0。3. 设,ll A II 乂=, _5,| X | 乂=_3,II AX |15 _。4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足I：)1 1，计算时不会放大 f(xi)的误差。8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 一|f(xn+1)|014. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（10XT）1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX= b一定可以使用高斯消元法求解。（X ）2、 解非线性方程f（x）=O的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。（）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式nan L a-ij（i = 1,2,., n）j丄则解线性方程组AX= b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。（X ）4、样条插值一种分段插值。（）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。（）7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX= bo（ X ）8迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。（X ）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差二舍入误差。（）10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（X ）三、计算题（5X 10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。Xi - X2 + X3 = -45 Xt - 4 x2 3x3- -122Xt + x2 + x3 =11解答:（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行:5x14x2 + 3x3 = -12x1X 2*X 3=42xx2 x3 = 11L2i=1/5=0.2,l3i=2/5=0.4 方程化为:5Xt -4x23x3 二-12- 0.2 x20.4 x3 - -1 .62.6 x2 - 0.2 x3 = 15 .8(-022.6)最大元在第三行，交换第二与第三行:5x1 4x2 + 3x3 = -122.6 x2 - 0.2 x3 = 15 .8 0.2x2 + 0.4 x3 = -1.6L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化为:5 Xt - 4 x2 + 3 x3 = -12 2.6 x2 - 0.2 x3 = 15 .80.38462 x3 = -0.38466回代得：o nnnnKX1 = 3.00005x2 二 5.99999i x3 = -1.000102、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。Xi012f(Xi)1-13f (Xi)15解答:做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代 法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。2X1 x2 +X4=1Xr-X3 十 5x4=6x2 亠 4X3 - x4=8- Xi 亠 3X2 - x 3二 3解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：2X1 X 2+X4=1-x 1 3 x - x 3 3|x 2 4 x x 8|xi -乂3亠5乂4=6雅克比迭代公式：2xr x2 +x4=1-Xi h3x - x 3 3|x 24 x 3 - x4 = 8|xr x3 5x4=6计算机数学基础(2)数值分析试题一、单项选择题(每小题3分，共15分)s1.已知准确值 x*与其有t位有效数字的近似值x= 0.0aia2anx 10 (aiO)的绝对误差x () s 1 ts ts+ 1 ts+ t(A) 0.5 X 10(B) 0.5 X 10(C) 0.5 X 10(D) 0.5 X 102.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()12-100-12_10(A)0-12-100-12-52-10 1142-1(C)214100123.过(0,-5214(B)1 10 0(D)41 01 0411 2211410-1413151), (2, 4), (3, 1)点的分段线性插值函数P(x)=(3x 1(A)2_3x 100 E x 岂 22 : x _3工3x - 1(B) p2_3x +103x -10乞x乞2(C)2-3x102 ：: x 乞 33x 10乞x乞2(D)2-x 42 ：: x _ 34. 等距二点的求导公式是(f(A) *f” 1(xk)( -yk yk 1)h, 1(Xk 1)(yk - yk 1)h(B)” 1f (xk)(yk - yk 1)h. 1f (Xk J (yyk 1)hf(C) *f(D)那么yp,yc分别为()yp =yk +hf (xk yJ (A) yc 二 yk hf (xk 1, yJIp =yk + f(xk，yj(C) c = yk 十 f (Xk, yp)二、填空题(每小题3分，共y p = yk +hf (xk + , yk)(B)丿yc = yk +hf (Xk , y p)Jp = yk +hf (xk, yk)(D) yc = yk 十 hf (Xk+, y p)15分)” 1(Xk ) = (y k yk 1) h, 1(xk 1)(yk 1 - yk)h5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是1yk 1(yp yc)26. 设近似值 xi,X2满足(x=0.05 , (X2)=0.005，那么(xiX2)=.7. 三次样条函数 S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间x&xk+i上是.bnn8. 牛顿一科茨求积公式f(x)dx：、v Akf(xQ，则a Ak =.“kk _09. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是预报值： y k=y k hf (x k y k)，校正值： yk+1 =.三、计算题(每小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组I3 x 2+ 2 X3=20 4 x1+ 11 X2 + *=336 X1+ 3 x2+ 12 X3=36的X.取初始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数.12. 已知函数值 f(0)=6 , f(1)=10 , f(3)=46 , f(4)=82 , f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差 f(4, 1 , 3).13. 将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分 3 .1 x2dx，计算过程保留4位小数.$114. 用牛顿法求 J15的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题10分)15. 证明求常微分方程初值问题=f (x, y)、y(Xo) = y在等距节点a=xx1Xn=b处的数值解近似值的梯形公式为hy(Xk+1):、yk+1=yk+ f(xk,yk)+f(Xk+1,yk+1)2其中 h=Xk+1 - Xk(k=0,1,2,n 1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)I. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空题(每小题3分，共15分)6. 0.05 X2 +0.005 X17.3 次多项式8. b- a 9. (x) -r110. yk+ f (xk , yk ) - f ( xk d, y k d) hf(xk+1, y k 1)2三、计算题(每小题15分，共60分)II. 写出迭代格式( k qL x1(k)= 0 +0.375 x20.(k )25x3+2.5(k半(k )(k )弋X2=0.363 6 x 1+0+ 0.090 9X3+ 3(k半(k )(k)X3=0.5x1 0 .25X2+ 0+3(0)Tx()=(o,o,o).-(1)x10 - 0.3750 -0.2502.5= 2.5(1)x2- 一0.363 60 - 00.090 90 潜3 = 3(1)x3- -0.50 -0.250 0 川3 二 3I得到 X(1) = (2.5 , 3, 3)T严(2)x1=0 +0.375 X 3 _0.25 X 3 + 2.5 = 2.875(2)x20.363 62.5 0 0.090 93 3 二 2.363 7(2)x3= -0.52.5 -0.25303 = 1 .000 0L得到 X=(2.875 , 2.363 7, 1.000 0)T；(3)x100.3752.363 7 -0.2512.5 = 3.136 4x； 3 二-0.363 62.8750 0.090 91 3 = 2.045 6(3)x3- -0.52.875 - 0.252.363 703 = 0.971 6I得到 X=(3.136 4 , 2.045 6, 0.971 6)12. 计算均差列给出.xkf(Xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1,3)=613. f(x)= 1 x22,h=0.258分点 X0=1.0 , X1=1.25 , X2=1.5 , X3=1.75 , X4=2.0 , xs=2.25, X6=2.50 ,X7=2.75, X8=3.0.函数值：f(1.0)=1.414 2 , f(1.25)=1.600 8 , f(1.5)=1.802 8 , f(1.75)=2.015 6 , f(2.0)=2.236 1 , f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3 .3hf(x)dx f(X0) - f (X8)12 2(f (X1 ) f (X2 ) - f (x3) - f (x4) - f (x5) - f (x6) - f (x7 )(9 分)0.25= X 1.414 2+3.162 3+2 X (1.600 8+1.802 8+2.015 6 2+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 X (4.576 5+2 X 15.736 3)=4.506 114. 设x为所求，即求x2- 115=0的正根.f(x)=x2- 115.因为 f(x)=2x, f (x)=2 , f(10)f (10)=(100 - 115)X 20 取 xo=11 .有迭代公式2f (Xk)Xk 115 Xk 115Xk+1=Xk = Xk(k=0,1,2,)f (Xk)2Xk2 2Xk11115X1= 10.727 32 2 1110.727 3115X2= 10.723 822 X10 .727 310 .723 8115X3= 10.723 822 X10 .723 8x* 10.723 8四、证明题(本题10分)15. 在子区间Xk+1,Xk上，对微分方程两边关于x积分，得Xk 1y(Xk+1) y(Xk)=f(x,y(x)dx用求积梯形公式，有hy(xk+1) y(xk)= f (Xk, y(Xk) - f (Xk .1, y(Xk 1)2将 y(Xk),y(Xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+1) ： yk+1=yk+ f(Xk,yk)+f(Xk+1,yk+1)( k=0,1,2,n 1)2数值分析期末试题、填空题(2 汉10 =20分)15-21(1)设 A =-210，则|a_ =13。138242 x 15 x2=1-02.5(2)对于方程组丿,Jacobi迭代法的迭代矩阵是B j =10 x14 x 2=32.50 一(3)翠x *的相对误差约是x *的相对误差的-倍。3(4)(5)设 f ( x) = xx -1，则差商 f0,1,2,3 =1。(6)设n n矩阵G的特征值是n，则矩阵G的谱半径Gm-n(7)21，则条件数Cond ：( A)工 9X _ f ( x )1 f(Xn)求方程X = f ( X )根的牛顿迭代公式是xn J - xn nn 。(8)为了提咼数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln( x j7x 1 )改写为ln( x亠，x亠1 )。(9) n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n _ 1次。31(10)拟合三点(X1 , f (X1) , ( X 2, f ( X 2) , (X3 , f ( X3)的水平直线是 y = f(Xi)。3 i_!二、(10分)证明：方程组x3 = 1使用Jacobi迭代法求解不收敛性。x1 x2证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为0-10.5-0.5-10.50.5Bj的特征多项式为-0.50.5det( I - B j)二= ( 21.25)-0.5-0.5Bj的特征值为1=0，2,- -1.25 i，故 T(Bj)=目1.25 1,因而迭代法不收敛性。三、(10分)定义内积1(f , g)二 o f (x)g( x)dx试在H丄=SpanH, x匚中寻求对于f ( x) = - x的最佳平方逼近元素P(x)。l(x)三 x ,1(%,%)= dx1 1 1xdx, ( ： , ) x 2dx2L=；，宀,f 法方程C0解得c0IL2j15，C112。所求的最佳平方逼近元素为15P(X)412x，0空x空11515四、（10分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解：y(x)二 c0c1 x c2 x 2刁-24-8 _50100 11-11-1T0100341000A A =10034011110340130J248 一3T=(2.9,4.2,7,14 .4)TC3XA 二法方程TA Ac = A的解为 c0 = 0.4086， c1 =0.39167，C2=0.0857，c 3 = 0.00833得到三次多项式y(x)二 0.408620.39167 x 0.0857 x 0.00833误差平方和为；3 =0.000194(4 ).f (x五. （10分）依据如下函数值表x0124f (x)19233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f（2.2），并在假设估计计算误差解:先计算插值基函数(x-1)( x-2)( x-4)137 27l。（X）二xx_ X 亠 1(0-1)(0-2)(0-4)884(x-0)( x-2)( x-4)1328l1(x)二一x -2 xx(1-0)(1-2)(1-4)33(x-0)( x-1)( x-4)135 2l2 ( x)二xxx(2-0)(2-1)( 2-4)44(x-0)( x-1)( x-2)131 21l3 (x)二xxx(4-0)(4-1)(4-2)24812所求Lagrange插值多项式为1134521xxx 1442从而3L3(x)工為 f (Xi)li(x) = l(x) 9li(x)23l2(x)3J(x)i _0f (2.2) :- L 3 (2.2) = 25 .0 6 8。据误差公式 R3（x） =（x x）（x xi）（x x2）（x x3）及假设 f （x）#1 得误差 4!R3（X）估计:=0 .039612.2 _ 0)( 2.2 _ 1)( 2.2 _ 2 )(2.2 _ 4)兰一X 0.9504 4!六. （10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组0121I01一01 00 11 20 1l21l31l 32J41l421020U 22U 23U 241U 33U 3443JU44由矩阵乘法可求出u ij和l ij213132解下三角方程组l41424312223332434u441y2y3_115170ly3 = 6 ,4 = 4。再解上三角方程组1 0 21 02得原方程组的解为(4)1 12 二(一87XX36+ 6X124 一-r)exXX 1 1， X 2 1， X3= 2，七. （10分）试用Simpson公式计算积分12 的近似值,解：1宀并估计截断误差。1 1 12 2 _1e % dx ：(e 4e 1.5e 2 ) = 2.02631 6(4)(4)max f (x) = f (1) = 198 .431 空截断误差为R25(2 _1)2880max1 x空(4 )(X)=0 .06890x x八. （10分）用Newton法求方程X _ln x = 2在区间（2严）内的根,要求 凹 10。kk解：此方程在区间（2,：）内只有一个根s，而且在区间（2, 4）内。设f（x） = x In x21f(x)则f ( x) = 1 _，xNewton法迭代公式为xk -In xk 211 -XkXk(1 In Xk )x k - 1k = 0,1,2,取 x0 =3，得 s ： x4 = 3.146193221九. （10分）给定数表x-1012f (x)10141615f (x)10.1求次数不高于5的多项式H 5（x），使其满足条件H 5（xJ = f （xj i =0,1, 2,3H 5区）=f g ）, i = 0, 2 其中 xi - J i, i =0, 1, 2,3。解：先建立满足条件P3（ X） = f （xj， i = 0,1,2,3的三次插值多项式P3（x）。采用Newton插值多项式P3 （ X）二 f（X。） f Lx。，X1(x 7。) fX - x)(xX+X 2 , X 3XX)(X -X1)(X - X2)1=104( x 1)(x 1)x (x 1)x(x-1)61921=14 : x xx6 6再设 H 5 ( x ) = p3 ( x )(ax b)( x 1)x( -1)( - 2)，由”H 5(-1) = P3(1) +(a +b)( _6) =1H 5(1)= P3(1) +(a +b)( 2) =0.111-a 亠 b =817a 亠 b =60解得 a = - -5 , b360故所求的插值多项式16136019H 5 ( x) = 14x61(1613602-59 x) x( x -1)( x -2)