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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:,设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量,M,.,其中,表示,n,小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,定义:,设,为光滑曲面,“乘积,和式极限”,都存在,的,曲面积分,其中,f,(,x,y,z,),叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f,(,x,y,z,),是定义在,上的一,个有界,函数,记作,或,第一类曲面积分,.,若对,做,任意分割,和局部区域,任意取点,则称此极限为函数,f,(,x,y,z,),在曲面,上,对面积,函数,叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面,上连续,对面积,的曲面积分与,对弧长,的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若,是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理:,设有光滑曲面,f,(,x,y,z,),在,上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则,曲面积分,说明:,可有类似的公式.,如果曲面方程为,例1.,计算曲面积分,其中,是球面,被平面,截出的顶部.,解:,next,思考,:,若,是球面,被平行平面,z,=,h,截,出的上下两部分,则,例,2.,计算,其中,是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:,设,上的部分,则,与,原式=,分别表示,在平面,例,3.,设,计算,解:,锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在,xoy,面上的,投影域为,则,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),思考与练习,P219,题,3,；,4(1);7,解答提示,:,P219,题,3.,设,则,P246 题2,P219,题,4(1).,在,xoy,面上的投影域为,这是,的面积,!,P219,题,7.,如图所示,有,P246,题,2.,设,一卦限中的部分,则有,().,Ex1:,1.,已知曲面壳,求此曲面壳在平面,z1,以上部分,的,的面密度,质量,M.,解:,在,xoy,面上的投影为,故,