资源描述
一、单项选择题（每小题3分，共15分）和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3B .3和2C . 3 和 4D .4和42121fx dxf 1Af()-f(2)2.已知求积公式1636，则 A =()1112A .6 B .3C .2D .33.通过点Xo, yx1,y1的拉格朗日插值基函数lo x ,h x满足（B.1o X = 0, 11 XC.1o xo1,11 X11o xo4.设求方程f x o的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速A .超线性 B .平方 C.线性D .三次为2x2x3o2x1 2x2 3x335.用列主元消元法解线性方程组x- 3x22作第一次消元后得到的第3个方程（）AX2X322x2 1.5x33.5C2 x2x33D x2 o.5x31.5单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1.设 X (2,3, 4)：则 |X 11IIX |22. 一阶均差f Xo,Xl3.已知n3时，科茨系数Co38，C1333C28，那么C334.因为方程 内有根。0在区间1,2上满足，所以f x 0在区间5.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题_y_2x1 1的计算公式1.已知函数1210 50 2三、计算题（每题15分，共60 分）121 x的一组数据:f 15段线性插值函数，并计算 f的近似值.填空题答案f x0f人1.9和、.292.X。x13.84.f 1 f2 00.1yk1 yk1.121 0.1k,k 0,1,2L5.yo1得 分评卷人计算题1.答案1.0,1%x 汙 1 汗。5 1 O5Xx 1,2%x0.50.20.3x 0.8所以分段线性插值函数为n/ 1 0.5x x 0,1 %x0.8 0.3x x 1,2%1.50.8 0.3 1.50.3510x1 x2 2x37.2x 10x2 2x38.32.已知线性方程组为x2 5x3 4.2(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;对于初始值X00,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公、夕1式分别计算X(保留小数点后五位数字)计算题2.答案1. 解原方程组同解变形为x10.1x20.2x3 0.72x20.1为 0.2x3 0.83x30.2人 0.2x20.84x2m 10.1x0.2x3m0.83X3m10.2x0.2X2“ 0.84 g 0,1.)高斯-塞德尔迭代法公式m 1X10.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m 10.2x3m0.83m 1X30.2x1m 10.2x2m184 (m 0,1.)X 1用雅可比迭代公式得入0.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯-塞德尔迭代公式得1X0.720 00,0.902 00,1.164 403用牛顿法求方程x3 3x 10在1,2之间的近似根(1 )请指出为什么初值应取2?(2 )请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3.解 f Xx3 3x3x212x24 0，故取x 2作初始值迭代公式为xnXn1Xn 1Xn13Xn 1x0X2X1X3方程的根XXn 12 33322 13xn 13xn 11.888890.00944 0.00011.879453 131.87 9 452 11.87939X21.87939吟1 )3 Xi 112 1.888893X2n 1,2,1一 1.879451.888892 10.00006 0.00014.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分计算题4.答案得 分评卷人四、证明题（本题 10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度bf解梯形公式ax dx应用梯形公式得1 1dx01 x1 12r_o彳.75bf辛卜生公式为ax dx4f(a-b) f b 2应用辛卜生公式得dx01 xi oT【f4f(!6/o1112536hf x dx A1 f h Aof 0Ai f hh证明题答案2证明：求积公式中含有三个待定系数，即A1,A0,A，将f X 1,x,x分别代入求积公式,并令其左右相等，得A1 A A2hh(A1A)0h2(A1A)2 3 h33A 得1 A1 u八 4hhA03 ，3。所求公式至少有两次代数精确度。又由于h x3dxhh3dxh4x dx-f 0h具有三次代数精确度。填空(共20分，每题2 分)1. 设X殳3149541，取5位有效数字，则所得的近似值x=f XX22. 设一阶差商fX2，X3f X3f x2则二阶差商X3X2为，X2,X33. 设 X(2, 3, 1)T,则 Mb _，|X|_。X014. 求方程x2x1-250的近似根，用迭代公式x x1-25，取初始值那么X1 y f(x,y)5解初始值问题y(Xo) y近似解的梯形公式是yk 1 1 1A6、5 1 ，则A的谱半径厂 =7、设f (x) 3x2 5, Xkkh, k 0,1,2, 则Xi , X n 1, Xn 2fXn , Xn 1, Xn 2 , Xn 38、若线性代数方程组 AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞德尔迭代都。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为y 1010、为了使计算2(x 1)23（X的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写成填空题答案1、2.31502、3、4、5、6、7、10、fX1,X2,X3fX2,X3f26和141.5hyk 2 f Xk,yk(A)6f Xn,Xn 1, Xn 2y 101x 1X3X1f Xk 1,yk 13, f xn , Xn 1, Xn 2 , Xn(x11)2(x31)5-32n116收敛9、 h、计算题（共75分，每题15 分）（1）试求x03 一 2XX11- 49-41 94 4上的三次Hermite插值多项式X使满足H(Xj) f(Xj), j 0,1,2,. H (xj f (xj以升幂形式给出（2）写出余项R（x） f（x） H（x）的表达式计算题1.答案143263 22331x x x x 1,( 1)225450450251 94!1652(x29x 1) (x 4)，(x)4,4)个收敛的2 已知“対的妙满足一耳试问如何利用吩）构造 简单迭代函数 ? -，使0, 1收敛?计算题2.答案12、由 x (x)，可得 x 3x (x) 3x, x 2( (x) 3x)(x)因（X）2(x) 3),故(x)2(“ -3I 寸 1故xk 1(xk)1 (xk) 3Xk , k=0,1,.收敛。23. 试确定常数A, B, C和a,使得数值积分公式匸了如曲型（一十型 +03）Gauss 型有尽可能高的代数精度。 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 的？计算题3.答案3、10 16,B ,a 5 ,该数值求积公式具有5次代数精确度，它是 Gauss型的y f(x,y)4. 推导常微分方程的初值问题y(Xo) %的数值解公式:h yn 1 yn 13(yn 1 4n Yn 1)(提示：利用Simpson求积公式。) 计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程f (x)在区间人1,xn 1上积分,xn 1y(xn得1)y(Xn1)f (x, y(x)dx，记步长为h,xn 1对积分X,X,f (x,y(x)dx用Simpson求积公式得xn 1f (x,y(x)dxxn 12hh Tf(xn1) 4恨)g)3(yn1山所以得数值解公式:hyn1 yn1 3(yn1X12x23x3142x-i5x22X3185.利用矩阵的LU分解法解方程组 3x1x5X320计算题5.答案1123ALU21145、解：35 124令Lyb得y(14,10, 72)t,Uxy 得 x (1,2,3)t三、证明题 (5分)1设71 ，证明解 小一：的Newt on迭代公式是线性收敛的证明题答案1、证明：因Xn 1 X,f(x) (X3f(Xn) ,nf (Xn)(Xn a)厂3a)2,故 f (x) 6x2(x0,1,得5xna 一,n 6x；（x3 a） 66Xn5 a因迭达函数（x） 5x a2,而6 6x又x 百则（诟）-a（ya）:63故此迭达公式是线性收敛的。Xn 1 X,0,1,.(X)5613a）,由Newton迭达公式：a 33X ,1 0,2一、填空题（20分）（1）.设X* 2.40315是真值x 2.40194的近似值，则x*有位有效数字。（2）.对 f（x） x3 x 1,差商 fl。,1,2,3】（）。（3）.设 X（2, 3,7）t,则 |X|1_。nC（n）（4）.牛顿一柯特斯求积公式的系数和k0 。填空题答案（1）3（ 2）1（ 3）7（ 4）1二、计算题1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin 0.34的值。 插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40, 0.3894）。计算题1.答案(xXi)(XX2)(XXo)(XX2) (xXo)(xxjL2(X) fo fl (XoXi)(XoX2)(XiXo)(XiX2)(X2Xo)(X2Xi)1) =0.33333632）. （15分）用二分法求方程f（x）x x 1 0在口.0,1区间内的一个2根，误差限 10。计算题2.答案N 6X1 1.25X2 1.375X3 1.31252) x41.34375 x51.328125 程 1.32031254x1 2x2 x311X1 4x2 2x3183) .( 15分)用高斯-塞德尔方法解方程组2x1 X2 5X3 22，取x(0) (0,0,0)T，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案3）迭代公式x1k1)!(11 2x2k) x3k)4(k3x2k 1)1(18 x1k 1) 2x3k)41)k疔）000012.753.81252.537520.209383 17853.680530240432.5SS73.18394）.（ 15分）求系数A1，A2和民，使求积公式2的一切多项式都精确成立11f(x)dx Af( 1) A2f() A3f ()对于次数33计算题4.答案精彩文档1111 2A1 A2A32A3A23A30 A9A3-9313A2A0A24)3x12X210X31510x14x2X355).(10分)对方程组2x110X24X38试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10务 4x2 x352x110x2 4x383x1 2x2 10x315故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为xj (4x2k) x3k)5)10x2k 1)1( 2x1k 1)4x3k)8)10x3k。丄(3才 “ 2x2k1)15)10取x()(0,0,0)T，经7步迭代可得：x*x(7) (0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T三、简答题1)(5分)在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为什么？2） （5分）先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它、填空题（20分）1.若a=2.42315是2.42247的近似值，贝U a有（）位有效数字.2. 2 3 lo（x）, li（x）, ,ln（x）是以o,1，,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则nili（x）i 0（）.3.设f （x）可微，贝U求方程x f（x）的牛顿迭代格式是（）.（k 1）（k）4.迭代公式X BX f收敛的充要条件是 5.解线性方程组Ax=b （其中A非奇异，b不为0）的迭代格式x9x1 x28（k1） Bx（k）中的B称为（）.给定方程组x1 5x24，解此方程组的雅可比迭代格式为（）。填空题答案Xn f(xn)4.(B) 15.迭代矩阵,得 分评卷人k 1%1評x2k)k 1X215(4x1k)、判断题（共10 分）1. 若 f(a)f(b)0，则 f(x) 0 在(a,b)内一定有根。()2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。()3. 若方阵A的谱半径(A) 1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。()n4. 若f (x)与g (x)都是n次多项式，且在n+1个互异点Xii 0上f (xj g(Xi)，贝y f (x) g(x)。()1 2x xx5.2 近似表示e产生舍入误差判断题答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分评卷人三、计算题(70分)1. (10分)已知f(0) = 1, f(3)= 2.4，f=5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(X)=()，f0,3,4=(),插值多项式P2(x)=(计算题1.答案),用三点式求得f (4)().由插值公式可求得它们分别为:3x(x 勺,17x 7x(x 3),和 20315126(2)2x 3 3x 1.2,(x)(3x1.2) maxx (0,2)1(x)121.231, xn 13 3xn 1.2收敛f (x)3x2 3,xn 1xn(3)x3 3x 1.23x； 31) 求方程的一个含正根的区间;2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3) 给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案.(1) f()1.20 , f(2)1.80又f (x)连续故在(0,2)内有一个正根13.( 15分)确定求积公式1f(x)dx Af( 0.5) Bf(x1)Cf(0.5)的待定参数, 使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案.假设公式对f (x)1,x,x2 ,x3精确成立则有0.5A Bx10.5C020.25ABx20.25C30.125ABx；0.125C0A Cif (x)dx求积公式为2f (0) 4f (0.5),当f (x) x4时,2 1 、左边-右边-左边右边 代数精度为356y 3x 2y 0 x 14. ( 15分)设初值问题y()1.(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4答案4.(1) yn 1yn 0.1(3xn2yn)0.3xn1.2yn0.2 yn 1 yn(3xn22yn)3(Xn0.2) 2yn 1=yn0.1(6Xn 2yn2yn10.6)333yn 1_ ynXn24403336333迭达得y11.575, y22.5852402404 0.2405.（ 15分）取节点X。0, Xl 0.5, X21，求函数y e X在区间0，1上的二次插值多项式P2（x），并估计误差。计算题5.答案0.5P2(x)0.51(x00)10.50.5/e e e 110.50.50(x 0)( x 0.5)1 00.5=1+2(e1)x2(e12e 0.5Xye ,M3IImax y1x 0,11)x(x0.5)p2(x) f ( ) x(x 0.5)(x1)3!0 x 竹寸 F P2(x)| lx(x 0.5)(x1)l、填空题（每题4分，共20分）1、数值计算中主要研究的误差有 和2、设lj(x)(j 0,1,2L n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则Ij(Xi)(i, j0,1,2L n)；7lj(x)j 03、设lj(x)(j0,1,2L n)是区间a，b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数 Aj ;且nAjj 04、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式 为。25、f(x) x 1,则 f1,2,3, f1,2,3,4填空题答案1.相对误差绝对误差1, ij,2. 0, ij3.至少是nbk(x)dxb-a4. 3b a (b180 (5. 10二、计算题1、已知函数y f(x)的相关数据201230123X =怎）139273 p 1由牛顿插值公式求三次插值多项式 p5（x），并计算3 P（2）的近似值计算题i答案4 3P3(x) N3(x)3x33P3(1) 4(1)323 22x22(2)28 彳x 1,38 1 ()123 2解：差商表IfMf【心鬲zlf 兀n 41)Aj+2 卞he .a01132229623327864口由牛顿插值公式:2、（ 10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长 h OH，yy x 1,x (0,0.6)y(0)1.计算题2.答案f (x, y) y x 1, yo1,h 0.1,yn 1yn 0.1(Xn 1 Yn),(门 0,1,2,3,L)yo 1,yk 1.000000;1.000000;1.010000;1.029000; 解：1.056100;1.090490;1.131441.3、( 15分)确定求积公式f (x)dx A0f ( h) A1f (0) A/(h)中待定参数Ai的值（i Q1,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积 公式的代数精度。计算题3.答案解：分别将f（x）hx，代入求积公式，可得A0A21 h, A,4h33 。令f（x） x时求积公式成立，而f（x）X4时公式不成立，从而精度为34、（ 15分）已知一组试验数据如下 ：123454456885求它的拟合曲线（直线）计算题4答案5a15b 31解：设y a bx则可得15a55b105.5于是 a 2.45, b25，即 y2.45 1.25x035、（ 15分）用二分法求方程f（x） x x 1在区间口，1内的根时，若要求精 确到小数点后二位，（1）需要二分几次；（2）给出满足要求的近似根。计算题5.答案解: 6 次; x* 1.322x13x24x36,3x15x22x35,6（ 15分）用列主元消去法解线性方程组4x13x230x332计算题6答案234643 30 324 3 3032352535 253 52543303223 462 346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/114330320118238解：00124x3x230X332,X113,11x282x338,X28,X32.X32.2.xXn 1 Xn3.1 f (xn)
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