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理数课标版第三节二项式定理1.二项式定理二项式定理教材研读教材研读二项式定理(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*)二项式系数二项展开式中各项的二项式系数:(r=0,1,n)二项展开式的通项Tr+1=an-rbr,它表示第(r+1)项0nC1nCrnCnnCCrnCrn2.二项式系数的性质二项式系数的性质1.已知展开式的第4项等于5,则x等于()A.B.-C.7D.-7答案答案 B由T4=x4=5得x=-,故选B.71xx171737C31x172.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,则a8=()A.180B.-180C.45D.-45答案答案A由题意得a8=22(-1)8=180,故选A.810C3.二项式的展开式中常数项是()A.240B.60C.192D.180答案答案 ATr+1=(2x)6-r=26-rx6-3r,令6-3r=0,解得r=2,常数项是24=24=240.6212xx6Cr21rx6Cr26C6 524.(2016天津,10,5分)的展开式中x7的系数为.(用数字作答)答案答案-56解析解析Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3=-56.821xx8Cr8Cr38C5.在的展开式中,x2的系数是,各项系数之和为.(用数字作答)答案答案10;243解析解析 x2的系数为2=10;令x=1,得各项系数之和为(1+2)5=243.522xx15C考点一二项展开式中的特定项和特定项的系数考点一二项展开式中的特定项和特定项的系数考点突破考点突破典例典例1(1)(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=;(2)若a=sinxdx,则二项式的展开式中常数项是;(3)的展开式中的有理项共有项.答案答案(1)-2(2)-160(3)3解析解析(1)Tr+1=a5-r,令10-r=5,解之得r=2,所以a3=-80,解得a=-2.521axx061a xx8412xx5Cr5102rx5225C(2)a=sinxdx=(-cosx)=-cos+cos0=2,00二项式的展开式的通项为Tr+1=(2)6-r=(-1)r26-rx3-r.令3-r=0,得r=3,故展开式中常数项为T4=(-1)326-3=-160.(3)的展开式的通项为Tr+1=()8-r=(r=0,1,2,8),为使Tr+1为有理项,r必须是4的整数倍,所以r=0,4,8,故共有3个有理项,分别是T1=x4=x4,T5=x=x,T9=x-2=.612 xx6Crx1rx6Cr36C8412xx8Crx412rx12r8Cr16 34rx01208C41248C35881288C21256x易错警示易错警示应用通项公式要注意五点:(1)Tr+1=an-rbr表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)关于二项式(a-b)n展开式的通项公式,要特别注意符号问题.1-1 (2014湖南,4,5分)的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20答案答案 A展开式的通项为Tk+1=(-2y)k=(-1)k22k-5x5-kyk,令5-k=2,得k=3.Crn5122xy5Ck512kx5Ck则展开式中x2y3的系数为(-1)3223-5=-20,故选A.35C1-2在的展开式中,若常数项为60,则n等于()A.3B.6C.9D.12答案答案 B通项Tr+1=()n-r=2r.令=0,得r=,展开式中的常数项为.若n=3,则=660,排除A,同理,将n=6,9,12代入一一验证,得n=6.故选B.2nxxCrnx2rxCrn32nrx32nr3n32n3Cnn32n3Cnn33213C1-3(2016广东广州模拟)在的展开式中,x的非负整数次幂的个数为.答案答案2解析解析展开式的通项为Tr+1=(-1)r()15-r=(-1)r2r(r=0,1,15),由题意知5-r为非负整数,解得r=0或6,符合要求的项的个数为2.1532xx15Cr3x2rx15Cr556rx56考点二二项式系数的问题与各项系数和的问题考点二二项式系数的问题与各项系数和的问题典例典例2(1)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8(2)若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4=.答案答案(1)B(2)0解析解析(1)由题意得a=,b=,则13=7,=,=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解,故选B.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1;令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.2Cmm21Cmm2Cmm21Cmm13 (2 )!mm m7 (21)! (1)!mmm7(21)1mm规律总结规律总结(1)对形如(ax+b)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.(2)对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(3)一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n展开式中各项的系数的和为g(1),(a+bx)n展开式中奇数项的系数和为g(1)+g(-1),(a+bx)n展开式中偶数项的系数和为g(1)-g(-1).1212变式变式2-1在本例(2)的条件下,求a0+a2+a4的值.解析解析在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=81,+并化简,得a0+a2+a4=41.变式变式2-2在本例(2)的条件下,求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值.解析解析利用二项展开式的通项公式可知a1,a30.在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=0,得a0=1.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=(1+2)4=81.|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=80.变式变式2-3在本例(2)的条件下,求+的值.12a222a332a442a解析解析在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=,则左边=0=右边=a0+.令x=0,得a0=1,+=-1.1212a222a332a442a12a222a332a442a考点三多项式的展开式中的特定项系数问题考点三多项式的展开式中的特定项系数问题命题角度一几个二项式和的展开式中的特定项系数问题命题角度一几个二项式和的展开式中的特定项系数问题典例典例3+的展开式中的常数项为()A.32B.34C.36D.38答案答案 D432xx81xx解析解析 的展开式的通项为Tk+1=(x3)4-k=(-2)kx12-4k,令12-4k=0,解得k=3,的展开式的通项为Tr+1=x8-r=x8-2r,令8-2r=0,得r=4,所以所求展开式中的常数项为(-2)3+=38.432xx4Ck2kx4Ck81xx8Cr1rx8Cr34C48C命题角度二几个二项式积的展开式中的特定项系数问题命题角度二几个二项式积的展开式中的特定项系数问题典例典例4(1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1(2)(2015课标,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.答案答案(1)D(2)3解析解析(1)由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中相应x2的系数为,当r=1时,(1+ax)(1+x)5的展开式中相应x2的系数为a,所以+a=5,即a=-1,故选D.5Cr25C15C25C15C(2)设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式中所有项的系数和为f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,奇数次幂项的系数和为f(1)-f(-1),12又f(-1)=0,(a+1)16=32,a=3.12命题角度三三项展开式中特定项系数问题命题角度三三项展开式中特定项系数问题典例典例5(1)(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和为(结果化成最简形式).答案答案(1)C(2)-1024解析解析(1)(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故选C.25C25C13C(2)(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1-5y)5的展开式的各项系数和,在(1-5y)5中,令y=1,得其展开式的各项系数和为(-4)5=-1024,所以(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和为-1024.规律总结规律总结(1)对于几个二项式和的展开式中的特定项系数问题,只需依据二项展开式的通项,从相应各项中分别得到所含的特定项的系数,再求和即可.(2)对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.(3)对于三项展开式中的特定项系数问题,可通过配方或适当分组,转化为二项展开式问题求解.3-1在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121答案答案D展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.35C36C37C38C3-2如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4的项的系数为.答案答案-5解析解析(1+x+x2)(x-a)5的展开式中所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,a=1.(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4的项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.34C04C3-3(x2-x+1)10的展开式中含x3的项的系数为.答案答案-210解析解析由题意,(x2-x+1)10=x(x-1)+110=x(x-1)0110+x(x-1)119+x(x-1)218+x(x-1)317+x(x-1)1010=+x(x-1)+x2(x-1)2+x3(x-1)3+x10(x-1)10,010C110C210C310C1010C010C110C210C310C1010C因为x3出现在x2(x-1)2+x3(x-1)3=x2(x2-2x+1)+x3(x3-3x2+3x-1)中,所以x3的系数为(-2)+(-1)=-90-120=-210.210C310C210C310C210C310C
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