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基础诊断基础诊断考点突破考点突破第6讲对数与对数函数基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破知 识 梳 理1对数的概念一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作 .其中a叫作对数的底数，N叫作真数logaNb基础诊断基础诊断考点突破考点突破NlogaMlogaNlogaMlogaNnlogaM基础诊断基础诊断考点突破考点突破logad基础诊断基础诊断考点突破考点突破3对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的图像与性质a10a1时， ；当0 x1时， ；当0 x0y0y0增函数减函数基础诊断基础诊断考点突破考点突破 4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图像关于直线 对称yx基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破 解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错 (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错 (4)当x1时，logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)错 答案(1)(2)(3)(4) 基础诊断基础诊断考点突破考点突破2已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图像如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1基础诊断基础诊断考点突破考点突破 解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破答案(1)A(2)1基础诊断基础诊断考点突破考点突破考点二对数函数的图像及应用【例2】 (1)(2017郑州一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图像大致是()基础诊断基础诊断考点突破考点突破 解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1， a1，则ylogax在(0，)上是增函数， 又函数yloga|x|的图像关于y轴对称 因此yloga|x|的图像应大致为选项B. (2)如图，在同一坐标系中分别作出 yf(x)与yxa的图像，其中a表示 直线在y轴上截距 由图可知，当a1时，直线yxa 与ylog2x只有一个交点 答案(1)B(2)a1基础诊断基础诊断考点突破考点突破 规律方法(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解基础诊断基础诊断考点突破考点突破 【训练2】 (1)函数y2log4(1x)的图像大致是()基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破答案(1)C(2)B基础诊断基础诊断考点突破考点突破考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度一比较对数值的大小【例31】 (2016全国卷)若ab0,0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCaccb基础诊断基础诊断考点突破考点突破答案B基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破答案C基础诊断基础诊断考点突破考点突破命题角度三对数型函数的性质【例33】 已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破 规律方法(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行 (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误 (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件基础诊断基础诊断考点突破考点突破【训练3】 (1)设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dcab(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破基础诊断基础诊断考点突破考点突破思想方法1对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0.2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y1交点的横坐标进行判定基础诊断基础诊断考点突破考点突破 易错防范1在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论2在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数)3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围
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