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第二十四章 圆复习课知识网络专题复习 课堂小结课后训练圆圆的定义及其相关概念圆的有关性质圆的对称性轴对称性垂径定理中心对称性弧、弦、圆心角的关系定理圆周角圆周角定理及其推论与圆有关的位置关系点和圆的位置关系点在圆外：dr;点在圆上：d=r; 点在圆内：dr;相切：d=r;相交：dr.切线的性质与判定切线长定理三角形的内切圆与圆有关的计算正多边形的有关计算弧长和扇形的面积含中心角的等腰三角形和含中心角一半的直角三角形转化垂径和勾股定理弧长公式扇形面积公式弓形面积公式知识网络知识网络专题一 与圆有关的概念 例1 在图中，BC是 O的直径，ADBC,若D=36,则BAD的度数是（ ）A. 72 B.54 C. 45 D.36 解析 根据圆周角定理的推论可知， B= D=36, BAC=90，所以BAD=54 ，故选B.B专题复习专题复习ABCDO配套训练 1.如图a，四边形ABCD为 O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则BPC的度数是 .2.如图b，线段AB是直径，点D是 O上一点， CDB=20 ,过点C作 O的切线交AB的延长线于点E,则E等于 .（135CDBAPO图aOCABED图b50专题二 垂径定理 例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.8mmAB解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.方法归纳 在涉及到求半径r、弦长a、弦心距d、弓形高h的问题时，通常构造直角三角形来解决.h= =r- -d, .222( )2ard8CDO2AOBCEF图a配套训练 1.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE AC,OF BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .2.如图b,AB是 O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 和36 ，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .（3ABCDP O图bDP专题三 圆周角定理 例3 如图， O的直径AE=4cm, B=30 ,则AC= .ABCEO2cm解析 连接CE，则E= B=30 , ACE=90所以AC= AE=2cm.12方法归纳 有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.配套训练 （多解题题）如图，AB是 O的直径，弦BC=2,F是弦BC的中点， ABC=60 .若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB A的方向运动，设运动时间为t（s) (0t3)连接EF，当t= s时， BEF是直角三角形.ABCEOF79144或或思路点拨 根据圆周角定理得到直角三角形ABC，再根据含30交点直角三角形的性质得到AB=6cm，则当0t3时，即点E从点A到点B再到点O，此时和点O不重合，若BEF是直角三角形，则BFE=90或BFE=90.专题四 点与圆的位置关系 例4 如图在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：以点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；利用网格，仅用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD.ABCODxy解析（1）如图所示；(2）作弦AB、BC的垂直平分线，它们的交点就是弧AC所在圆的圆心.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题： 点C的坐标是 ；点D的坐标是 ； D的半径= （结果保留根号）.ABCODxy（6，2）（2，0）2 5配套训练 在ABC中， C=90 ，AC=1,BC=2,M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作 C，则（ ）A. 点M在 C上 B.点M在 C内C.点M在 C外 D.点M与 C的位置关系不能确定C专题五 直线与圆的位置关系 例5 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M. (1)求证：CD与 O相切；（2）若正方形ABCD的边长为1，求 O的半径.ABCDOM(1)证明：过点O作ONCD于N.连接OM BC与 O相切于点M, OMC=90 , 四边形ABCD是正方形，点O在AC上.AC是BCD的角平分线，ON=OM， CD与 O相切.NABCDOM(2)解: 正方形ABCD的边长为1,AC= . 设 O的半径为r,则OC= .又易知OMC是等腰直角三角形， OC= 因此有 ，解得 .22r2r22rr22r 方法总结 （1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；（2）设了未知数，通常利用勾股定理建立方程. 配套训练（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， AOD=30 ,半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后P与直线CD相切.ABDCPP1P2E4或8思路点拨 根本题应分为两种情况：（1）P在直线AB下面与直线CD相切；（2）P在直线AB上面与直线CD相切.专题六 正多边形的有关计算 例6 若正方形的边长为6，则其外接圆与与内切圆组成的圆环的面积是 (结果保留）.ABDCEO9 解析 任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆，它们是同心圆。又知圆环的面积= (R2-r2)=AE2=9.配套练习 若一个正六边形的周长为6，则该六边形的面积是（ ）A. B. C. D.9 33321343 3B专题七 弧长和扇形面积 例7 （1）一条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .（2）一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度.40cm120解析 (1)要熟记弧长公式及其变形式公式.即 及 ;还要熟记圆锥及其侧面展开图的存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径. 180n Rl、180lRn180lnR配套练习 如下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm,求（1）扇形OAB的圆心角；（2）这个纸杯的表面积.（面积计算结果保留用）.解：（1）由题意知：AB=6， CD=4 ,设AOB=n ,AO=Rcm,则CO=（R-8）cm，由弧长变形公式得：（180 6180 4(8)RR即648RR解得R=24.180 645.24nABCDOEF6cm4cm8cm解：（2）由（1）知OA=24cm,则CO=24-8=16cm, S扇形OCD= cm2 .S扇形OAB=S纸杯侧=S扇形OAB-S扇形OCD=72 -32 =40 ，S纸杯底=4 ，S纸杯表=40 +4 =44 （cm2).141632221162472 cm .2专题八 与圆有关的作图 例8 如图，在ABC中，已知AB=AC,且BAC60 ,AD BC于点D.（1）在图a中，请你在AD上，仅用圆规确定E点，使BEC=60; (2)在图b中，请你分别在AB,AC上，仅用圆规确定P、Q两点，使BPC= BQC=90(作图要求：保留痕迹，不写画法）.图aABCD图bABCD图aABCD图bABCD作图分析 (1)作以B为圆心，以BC长为半径为弧，交AD于点E;（2）以D为圆心，BD长为半径作半圆，与AB,AC分别交于点P、Q两点.EPQ配套训练 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺.（1）在图1中，画出ABC的三条高的交点F；（2）在图2中，画出ABC中AB边上的高CD.ABCABC图图1图图2ABCABC图图1图图2解：FFD圆圆的有关性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算垂径定理添加辅助线连半径，作弦心距，构造直角三角形圆周角定理添加辅助线作弦，构造直径所对的圆周角点与圆的位置关系点在圆环内：r d R直线与圆的位置的关系添加辅助线证切线有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.正多边形和圆转化直角三角形弧长和扇形灵活使用公式课堂小结课堂小结1.如图，点P是圆上一动点，弦AB= cm,PC是APB的平分线，BAC=30 .当PAC等于 度时，四边形PACB有最大面积，此时最大面积是 cm2.3PBAC90 3课后训练课后训练2.如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60 方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（ ）A.10h B.20h C.30h D. 40hB北东AOM60 (3.如图，在同一平面直角坐标系中有4个点，A(1,0),B(5,0),C(2,3),D(1,2).(1)画出ABC的外接圆的圆心P,写出圆心P的坐标并指出点D与 P的位置关系；（2）点O为坐标原点，判断直线OD与 P的位置关系，并说明理由；（3）若在y轴上有一动点Q,当QC-QD 有最大值时，直接写出点Q的坐标；当QC+QD有最小值时，直接写出点Q的坐标.xyO ABCD解：（1）如图所示.圆心P的坐标为（3，1），），点D在 P上.（2）直线OD与 P相切.理由如下：如图，利用勾股定理计算可得：OP= ，DP= ，OD= , DP2+OD2= OP2= DP2+OD2=OP2，ODP=90，又由（1）知，点D在 P上，直线OD与 P相切5522(5)(5)10，2(10 )10，5xyO ABCDP(3) (0,1 ); 7( 0 ,) .3
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