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中考复习- 图形的相似与位似分类分类考点说明考点说明图形图形的相的相似和似和位似位似了解比例的性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上了解比例的性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割的实例了解黄金分割通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比理解理解“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方似比；面积比等于相似比的平方了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似成比例的两个三角形相似会用图形的相似解决一些简单的实际问题会用图形的相似解决一些简单的实际问题年份及考查知识点年份及考查知识点题型及分值题型及分值考点分析考点分析201324（2）相似这部分的考察分值相似这部分的考察分值大约在大约在310310分之间，考分之间，考查方式查方式（1 1）基础知识）基础知识的考查以选择题或填空的考查以选择题或填空题为主要形式；（题为主要形式；（2 2）与其他知识的整合考查，与其他知识的整合考查，比如与四边形，圆，二比如与四边形，圆，二次函数，解直角三角形次函数，解直角三角形, ,对称变换等结合考查，对称变换等结合考查，以解答题为主要形式，以解答题为主要形式，其考查的内容主要有：其考查的内容主要有：三角形相似的性质与判三角形相似的性质与判定，相似三角形在实际定，相似三角形在实际生活中应用。生活中应用。201421题（3）201517题 23题（1）（2）考试能力要求： 1了解比例线段的概念和性质 2 熟练运用三角形相似的性质与判定，并能解决实际生活中的简单问题。 3了解位似图形的概念和性质课时目标： 1了解比例线段以及位似图形的概念和性质 2掌握相似三角形的性质和判定知识梳理相似与相似与位似位似比例线段及其性质比例线段及其性质平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理相似图形相似图形位似图形位似图形1.线段的比线段的比2.比例线段比例线段3.比例的性质比例的性质4.黄金分割黄金分割概念概念:形状相同的图形叫做相似图形形状相同的图形叫做相似图形相似三角形相似三角形相似多边形相似多边形1.概念概念2.性质性质3.位似作图步骤位似作图步骤1.概念概念2.性质性质3.判定判定【知识梳理】1. 线段的比：两条线段的比是两条线段的线段的比：两条线段的比是两条线段的_之比之比2. 比例线段：在四条线段中，如果两条线段的比比例线段：在四条线段中，如果两条线段的比_另两条线段的比，即另两条线段的比，即 ，那么这四条线段，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段叫做成比例线段，简称比例线段acbd长度等于【知识梳理】3.3.比例的比例的性质性质1:acbd _（bd0） 2：如果：如果 ，那么，那么3：如果：如果 ，那么那么acbdabcdbd0acmbdnbdnacmabdnb ad=bc【知识梳理】4. 黄金分割：一般地，点黄金分割：一般地，点B把线段把线段AC分成两部分，分成两部分，如果如果 ,那么称线段那么称线段AC被点被点B黄金分割，点黄金分割，点B为线段为线段AC的黄金分割点，的黄金分割点，AB与与AC（或（或BC与与AB）的）的比称为黄金比，它们的比值为比称为黄金比，它们的比值为 ，计算时通，计算时通常取它的近似值常取它的近似值0.618BCABABAC152 【知识梳理】平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例所截，所得的对应线段成比例.如图，当如图，当l3l4l5时时,有有 等等.,ABDE BCEFBCEFABDE,ABDE BCEFACDFACDF【知识梳理】1.概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形叫做相似三角形2.性质性质（1）相似三角形的）相似三角形的_相等相等（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都与对应角平分线的比都_相似比相似比（3）相似三角形的周长比等于）相似三角形的周长比等于_，面积比等于面积比等于_对应角等于相似比相似比的平方3.判定判定（1）平行于三角形一边的直线与其他两边相）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似交，所截得的三角形与原三角形相似（2）_分别相等，两三角形相似分别相等，两三角形相似（3）两边对应成比例且）两边对应成比例且_相等的两三相等的两三角形相似角形相似（4）三边）三边_的两三角形相似的两三角形相似（5）两直角三角形的斜边和一条直角边对应）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似成比例，两直角三角形相似两角夹角对应成比例【知识梳理】相似多相似多边形边形（1）定义：各角分别）定义：各角分别 _，各边，各边_ _的两个多边形它们的的两个多边形它们的形状相同称为相似多边形形状相同称为相似多边形.相似多边形相似多边形_ 的比叫做相似比的比叫做相似比（2）性质）性质相似多边形的对应角相似多边形的对应角 _，对应，对应边边_相似多边形的周长比等于相似多边形的周长比等于_ ，面积比等于面积比等于_相等对应成比例对应边相等相等成比例相似比相似比的平方【知识梳理】1. 如图，两个多边形的顶点如图，两个多边形的顶点A与与A、B与与B、C与与C所在的直线都经过同一点所在的直线都经过同一点O，并且，并且 像这样的两个多边形叫做位似多边形，点像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫叫做位似中心做位似中心OAOBOCOAOBOC【知识梳理】2. 性质：两个位似多边形一定相似，并且它们的性质：两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边对应边互相平行（或在同一条直线上）互相平行（或在同一条直线上）.利用位似利用位似可以把一个图形按所给可以把一个图形按所给相似比相似比放大或缩小放大或缩小3. 位似作图步骤位似作图步骤确定位似中心确定位似中心确定原图形的关键点确定原图形的关键点确定位似比，即要将图形放大或确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数缩小的倍数作出原图形中各关键点的对应点作出原图形中各关键点的对应点按原图形的连接顺序连接所作的按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点各个对应点【知识梳理】基础检测 【基础检测】1.(2015广州)若两个相似多边形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为()A1：4 B1：2 C2：1 D4：1提示：两个相似多边形面积比为1：4，周长之比为 =1：22.(2015天津)如图23-10，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于() A3：2 B3：1 C1：1 D1：2BD 3.(2015宜昌) 如图23-11，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是() A.AB=24m B.MNAB C.CMNCAB D.CM:MA=1:2D提示：M、N分别是AC，BC的中点，MNAB，MN= AB，AB=2MN=212=24m，CMNCAB，M是AC的中点，CM=MA，CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项【基础检测】 4.(2015雅安) 如图23-12，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则SAFE：S四边形ABCE为() A3：4 B4：3 C7：9 D9：7图23-12提示：在平行四边形ABCD中，AEBC，AD=BC， FAEFBC，AE：ED=3：1， ， ，SAFE：S四边形ABCE=9：75.(2015贵阳) 如图23-13，在方格纸中，ABC和EPD的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点P所在的格点为() AP1 BP2 CP3 DP4提示：BAC=PED，而 ， 时，ABCEPD，DE=4，EP=6，点P落在P3处D图23-13C 【基础检测】6.如图23-14，D是ABC的边AC上的一点，连接BD，已知ABD=C，AB=6，AD=4，求线段CD的长。图23-14解：在ABD和ACB中，ABD=C，A=A，ABDACB， ，AB=6，AD=4， ，则CD=ACAD=94=57如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置(1)求证：BEFCDF；(2)求CF的长解：(1)证明：如图，在矩形ABCD中，由对称性可得出：DFC=EFB，EBF=FCD=90，BEFCDF；(2)解：由(1)知，BEFCDF ，即 ，解得：CF=169即：CF的长度是169cm 【基础检测】考点分类 对应精练例例1如图，直线如图，直线l1l2l3,直线直线AC分别交分别交l1，l2，l3于点于点A，B，C，直线直线DF分别交分别交l1，l2，l3于点于点D、E、F，AC与与DF相交于点相交于点G，且，且AG=2，GB=1,BC=5,则则 的值为的值为( ) A. B. 2 C. D. 【思路点拨思路点拨】根据平行线分线段成比例可得根据平行线分线段成比例可得 ，代，代入计算，可求得答案入计算，可求得答案.122535DEEFDEABEFBCD考点分类一考点分类一平行分线段成比例平行分线段成比例【对应精练对应精练】 考点分类二 相似三角形的性质知识考点知识考点对应精练对应精练(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于边长比(3)相似三角形的周长之比等于边长比，面积之比等于边长比的平方.1.如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是( )AAB2=BCBD BAB2=ACBDCABAD=BDBC DABAD=ADCD2.如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DEBC，若ADAB=34，AE=6，则AC= .3.如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB于点D则BCD与ABC的周长之比为= .提示：易证BCD与ABC相似，而周长比等于相似比，相似比等于对应边的比BCD与ABC的相似比= ，且BCD =A=30，所以sinBCD= A8 6考点分类三 相似三角形的判定 5.已知ABC如图23-5所示则与ABC相似的是图中的()提示：AB=AC=6，C=B=75，A=30， ，与ABC相似的是CC6.在ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定AEDABC是() AADE=C BAED=B C. D. 提示：A、有条件ADE=C，A=A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明AED和ABC相似；B、有条件AED=B，A=A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明AED和ABC相似；C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明AED和ABC相似；D、不能证明AED和ABC相似.D 7.如图23-6， ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是() AABEDGE BCGBDGE CBCFEAF DACDGCF提示：四边形ABCD是平行四边形ABCD EDG=EABE=EABEDGE(第一个正确)AEBC EDC=BCG，E=CBGCGBDGE(第二个正确)AEBC E=FBC，EAF=BCFBCFEAF(第三个正确)第四个无法证得，故选D.D8.如图23-7，在正方形网格上，与ABC相似的三角形是() AAFD BAED CFED D不能确定A 考点分类四 相似三角形的应用相似三角形在测量物理的高度、河的宽度等方面都有着广泛的应用相似三角形在测量物理的高度、河的宽度等方面都有着广泛的应用. .9.如图23-8，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MNAB交BC于N，量得MN=38m,则AB的长为 .提示：根据CMNCAB， ，AB=4MN=152m.152m10.如图23-9是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图。在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米.那么该古城墙CD的高度是 米.提示：由光学知识反射角等于入射角不难分析得出APB=CPD， 再由ABP=CDP=90得到ABPCDP，得到 ， 代入数值求的CD=8.8 1. 判定两个三角形相似的基本思路：判定两个三角形相似的基本思路： （1）条件中若有一对等角，则可找另一对等角或找）条件中若有一对等角，则可找另一对等角或找两夹边对应成比例；两夹边对应成比例； （2）条件中有两边对应成比例，则找夹角相等，或）条件中有两边对应成比例，则找夹角相等，或找第三边对应成比例；找第三边对应成比例； （3）条件中已知等腰三角形，则可找顶角相等，或找）条件中已知等腰三角形，则可找顶角相等，或找底角相等，或底和腰对应成比例；底角相等，或底和腰对应成比例； （4）在直角三角形和网格图中，通常用勾股定理得出）在直角三角形和网格图中，通常用勾股定理得出 两个三角形中对应边的比相等，通过三组对应边的比相等两个三角形中对应边的比相等，通过三组对应边的比相等或两组对应边的比相等且对应夹角相等判定两个三角形相或两组对应边的比相等且对应夹角相等判定两个三角形相似；似； 2. 用相似三角形性质求线段长、角度用相似三角形性质求线段长、角度: （1）先看成比例或要求线段所在的三角形，确定可能）先看成比例或要求线段所在的三角形，确定可能的相似三角形；的相似三角形； （2）找出两三角形相似的条件，结合相似三角形性）找出两三角形相似的条件，结合相似三角形性质求解质求解.如果这两个三角形不相似，则可找中间比代换或作如果这两个三角形不相似，则可找中间比代换或作辅助线构造相似三角形求解辅助线构造相似三角形求解.过关检测一、选择题1.如图23-1所示：ABC中，DEBC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为( ) A9 B6 C3 D4图23-1提示：由DEBC，易知ADEABC，因此有 ，将AD=5，BD=10，AE=3带入计算得CE=6B提示：ABC中，AD、BE是两条中线，DE是ABC的中位线，DEAB，DE= AB.EDCABC， 2.如图23-2，在ABC中，AD，BE是两条中线， 则SEDC：SABC=( ) A12 B23 C13 D14图23-2D3.如图23-3，点D在ABC的边AC上，要判断ADB与ABC相似，添加一个条件，不正确的是( ) AABD=C BADB=ABC C D 图23-3提示：由ABD=C或ADB=ABC，加上A是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定，可得ADBABC；由 ，加上A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得ADBABC；但 ，相应的夹角不知相等，故不能判定ADB与ABC相似.C 4.如图23-4，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为() A0.6m B1.2m C1.3m D1.4m图23-4提示：ABDE， ， ，h=1.4m5.如图23-5，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有() A8对 B6对 C4对 D2对提示：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，BECGEA，ABECEF，GDFGAB，DGFBCF，GABBCF，还有ABCCDA(是特殊相似)，共有6对图23-5CD二、填空题6.如图6，1=2，添加一个条件使得ADEACB，添加的条件是 .图6提示：1=2，1+BAE=2+BAE， 即DAE=CAB当D=C或E=B或 时，ADEACB7.如图7，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.图7提示：设乙的影长为AD=x米，由图形可知ADEACB， 可得 ， AC=x+1，BC=1.8，DE=1.5， ，解之得:x=5， 所以AC=1+5=6.8.如图8，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则_m提示：ABCD，PABPCD， 假设CD到AB距离为x，则 ， 又AB=2，CD=6， ， x=1.8图861.8 图23-99.如图23-9，C=E=90，AC=3，BC=4，AE=2，则AD= .提示：C=E=90，BAC=DAE，ABCADE， .AC=3，BC=4，AE=2， ，解得 ， .10.如图23-10，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AED=B，如果AE=2，ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为 AED=B，A=A，ADEACB. .ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，ABC的面积为9.又AE=2， ，解得：AB=3.图23-103三、解答题11.(2014厦门)如图23-11，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DEBC，DE=2，BC=3，求 的值图23-11解：DEBC， ADEABC，DE=2，BC=3， 12.(2013陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长(结果精确到0.1m)解：设CD长为x米，AMEC，CDEC，BNEC，EA=MAMACDBN EC=CD=xABNACD， ，即 ，解得：x=6.1256.1经检验，x=6.125是原方程的解，路灯高CD约为6.1米图23-12 13.(2014泰安)如图23-13，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，ADB=ACB求证： .证明：AB=AD，ADB=ABE，又ADB=ACB，ABE=ACB，又BAE=CAB，ABEACB， ，又AB=AD， .14.已知：如图23-14，直角梯形ABCD中，ADC=90，ADBC，点E在边BC上，点F在对角线AC上，且DFC=AEB(1)求证：ADCE=AFAC；(2)当点E、F分别是边BC、AC的中点时，求证：ABAC(1)证明：ADBC，DAC=ACB，又DFC=AEB，DFA=AEC，ADFCAE， ，ADCE=AFAC图23-14图23-13(2)解：点E、F分别是边BC、AC的中点，AC=2AF，BC=2CE，又ADCE=AFAC，AD2CE=2AFAC，即：ADBC=ACAC， ，又DAC=ACB，ADCCAB，ADC=CAB，又ADC=90，CAB=90，ABAC拓展提高题某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图23-16所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？图23-16解：由题意得，BAD=BCE，ABD=CBE=90，BADBCE， ，即 ，解得BD=13.6米答：河宽BD是13.6米
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