离散数学-第2章-习题解答

推荐精选习题 2.11将下列命题符号化。(1) 4 不是奇数。解：设A(x)：x是奇数。a：4。“4 不是奇数。 ”符号化为：A(a)(2) 2 是偶数且是质数。解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。“2 是偶数且是质数。 ”符号化为：A(a)B(a)(3) 老王是山东人或河北人。解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。“老王是山东人或河北人。 ”符号化为：A(a)B(a)(4) 2 与 3 都是偶数。解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。“2 与 3 都是偶数。 ”符号化为：A(a)A(b)(5) 5 大于 3。解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。“5 大于 3。 ”符号化为：G(a,b)(6) 若m是奇数，则 2m不是奇数。解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。“若m是奇数，则 2m不是奇数。 ”符号化为：A(a)A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 ”符号化为：C(a,b)D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。“小王既聪明又用功，但身体不好。 ”符号化为：A(a)B(a)C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。“秦岭隔开了渭水和汉水。 ”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 ”符号化为：B(a)A(a)2将下列命题符号化。并讨论它们的真值。(1) 有些实数是有理数。解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。“有些实数是有理数。 ”符号化为：(x)(R(x)Q(x)推荐精选它的真值为：真。(2) 凡是人都要休息。解：设R(x)：x是人。S(x)：x要休息。“凡是人都要休息。 ”符号化为：(x)(R(x)S(x)它的真值为：真。(3) 每个自然数都有比它大的自然数。解：设N(x)：x是自然数。G(x,y)：x比y大。“每个自然数都有比它大的自然数。 ”符号化为：(x)(N(x)($y)(N(y)G(y,x)它的真值为：真。(4) 乌鸦都是黑的。解：设A(x)：x是乌鸦。B(x)：是黑的。“乌鸦都是黑的。 ”符号化为：(x)(A(x)B(x)它的真值为：真。(5) 不存在比所有火车都快的汽车。解：设A(x)：x是汽车。B(x)：是火车。K(x,y)：x比y快。“不存在比所有火车都快的汽车。 ”符号化为：($x)(A(x)(y)(B(y)K(x,y)它的真值为：真。(6) 有些大学生不佩服运动员。解：设S(x)：x是大学生。L(x)：是运动员。B(x,y)：x佩服y。“有些大学生不佩服运动员。 ”符号化为：($x)(S(x)L(y)B(x,y)它的真值为：真。(7) 有些女同志既是教练员又是运动员。解：设W(x)：x是女同志。J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。“有些女同志既是教练员又是运动员。 ”符号化为：($x)(W(x)J(x)L(x)它的真值为：真。(8) 除 2 以外的所有质数都是奇数。解：设A(x)：x是质数。B(x)：x是奇数。C(x,y)：x不等于y。“除 2 以外的所有质数都是奇数。 ”符号化为：(x)(A(x)C(x,2)B(x)它的真值为：真。3指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。在以下各题中，A(x)表示：x0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：xy=0(1) (x)A(x)解：正整数集合 Z+。(2) ($x)A(x)解：整数集合 Z。(3) (x)B(x) 解：集合5 。(4) ($x)B(x)解：整数集合 Z。推荐精选(5) (x)($y)C(x,y)解：整数集合 Z。4分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得xy=0解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：xy=0。在实数个体域符号化为：(x)($y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(x)(R(x)($y)(R(y)B(x,y)(2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有xy=0 解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：xy=0。在实数个体域符号化为：($x)(y)B(x,y)在全总个体域符号化为：($x)(R(x)(y)(R(y)B(x,y)(3) 对所有的实数x和所有的实数y，都有xy=yx解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x=y。在实数个体域符号化为：(x)(y)B(x+y,y+x)在全总个体域符号化为：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x+y,y+x)(4) 存在着实数x和存在着实数y，使得xy=100解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：xy=100。在实数个体域符号化为：($x)( $y)B(x,y)在全总个体域符号化为：($x)(R(x)($y)(R(y)B(x,y)习题 2.21. 指出下列公式中的约束变元和自由变元。(1) (x)(P(x)Q(y)解：约束变元：x，自由变元：y(2) (x)(P(x)R(x)($x)P(x)Q(x)解：约束变元：x，自由变元：x(3) (x)(P(x)($x)Q(x)(x)R(x,y)Q(z)解：约束变元：x，自由变元：y，z(4) ($x)(y) (R(x,y)Q(z)解：约束变元：x，y，自由变元：z(5) (z) (P(x)($x)R(x,z)($y)Q(x,y)R(x,y)解：约束变元：x，y，z，自由变元：x，y 2. 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。(1) ($x)(y)(P(x,z)Q(x,y)R(x,y)解：将约束变元x换成u：($u)(y)(P(u,z)Q(u,y)R(x,y)将约束变元y换成v：($x)(v)(P(x,z)Q(x,v)R(x,y)(2) (x)(P(x)(R(x)Q(x,y)($x)R(x)(z)S(x,z)解：将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：推荐精选(u)(P(u)(R(u)Q(u,y)($v)R(v)(z)S(x,z)将约束变元z换成w：(x)(P(x)(R(x)Q(x,y)($x)R(x)(w)S(x,w)3. 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。(1) ($y)Q(z,y)(x)R(x,y)($x)S(x,y,z)解：将自由变元z用u代入：($y)Q(u,y)(x)R(x,y)($x)S(x,y,u)将自由变元y用v代入：($y)Q(z,y)(x)R(x,v)($x)S(x,v,z)(2) (y)P(x,y)($z)Q(x,z)($x)R(x,y)解：将自由变元x用u代入：(y)P(u,y)($z)Q(u,z)($x)R(x,y)将自由变元y用v代入：(y)P(x,y)($z)Q(x,z)($x)R(x,v)4. 利用谓词公式对下列命题符号化。(1) 每列火车都比某些汽车快。解：设A(x)：x是火车。B(x)：x是汽车。C(x,y)：x比y快。“每列火车都比某些汽车快。 ”符号化为：(x)(A(x)($y)(B(y)C(x,y)(2) 某些汽车比所有火车慢。解：设A(x)：x是火车。B(x)：x是汽车。C(x,y)：x比y快。“某些汽车比所有火车慢。 ”符号化为： ($x)(B(x)(y)(A(y)C(y,x) (3) 对每一个实数x，存在一个更大的实数y。解：设R(x)：x是实数。G(x,y)：x比y大。“对每一个实数x，存在一个更大的实数y。 ”符号化为：(x)(R(x)($y)(R(y)G(y,x)(4) 存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。解：设R(x)：x是实数。G(x,y)：x比y大。“存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。 ”符号化为：($x)($y)($z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz)(5) 所有的人都不一样高。解：设R(x)：x是人。G(x,y)：x和y一样高。“所有的人都不一样高。 ”符号化为：(x)(y)(R(x)R(y)G(x,y)5. 自然数一共有下述三条公理：a) 每个数都有惟一的一个数是它的后继数。b) 没有一个数使数 1 是它的后继数。c) 每个不等于 1 的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。用两个谓词表达上述三条公理。注：设n是不等于 1 的自然数，则n1 是n的后继数，n1 是n的先驱数。解：设A(x)：x是数。B(x,y)：x是y后继数(根据定义，也可理解为y是x先驱数)。a) “每个数都有惟一的一个数是它的后继数。 ”符号化为：(x)(A(x)($y)(A(y)B(y,x)($z)(A(z)B(z,x)(z=y) b) “没有一个数使数 1 是它的后继数。 ”符号化为：($x)(A(x)B(1,x)c) “每个不等于 1 的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。 ”符号化为：(x)(A(x)(x=1)($y)(A(y)B(x,y)($z)(A(z)B(x,z)(z=y) 推荐精选6. 取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：对每个 0，存在一个 0，使得对所有x，若|xa|，则|f(x)f(a)|。试把此定义用符号化的形式表达出来。解：() (0)()( (0)(x) (|xa|)(|f(x)f(a)|) 7.若定义惟一性量词($!x)为“存在惟一的一个x” ，则($!x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真” 。试用量词，谓词及逻辑运算符表示($!x)P(x)。解：($!x)P(x)($x)P(x)($y)P(y)(y=x)习题 2.31. 设个体域为D=1,2,3，试消去下列各式的量词。(1) (x)P(x)解：(x)P(x)P(1)P(2)P(3)(2) (x)P(x)($y)Q(y)解：(x)P(x)($y)Q(y)(P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)(3) (x)P(x)($y)Q(y)解：(x)P(x)($y)Q(y)(P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)(4) (x)(P(x)Q(x)解：(x)(P(x)Q(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(5) (x)P(x)(y)Q(y)解：(x)P(x)(y)Q(y) (P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)2. 求下列各式的真值。(1) (x)($y)H(x,y) 其中H(x,y)：xy，个体域为D=4,2解：(x)($y)H(x,y)($y)H(2,y)($y)H(4,y)(H(2,2)H(2,4)(H(4,2)H(4,4)(00)(10)010(2) ($x)(S(x)Q(a)p 其中S(x)：x3，Q(x)：x=5，a：3，p：53，个体域为D=-1,3,6解：($x)(S(x)Q(a)p(S(-1)Q(3)(S(3)Q(3)(S(6)Q(3)(53)(00)(00)(10)1(110)1111(3) ($x)(x2-2x+1=0) 其中个体域为D=-1,2解：($x)(x2-2x+1=0)(1)22(1)1=0)(22221=0)(4=0)(1=0)0003. 证明下列各式。其中：B是不含变元x的谓词公式。(1) ($x)(S(x)R(x)(x)S(x)($x)R(x)证明：($x)(S(x)R(x)($x)(S(x)R(x)($x)S(x)($x)R(x)(x)S(x)($x R(x)(x)S(x)($x)R(x)推荐精选(2) (x)(y)(S(x)R(y)($x)S(x)(y)R(y)证明：(x)(y)(S(x)R(y)(x)(y)(S(x)R(y)(x)S(x)(y)R(y)($x)S(x)(y)R(y)($x)S(x)(y)R(y)(3) ($x)(A(x)B)(x)A(x)B 证明：($x)(A(x)B)($x)(A(x)B)($x)A(x)B(x)A(x)B(x)A(x)B(4) (x)(BA(x)B(x)A(x)证明：(x)(BA(x)(x)(BA(x)B(x)A(x)B(x)A(x)(5) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)证明：因为(x)(A(x)B(x)，所以对于任意个体c，A(c)B(c)和A(c)，从而有B(c)，由c的任意性有(x)B(x)，根据 CP 规则，(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)(6) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)证明：(x)(A(x)B(x)(x)(A(x)B(x)(B(x)A(x)(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)同理，(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)B(x)(x)A(x)所以，(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)A(x)(x)B(x)(x)B(x)(x)A(x)而(x)A(x)(x)B(x)(x)B(x)(x)A(x)(x)A(x)(x)B(x)故有(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)4. 判断下列证明是否正确。(x) (A(x)B(x)(x) (A(x)B(x)(x)(A(x)B(x)($x) (A(x)B(x)($x) A(x)($x)B(x)($x) A(x)(x)B(x)($x) A(x)(x)B(x)($x) A(x)(x)B(x)解：下列的推理是错的：($x) (A(x)B(x)($x)A(x)($x)B(x)习题 2.41. 求下列各式的前束范式。(1) (x)P(x)($x)Q(x)解：(x)P(x)($x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x)(2) (x)P(x)($x)Q(x) 解：(x)P(x)($x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x)(y)Q(y)(x)(y) (P(x)Q(y)(3) (x)(y)($z)A(x,y,z)($u)B(x,u)($v)B(x,v)推荐精选解：(x)(y)($z)A(x,y,z)($u)B(x,u)($v)B(x,v)(x)(y)($z)($u)(A(x,y,z)B(x,u)($v)B(x,v)(x)(y)(z)(u)($v)(A(x,y,z)B(x,u)B(x,v)(4) (x)(y)($z)(A(x,z)B(x,z)($u)R(x,y,u)解：(x)(y)($z)(A(x,z)B(x,z)($u)R(x,y,u)(x)(y)(z)($u)(A(x,z)B(x,z)R(x,y,u)(5) (x)($y)A(x,y)($x)(y)(B(x,y)(y)(A(y, x)B(x,y)解：(x)($y)A(x,y)($x)(y)(B(x,y)(y)(A(y, x)B(x,y)(x)($y)A(x,y)($x)(y)(B(x,y)(z)(A(z,x)B(x,z)(x)($y)A(x,y)($u)(v)(z)(B(u,v)(A(z,u)B(u,z)(x)(y)($u)(v)(z)(A(x,y)(B(u,v)(A(z,u)B(u,z)($x)($y)(u)($v)($z)(A(x,y)(B(u,v)(A(z,u)B(u,z)2. 求下列各式的前束合取范式。(1) (x)(P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)解：(x)(P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)(x)(z)(P(x)Q(z,y)($y)R(x,y)(x)(z)(P(x)Q(z,y)($u)R(x,u)(x)($z)($u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)($z)($u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)($z)($u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)($z)($u)(P(x)R(x,u)(Q(z,y)R(x,u)(2) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x) R(x,y)解：(x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x) R(x,y)(x)(u)(P(x,u)Q(u,z)(v)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)Q(u,z)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)R(v,y)(Q(u,z)R(v,y)(3) ($y)Q(z,y)(x)R(x,y)($x)S(x,y,z)解：($y)Q(z,y)(x)R(x,y)($x)S(x,y,z)($u)Q(z,u)(x)R(x,y)($v)S(v,y,z)(u)(x)($v)(Q(z,u)R(x,y)S(v,y,z)(u)(x)($v)(Q(z,u)R(x,y)S(v,y,z)3. 求下列各式的前束析取范式。(1) (x)(P(x)(y)(x)Q(x,y)(z)R(x,y,z)解：(x)(P(x)(y)(x)Q(x,y)(z)R(x,y,z)(x)(P(x)(y)(x)Q(x,y)($z)R(x,y,z)(x)(P(x)(y)($u)($z)(Q(u,y)R(x,y,z)(x)(y)($u)($z)(P(x)(Q(u,y)R(x,y,z)(x)(y)($u)($z)(P(x)Q(u,y)R(x,y,z)(2) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x)R(x,y)推荐精选解：(x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x)R(x,y)(x)(u)(P(x,u)Q(u,z)(v)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)Q(u,z)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)R(v,y)(Q(u,z)R(v,y)(3) ($y)Q(z,y)(x)R(x,y)($x)S(x,y,z)解：($y)Q(z,y)(x)R(x,y)($x)S(x,y,z)($u)Q(z,u)(x)R(x,y)($x)S(x,y,z)($u)(x)(Q(z,u)R(x,y)($x)S(x,y,z)($u)(x)(Q(z,u)R(x,y)($v)S(v,y,z)($u)(x)($v)(Q(z,u)R(x,y)S(v,y,z)习题 2.51证明下列各式。(1) (x)(F(x)(G(y)R(x)，($x)F(x)($x)(F(x)R(x)证明： ($x)F(x)P F(c)ES (x)(F(x)(G(y)R(x) P F(c)(G(y)R(c)US G(y)R(c)T假言推理 R(c)T化简律 F(c)R(c)T合取引入 ($x)(F(x)R(x)EG(2) (x)(F(x)G(x)，(x)(R(x)G(x)(x)(R(x) F(x)证明： (x)(R(x)G(x)P R(c)G(c)US (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US G(c)F(c)T假言易位式 R(c)F(c)T假言三段论 (x)(R(x)F(x)UG(3) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R (x)，(x)R(x)(x)F(x)证明： (x)R(x)P R(c)US (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US G(c)T拒取式 (x)(F(x)G(x)P推荐精选 F(c)G(c)US F(c)T析取三段论 (x)F(x)UG(4) ($x)F(x)(y)(F(y)G(y)R(y)，($x)F(x)($x)R(x)证明： ($x)F(x)P F(c)ES ($x)F(x)(y)(F(y)G(y)R(y)P (y)(F(y)G(y)R(y)T假言推理 (F(c)G(c)R(c)US F(c)G(c)T附加律 R(c)T假言推理 (x)R(x)UG2用 CP 规则证明下列各式。(1) (x)(F(x)R(x)(x)F(x)(x)R(x)证明： (x)F(x)P(附加前提) F(c)US (x)(F(x)R(x)P F(c)R(c)US R(c) T假言推理 (x)R(x)UG (x)F(x)(x)R(x)CP(2) (x)(F(x)G(x)，($x)(G(x)R(x)(x)R(x)(x)F(x)证明： (x)R(x)P(附加前提) R(c)US ($x)(G(x)R(x)P (x)(G(x)R(x)T量词否定等价式 (G(c)R(c) US G(c)R(c)T德摩根律 G(c)T析取三段论 (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US F(c)T析取三段论 (x)F(x)UG (x)R(x)(x)F(x)CP(3) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x) (x)R(x)($x)F(x)证明： (x)R(x)P(附加前提) ($x)R(x) T量词否定等价式推荐精选 R(c)ES (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US G(c)T析取三段论 (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US F(c)T拒取式 ($x)F(x)EG (x)R(x)($x)F(x)CP3用归谬法证明下列各式。 (1) (x)(F(x)G(x)(x)F(x)($x)G (x)证明： (x)F(x)($x)G (x)P(附加前提) (x)F(x)($x)G (x) T德摩根律 ($x)F(x)(x)G (x)T量词否定等价式 ($x)F(x)T化简律 F(c)ES (x)G(x)T化简律 G(c)US (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US F(c)T析取三段论 F(c)F(c)(矛盾)T合取引入(2) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R (x)，(x)R(x)(x)F(x)证明： (x)F(x)P(附加前提) ($x)F(x) T量词否定等价式 F(c)ES (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US G(c)T析取三段论 (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US R(c)T假言推理 (x)R(x)P R(c)US R(c)R(c)(矛盾)T合取引入(3) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x)， ($x)R(x) ($x)F(x)证明： ($x)R(x) P R(c)ES推荐精选 ($x)F(x)P(附加前提) (x)F(x) T量词否定等价式 F(c)US (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US G(c)T假言推理 (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US R(c)T析取三段论 R(c)R(c)(矛盾)T合取引入4证明下面推理。(1) 每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。解：首先将命题符号化：Q(x)：x是有理数。 R(x)：x是实数。Z(x)：x是整数。 本题要证明：(x)(Q(x)R(x), (x)(Q(x)Z(x)(x)(R(x)Z(x)证明： (x)(Q(x)Z(x)P Q(c)Z(c)ES Q(c)T化简律 Z(c)T化简律 (x)(Q(x)R(x) P Q(c)R(c) US R(c) T假言推理 R(c)Z(c) T合取引入 ($x)(R(x)Z(x) EG(2) 有理数，无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。解：首先将命题符号化：Q(x)：x是有理数。 R(x)：x是实数。W(x)：x是无理数。X(x)：x是虚数。 本题要证明：(x)(Q(x)R(x), (x)(W(x)R(x)，(x)(X(x)R(x) (x)(X(x)Q(x)(x)(X(x)W(x)证明： (x)(X(x)R(x)P X(c)R(c)US R(c)X(c)T假言易位式 (x)(W(x)R(x)P W(c)R(c) US W(c)X(c) T假言三段论推荐精选 X(c)W(c)T假言易位式 (x)(X(c)W(c)UG (x)(Q(x)R(x) P Q(c)R(c) US Q(c)X(c) T假言三段论 X(c)Q(c)T假言易位式 (x)(X(x)Q(x)UG (x)(X(x)Q(x)(x)(X(x)W(x) T合取引入(3) 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。解：首先将命题符号化：Q(x)：x是有理数。 W(x)：x是无理数。F(x)：x能表示成分数。 本题要证明：($x)(W(x)F(x), (x)(Q(x)F(x)(x)(Q(x)W(x)证明： ($x)(W(x)F(x)P (x)(W(x)F(x)T量词否定等价式 (W(c)F(c)US W(c)F(c)T德摩根律 F(c)W(c) T条件等价式 (x)(Q(x)F(x) P Q(c)F(c)US Q(c)W(c)T假言三段论 (x)( Q(x)W(x) UG (4) 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)解：首先将命题符号化：P(x)：x喜欢步行。 Q(x)：x喜欢骑自行车。R(x)：x喜欢乘汽车。 以全体人类为个体域(全总个体域也可类似证明)本题要证明： (x)(P(x)Q(x)，(x)(Q(x)R(x)，($x)R(x)($x)P(x)证明： ($x)R(x)P R(c)ES (x)(Q(x)R(x)P Q(c)R(c)US Q(c) T析取三段论 (x)(P(x)Q(x) P P(c)Q(c)US P(c)T拒取式推荐精选 (x)P(x) UG （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）