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专题三数列六大解题技法专题三数列六大解题技法数列是高中数学主要知识板块之一数列是高中数学主要知识板块之一, ,数列试题中蕴含着丰富的数学思数列试题中蕴含着丰富的数学思想方法想方法, ,解答具有一定的技巧和方法解答具有一定的技巧和方法, ,下面对解答数列题的主要技法作下面对解答数列题的主要技法作简要总结简要总结. .方法一方法一整体使用数列性质整体使用数列性质思路点拨思路点拨: :(1)(1)利用等比数列通项的性质利用等比数列通项的性质; ;【例【例1 1】 (1)(2015(1)(2015福建龙岩市高三福建龙岩市高三5 5月质检月质检) )等比数列等比数列aan n 的各项均为正的各项均为正数数, ,且且a a2 2aa9 9=9,=9,则则loglog3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+log+log3 3a a1010等于等于( () )(A)12(A)12(B)10(B)10(C)8(C)8(D)2+log(D)2+log3 35 5解析解析: :(1)a(1)a1 1a a2 2a a1010=(a=(a2 2a a9 9) )5 5=3=31010, ,所以所以loglog3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+ +log+log3 3a a1010=log=log3 3(a(a2 2a a9 9) )5 5=log=log3 33 31010=10.=10.故选故选B.B.答案答案: :(1)B(1)B思路点拨思路点拨: :(2)(2)整体利用等差数列前整体利用等差数列前n n项和公式项和公式. .(2)(2015(2)(2015湖北省高三一轮质检湖北省高三一轮质检) )设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S S6 6SS7 7SS5 5, ,则满足则满足S Sk kS Sk+1k+100的正整数的正整数k=k=.答案答案: :(2)12 (2)12 方法总结方法总结 等差数列、等比数列的通项和求和公式中均涉及多个量等差数列、等比数列的通项和求和公式中均涉及多个量, ,解题中可以不必求出每个量解题中可以不必求出每个量, ,从整体上使用公式从整体上使用公式. .方法二方法二奇偶分类奇偶分类思路点拨思路点拨: :(1)(1)分别研究数列的奇数项和偶数项的规律分别研究数列的奇数项和偶数项的规律; ;【例【例2 2】 (1) (1)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,一个质点从一个质点从A(aA(a1 1,a,a2 2) )出发沿图中路线依出发沿图中路线依次经过点次经过点B(aB(a3 3,a,a4 4),C(a),C(a5 5,a,a6 6),D(a),D(a7 7,a,a8 8),), ,按此规律一直运动下去按此规律一直运动下去, ,则则a a2 0132 013+a+a2 0142 014+a+a2 0152 015等于等于( () )(A)1 006(A)1 006(B)1 007(B)1 007(C)1 008(C)1 008(D)1 009(D)1 009解析解析: :(1)(1)数列数列aan n 的奇数项满足的奇数项满足a a1 1=1,a=1,a3 3=-1,a=-1,a5 5=2,a=2,a7 7=-2,=-2, ,可得可得a a4k-34k-3=k,a=k,a4k-14k-1=-k;=-k;偶数项满足偶数项满足a a2 2=1,a=1,a4 4=2,a=2,a6 6=3,a=3,a8 8=4,=4, ,可得可得a a2k2k=k.=k.所以所以a a2 0132 013+a+a2 0142 014+a+a2 0152 015=a=a4 4504-3504-3+a+a2 21 0071 007+a+a4 4504-1504-1=504+1 007+(-504)=1 007.=504+1 007+(-504)=1 007.故选故选B.B.答案答案: :(1)B(1)B思路点拨思路点拨: :(2)(2)分分n n为奇数和偶数分别求和为奇数和偶数分别求和. .方法总结方法总结 当试题中涉及当试题中涉及(-1)(-1)n n、数列的奇数项和偶数项具有不同的、数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时规律时, ,按照按照n n为奇数和偶数分别求解为奇数和偶数分别求解, ,最后再整合求解结果最后再整合求解结果. .方法三方法三分裂通项分裂通项思路点拨思路点拨: :把通项分解为两项的差把通项分解为两项的差, ,再消项求和再消项求和. .答案答案: :(1)B(1)B思路点拨思路点拨: :把通项分解为两项的差把通项分解为两项的差, ,再消项求和再消项求和. .方法总结方法总结 裂项相消法是数列求和的基本方法之一裂项相消法是数列求和的基本方法之一, ,在通项为分式的在通项为分式的情况下情况下, ,注意尝试裂项注意尝试裂项. .裂项的基本原则是裂项的基本原则是a an n=f(n)-f(n+1),=f(n)-f(n+1),具体操作具体操作过程中可以采用乘以一个常数、变换通项的分子分母的方法进行过程中可以采用乘以一个常数、变换通项的分子分母的方法进行. .方法四方法四放缩通项放缩通项思路点拨思路点拨: :给出的通项都不可直接求和给出的通项都不可直接求和, ,通过放缩通项使之能够求和通过放缩通项使之能够求和. .方法五方法五辅助数列辅助数列【例【例5 5】 (1)(2015(1)(2015广州二模广州二模) )已知数列已知数列 a an n 满足满足a a1 1=3,=3,且且a an+1n+1=4a=4an n+3(n+3(nN N* *),),则则数列数列 a an n 的通项公式为的通项公式为( () )(A)a(A)an n=2=22n-12n-1+1+1(B)a(B)an n=2=22n-12n-1-1-1(C)a(C)an n=2=22n2n+1+1(D)a(D)an n=2=22n2n-1-1思路点拨思路点拨: :(1)(1)已知等价于已知等价于a an+1n+1+1=4(a+1=4(an n+1),+1),构造数列构造数列aan n+1;+1;解析解析: :(1)(1)由由a an+1n+1=4a=4an n+3,+3,得得a an+1n+1+1=4(a+1=4(an n+1),+1),故数列故数列aan n+1+1是首项为是首项为a a1 1+1=4,+1=4,公比为公比为4 4的等比数列的等比数列, ,所以所以a an n+1=4+1=4n n, ,所以所以a an n=2=22n2n-1.-1.故选故选D.D.答案答案: :(1)D(1)D(2)(2)已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,满足满足2S2Sn n=a=an+1n+1-2-2n+1n+1+1,n+1,nN N* *, ,且且a a1 1,a,a2 2+5,a+5,a3 3成成等差数列等差数列,a,an n= =.答案答案: :(2)3(2)3n n-2-2n n方法六方法六归纳推理归纳推理【例【例6 6】 (1)(2016(1)(2016江西省八所重点中学联考江西省八所重点中学联考) )在数列在数列 a an n 中中, ,已知已知a a1 1=1,a=1,an+1n+1+(-1)+(-1)n na an n=cos(n+1),=cos(n+1),记记S Sn n为数列为数列 a an n 的前的前n n项和项和, ,则则S S2 0152 015= =. .思路点拨思路点拨: :(1)(1)根据递推式计算数列的前面若干项根据递推式计算数列的前面若干项, ,发现规律发现规律; ;解析解析: :(1)(1)由由a a1 1=1,a=1,an+1n+1+(-1)+(-1)n na an n=cos(n+1),=cos(n+1),得得a a2 2=a=a1 1+cos 2=1+1=2,+cos 2=1+1=2,a a3 3=-a=-a2 2+cos 3=-2-1=-3,+cos 3=-2-1=-3,a a4 4=a=a3 3+cos 4=-3+1=-2,+cos 4=-3+1=-2,a a5 5=-a=-a4 4+cos 5=2-1=1.+cos 5=2-1=1.由上可知由上可知, ,数列数列aan n 是以是以4 4为周期的周期数列为周期的周期数列, ,且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=-2,=-2,所以所以S S2 0152 015=503(a=503(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4)+a)+a1 1+a+a2 2+a+a3 3=503=503(-2)+0=-1 006.(-2)+0=-1 006.思路点拨思路点拨: :(2)(2)逐个计算发现规律逐个计算发现规律. .答案答案: :(2)2 016(2)2 016方法总结方法总结 归纳推理的一个主要阵地就是数列归纳推理的一个主要阵地就是数列, ,解数列问题时要注意解数列问题时要注意归纳推理的应用归纳推理的应用, ,通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律. .
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