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第8课时 分式方程及应用一、分式方程一、分式方程1.1.概念：分母中含有概念：分母中含有_的方程叫做分式方程的方程叫做分式方程. .2.2.思路、方法思路、方法（1 1）解分式方程的基本思路是将分式方程转化为）解分式方程的基本思路是将分式方程转化为_，（2 2）具体的方法是）具体的方法是“_”_”，即方程两边同乘，即方程两边同乘_._.未知数未知数整式方程整式方程去分母去分母最简公分母最简公分母3.3.增根：使分式方程的增根：使分式方程的_的根的根. .4.4.分式方程验根的方法分式方程验根的方法（1 1）代入最简公分母，使最简公分母为）代入最简公分母，使最简公分母为_的解不是原方的解不是原方程的解，应舍去；程的解，应舍去；（2 2）直接代入原方程检验，方程的根是使方程的左右两边）直接代入原方程检验，方程的根是使方程的左右两边_的未知数的值的未知数的值. .分母为零分母为零0 0相等相等二、分式方程的应用二、分式方程的应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，关键要分清分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，关键要分清题目中的等量关系，不同的是要注意验根：题目中的等量关系，不同的是要注意验根：1.1.检验所求的解是否是检验所求的解是否是_方程的解；方程的解；2.2.检验所求的解是否符合实际问题检验所求的解是否符合实际问题. .分式分式【核心点拨【核心点拨】1.1.分式方程的概念包含两个条件：分式方程的概念包含两个条件：（1 1）方程中有分母；）方程中有分母；（2 2）分母中有未知数）分母中有未知数. .两者缺一不可两者缺一不可. .2.2.解分式方程必须验根解分式方程必须验根. .3.3.解分式方程去分母时，要注意不要漏掉不含分母的项解分式方程去分母时，要注意不要漏掉不含分母的项. .【即时检验【即时检验】1.1.判断下列方程是否是分式方程：判断下列方程是否是分式方程：（1 1） （_）；）；（2 2） （_）. .2.2.分式方程分式方程 去分母得去分母得_._.3.3.方程方程 的解是的解是_4.4.货车行驶货车行驶2525千米与小汽车行驶千米与小汽车行驶3535千米所用时间相同千米所用时间相同, ,已知小已知小汽车每小时比货车多行驶汽车每小时比货车多行驶2020千米千米, ,求两车的速度各为多少求两车的速度各为多少? ?设设货车的速度为货车的速度为x x千米千米/ /小时小时, ,依题意可列方程依题意可列方程_1x1xx是是不是不是x2x12x210 x11xx-2-1=0 x-2-1=025x12x5 52535xx20 分式方程的解法分式方程的解法【例【例1 1】(2012(2012梅州中考梅州中考) )解方程：解方程：【教你解题【教你解题】24x21.x11x 【规律总结【规律总结】解分式方程的三个步骤解分式方程的三个步骤1.1.去分母去分母, ,将分式方程转化为整式方程将分式方程转化为整式方程; ;2.2.解所得的整式方程解所得的整式方程; ;3.3.验根，写出答案验根，写出答案. .【对点训练【对点训练】1.1.（20122012成都中考）分式方程成都中考）分式方程 的解为的解为( )( )（A A）x=1 x=1 （B B）x=2 x=2 （C C）x=3 x=3 （D D）x=4x=4【解析【解析】选选C.C.去分母，得去分母，得3(x-1)=2x3(x-1)=2x，去括号，去括号，得得3x-3=2x3x-3=2x，移项合并同类项，得，移项合并同类项，得x=3x=3，经检验，经检验，x=3x=3是原方程的解是原方程的解. .312xx1【一题多解【一题多解】选选C.C.根据方程解的定义直接验根，当根据方程解的定义直接验根，当x=3x=3时，方时，方程的左边程的左边 ，右边，右边 ，左边，左边= =右边，所以右边，所以x=3x=3是原方程的解是原方程的解. .312 32113 122.2.（20122012宁波中考）分式方程宁波中考）分式方程 的解是的解是_._.【解析【解析】去分母，方程的两边同乘去分母，方程的两边同乘2 2（x+4x+4），），得得2 2（x-2x-2）=x+4=x+4，去括号，得去括号，得2x-4=x+42x-4=x+4，移项，得移项，得2x-x=4+42x-x=4+4，合并同类项，得合并同类项，得x=8x=8，检验，把检验，把x=8x=8代入代入2 2（x+4x+4）=240=240，原方程的解为原方程的解为x=8x=8答案：答案：x=8x=8x21x423.3.（20112011江西中考）解方程：江西中考）解方程：【解析【解析】去分母，得去分母，得(x-2)(x-2)2 2+4=x+4=x2 2-4-4，解得，解得x=3x=3，检验：当检验：当x=3x=3时，时，x x2 2-40-40，x=3x=3是原方程的根是原方程的根. .2x241x2x4【特别提醒【特别提醒】解分式方程需注意的两类问题解分式方程需注意的两类问题1.1.解分式方程的去分母要与分式化简的通分区分开；解分式方程的去分母要与分式化简的通分区分开；2.2.因为解分式方程可能产生增根因为解分式方程可能产生增根, ,所以解分式方程时所以解分式方程时, ,验根是必验根是必不可少的步骤不可少的步骤. . 分式方程的解的情况与字母的取值范围分式方程的解的情况与字母的取值范围【例【例2 2】（】（20112011襄阳中考）关于襄阳中考）关于x x的分式方程的分式方程 的解为正数，则的解为正数，则m m的取值范围是的取值范围是_._.【思路点拨【思路点拨】去分母去分母, ,解关于解关于x x的整式方程的整式方程 根据条件列关于根据条件列关于m m的不等式组的不等式组 解得解得m m的取值范围的取值范围m31x11x【自主解答【自主解答】去分母，原方程可化简为去分母，原方程可化简为x=m-2x=m-2，根据题意，得根据题意，得 解得解得m m2 2且且m3m3答案：答案：m m2 2且且m3m3m2 0m21，【规律总结【规律总结】分式方程解的两种类型分式方程解的两种类型1.1.若要判断分式方程的解的情况，先把分式方程化为整式方程，若要判断分式方程的解的情况，先把分式方程化为整式方程，求解后验根，判断是否有解；求解后验根，判断是否有解；2.2.若已知方程无解，要确定某些系数的值，则需要将分式方程若已知方程无解，要确定某些系数的值，则需要将分式方程化为整式方程，然后将所求的方程解代入整式方程，从而确定化为整式方程，然后将所求的方程解代入整式方程，从而确定系数的值系数的值. .【对点训练【对点训练】4.4.（20122012攀枝花中考改编）若分式方程：攀枝花中考改编）若分式方程： 无无解，则解，则k=_.k=_.【解析【解析】去分母，得去分母，得2(x-2)+1-kx=-1,2(x-2)+1-kx=-1,整理，得（整理，得（2-k2-k）x-2=0,x-2=0,分式方程无解分两种情况：分式方程无解分两种情况：去分母后的整式方程无解，即去分母后的整式方程无解，即2-k=0,2-k=0,解得解得k=2.k=2.整式方程的解使分母为整式方程的解使分母为0 0，即，即x=2x=2为为(2-k)x-2=0(2-k)x-2=0的解，的解，解得解得k=1.k=1.答案：答案：2 2或或1 11kx12x22x5.5.（20102010绥化中考绥化中考) )已知关于已知关于x x的分式方程的分式方程 的解是非的解是非正数，则正数，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】解关于解关于x x的分式方程的分式方程 得得x=a+1.x=a+1.所以所以a+10,a+10,即即a-1.a-1.又又x+10,a+1+10,x+10,a+1+10,即即a-2,a-2,所以所以a a的取值范围是的取值范围是a-1a-1且且a-2.a-2.答案：答案：a-1a-1且且a-2a-2a21x1a21x1【技巧点拨【技巧点拨】分式方程无解的两种情形分式方程无解的两种情形1.1.分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解，则原分式方分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解，则原分式方程无解；程无解；2.2.分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但所求得的解经分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但所求得的解经检验不满足分式方程，此时，分式方程无解检验不满足分式方程，此时，分式方程无解. . 分式方程的应用分式方程的应用【例【例3 3】（】（1010分）（分）（20122012安顺中考）某市为了治理城市污水，安顺中考）某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为需要铺设一段全长为300300米的污水排放管道，铺设米的污水排放管道，铺设120120米后，为米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加量比原计划增加20%20%，结果共用了，结果共用了2727天完成了这一任务，求原天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？计划每天铺设管道多少米？【规范解答【规范解答】设原计划每天铺设管道设原计划每天铺设管道x x米，米，1 1分分则则 =27=27，4 4分分解得解得x=x=_. . 7 7分分经检验，经检验，x=x=_是原方程的根是原方程的根. . 9 9分分答：原计划每天铺设管道答：原计划每天铺设管道_米米. . 1010分分120300 120 xx(120%)101010101010【自主归纳【自主归纳】列分式方程解应用题的六个步骤列分式方程解应用题的六个步骤1.1.审题审题找找_; ;2.2.设未知数设未知数_设法与设法与_设法；设法；3.3.根据等量关系根据等量关系, ,_; ;4.4.解方程解方程, ,得未知数的值；得未知数的值；5.5.先检验是否有增根先检验是否有增根, ,再看是否再看是否_; ;6.6.写出答案写出答案. .等量关系等量关系直接直接间接间接列出方程列出方程符合题意符合题意【对点训练【对点训练】6.6.（20122012青岛中考）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她青岛中考）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约去时经过环湾高速公路，全程约8484千米千米. .返回时经过跨海大桥返回时经过跨海大桥, ,全程约全程约4545千米，小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的千米，小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.21.2倍，倍，所用时间却比返回时多所用时间却比返回时多2020分钟，求小丽所乘汽车返回时的平均分钟，求小丽所乘汽车返回时的平均速度速度. .【解析【解析】设小丽所乘汽车返回时的平均速度是设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x x千米千米/ /时，时，根据题意得：根据题意得：解得解得x=75,x=75,经检验，经检验，x=75x=75是原方程的解是原方程的解. .答：小丽所乘汽车返回时的平均速度是答：小丽所乘汽车返回时的平均速度是7575千米千米/ /时时. .844520,1.2xx607.7.（20122012北京中考）据林业专家分析，树叶在光合作用后产北京中考）据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年平均滞尘量比一片国槐树空气的作用已知一片银杏树叶一年平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的叶一年的平均滞尘量的2 2倍少倍少4 4毫克，若一年滞尘毫克，若一年滞尘1 0001 000毫克所毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘需的银杏树叶的片数与一年滞尘550550毫克所需的国槐树叶的片数毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量【解析【解析】设一片国槐树叶一年平均滞尘量为设一片国槐树叶一年平均滞尘量为x x毫克，毫克，则一片银杏树叶一年平均滞尘量为（则一片银杏树叶一年平均滞尘量为（2x-42x-4）毫克）毫克. .由题意得：由题意得： ，解得：，解得：x=22,x=22,检验：将检验：将x=22x=22代入代入x,(2x-4)x,(2x-4)中中, ,均不等于零均不等于零, ,则则x=22x=22为原方程的根为原方程的根. .答答: :一片国槐树叶一年平均滞尘量为一片国槐树叶一年平均滞尘量为2222毫克毫克. .1 0005502x4x8.8.（20122012临沂中考）某工厂加工某种产品机器每小时加工临沂中考）某工厂加工某种产品机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2 2倍多倍多9 9件，若加工件，若加工1 8001 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的间的 倍，求手工每小时加工产品的数量倍，求手工每小时加工产品的数量37【解析【解析】设手工每小时加工产品设手工每小时加工产品x x件，则机器每小时加工件，则机器每小时加工产品（产品（2x+92x+9）件，）件，根据题意可得：根据题意可得： ，解得，解得x=27x=27，经检验，经检验，x=27x=27是原方程的解是原方程的解. .答：手工每小时加工产品答：手工每小时加工产品2727件件1 80031 800 x72x9【特别提醒【特别提醒】列分式方程解应用题的分析方法列分式方程解应用题的分析方法列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的思考方法与步骤列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的思考方法与步骤基本相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、基本相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答检验、作答. .不同点是：一是列分式方程解应用题是用分式表示不同点是：一是列分式方程解应用题是用分式表示数量间的等量关系；二是列分式方程解应用题必须要验根，即数量间的等量关系；二是列分式方程解应用题必须要验根，即要看原方程是否有增根，原方程的增根应舍去要看原方程是否有增根，原方程的增根应舍去. .
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