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20112011考纲下载考纲下载1 1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性断一些简单函数的奇偶性2 2掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并熟练地利用对掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题称性解决函数的综合问题 新课标新课标考试大纲考试大纲把函数的奇偶性又提到与函数的单把函数的奇偶性又提到与函数的单调性同等地位，因此，函数的奇偶性在新高考中占有重要调性同等地位，因此，函数的奇偶性在新高考中占有重要的地位，成为新的热点，在命题时主要是与函数的概念、的地位，成为新的热点，在命题时主要是与函数的概念、图象、性质综合在一起考查而近几年的高考中加大了对图象、性质综合在一起考查而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性，周期性的考查非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性，周期性的考查力度力度. 请注意请注意! ! 1 1奇函数、偶函数、奇偶性奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数对于函数f f( (x x) )，其定义域关于原点对称：，其定义域关于原点对称： 如果对于函数定义域内任意一个如果对于函数定义域内任意一个x x，都有，都有f f( (x x) )f f( (x x) )，那么函数，那么函数f f( (x x) )就是奇函数；就是奇函数； 如果对于函数定义域内任意一个如果对于函数定义域内任意一个x x，都有，都有f f( (x x) )f f( (x x) )，那么函数，那么函数f f( (x x) )就是偶函数；就是偶函数； 如果一个函数是奇函数如果一个函数是奇函数( (或偶函数或偶函数) )，则称这个函数在其定义域内具，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性有奇偶性课前自助餐课前自助餐课本导读课本导读 2 2证明函数奇偶性的方法步骤证明函数奇偶性的方法步骤 确定函数定义域关于确定函数定义域关于原点原点对称；对称； 判定判定f f( (x x) )f f( (x x)()(或或f f( (x x) )f f( (x x)，从而证得函数是奇，从而证得函数是奇( (偶偶) )函函数数 3 3奇偶函数的性质奇偶函数的性质 奇函数图象关于奇函数图象关于原点原点对称，对称， 偶函数图象关于偶函数图象关于y y轴轴对称；对称； 若奇函数若奇函数f f( (x x) )在在x x0 0处有意义，则处有意义，则f f(0)(0)0 0； 奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性一致一致； 偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反相反 若函数若函数f f( (x x) )为偶函数，则为偶函数，则f f( (x x) )f f(|(|x x|)|)，反之也成立，反之也成立 4 4周期函数周期函数 若若f f( (x x) )对于定义域中任意对于定义域中任意x x均有均有f f( (x xT T) )f f( (x x) )( (T T为不等于为不等于0 0的常数的常数) )，则，则f f( (x x) )为周期函数为周期函数 1 1对任意实数对任意实数x x，下列函数中的奇函数是，下列函数中的奇函数是( () ) A Ay y2 2x x3 3B By y3 3x x2 2 C Cy yln5ln5x x D Dy y| |x x|cos|cosx x 答案答案C C 2 2若函数若函数y yf f( (x x)()(x xR)R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y yf f( (x x) )图象上的是图象上的是 ( () ) A A( (a a，f f( (a a) B) B( (a a，f f( (a a) C C( (a a，f f( (a a) D) D( (a a，f f( (a a) 答案答案B B 4 4(2010(2010广东卷广东卷) )若函数若函数f f( (x x) )3 3x x3 3x x与与g g( (x x) )3 3x x3 3x x的定义域均为的定义域均为R R，则则( () ) A Af f( (x x) )与与g g( (x x) )均为偶函数均为偶函数 B Bf f( (x x) )为偶函数，为偶函数，g g( (x x) )为奇函数为奇函数 C Cf f( (x x) )与与g g( (x x) )均为奇函数均为奇函数 D Df f( (x x) )为奇函数，为奇函数，g g( (x x) )为偶函数为偶函数 答案答案B B 解析由解析由f f( (x x) )3 3x x3 3x xf f( (x x) )可知可知f f( (x x) )为偶函数，由为偶函数，由g g( (x x) )3 3x x3 3x x(3(3x x3 3x x) )g g( (x x) )可知可知g g( (x x) )为奇函数为奇函数 5 5(2010(2010安徽卷安徽卷) )若若f f( (x x) )是是R R上周期为上周期为5 5的奇函数，且满足的奇函数，且满足f f(1)(1)1 1，f f(2)(2)2 2，则，则f f(3)(3)f f(4)(4)( () ) 答案答案A A 解析由于函数解析由于函数f f( (x x) )的周期为的周期为5 5，所以，所以f f(3)(3)f f(4)(4)f f( (2)2)f f( (1)1)，又，又f f( (x x) )为为R R上的奇函数，上的奇函数，f f( (2)2)f f( (1)1)f f(2)(2)f f(1)(1)2 21 11.1.题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性授人以渔授人以渔 探究探究1 1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断间，再判断f f( (x x) )是否等于是否等于f f( (x x) ) (2)(2)图象法：奇图象法：奇( (偶偶) )函数的充要条件是它的图象关于原点函数的充要条件是它的图象关于原点( (或或y y轴轴) )对称对称 (3)(3)性质法：偶函数的和、差、积、商性质法：偶函数的和、差、积、商( (分母不为零分母不为零) )仍为偶函数；奇函数仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇的和、差仍为奇函数；奇( (偶偶) )数个奇函数的积、商数个奇函数的积、商( (分母不为零分母不为零) )为奇为奇( (偶偶) )函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数( (注：利用上述结论时要注：利用上述结论时要注意各函数的定义域注意各函数的定义域) ) 思考题思考题1 1判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性p(2)g(x)(2)g(x)的定义域为的定义域为R Rp当当a a0 0时，时，g(x)g(x)x x2 2|x|x|pg(g(x)x)( (x)x)2 2| |x|x|x x2 2|x|x|g(x)g(x)p此时此时g(x)g(x)为偶函数为偶函数p当当a0a0时，时，g(a)g(a)a a2 2，g(g(a)a)a a2 22|a|2|a|p显然显然g(a)g(g(a)g(a)a)，g(a)g(a)g(g(a)a)p此时此时g(x)g(x)既不是奇函数，也不是偶函数既不是奇函数，也不是偶函数题型二题型二 奇偶性的应用奇偶性的应用 (3)(3)f f( (x x1)1)为偶函数为偶函数 函数函数g g( (x x) )f f( (x x1)1)的图象关于直线的图象关于直线x x0 0对称对称 又函数又函数f f( (x x) )的图象是由函数的图象是由函数g g( (x x) )f f( (x x1)1)的图象向右平移一个单位而得的图象向右平移一个单位而得 函数函数f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x1 1对称对称 探究探究2 2奇偶函数的性质主要体现在奇偶函数的性质主要体现在 若若f f( (x x) )为奇函数，则为奇函数，则f f( (x x) )f f( (x x) ) 若若f f( (x x) )为偶函数，则为偶函数，则f f( (x x) )f f( (x x) ) 奇偶函数的对称性奇偶函数的对称性 奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 思考题思考题2(1)若函数若函数f(x)是是R上的偶函数，且在上的偶函数，且在0，)上是减函数，满上是减函数，满足足f()f(a)的实数的实数a的取值范围是的取值范围是_ 【解析解析】若若a0，f(x)在在0，)上是减函数，且上是减函数，且f()f(a)，得，得a. 若若a0，f()f(), 则由则由f(x)在在0，)上是减函数，得知上是减函数，得知f(x)在在(，0上是增函数上是增函数 由于由于f() 即即a0. 由上述两种情况知由上述两种情况知a(，) 【答案答案】(，) (2)函数函数yf(x2)为奇函数，则函数为奇函数，则函数yf(x)的图象的对称中心为的图象的对称中心为_ 【解析解析】f f( (x x2)2)为奇函数为奇函数 f f( (x x2)2)的图象的对称中心为的图象的对称中心为(0,0)(0,0) 又又f f( (x x) )的图象可由函数的图象可由函数f f( (x x2)2)的图象向左平移两个单位而得的图象向左平移两个单位而得 f f( (x x) )的图象的对称中心为的图象的对称中心为( (2,0)2,0) 题型三题型三 函数的周期性函数的周期性 例例3 3(09(09山东山东) )已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f f( (x x) )满足满足f f( (x x4)4)f f( (x x) )，且，且在区间在区间0,20,2上是增函数若方程上是增函数若方程f f( (x x) )m m( (m m0)0)在区间在区间 8,88,8上有四上有四个不同的根个不同的根x x1 1，x x2 2，x x3 3，x x4 4，则，则x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4_ 【解析解析】由由f f( (x x4)4)f f( (x x) )f f(4(4x x) )f f( (x x) )，故函数图象关于直线，故函数图象关于直线x x2 2对称，又函数对称，又函数f f( (x x) )在在0,20,2上是增函数，且为奇函数，故上是增函数，且为奇函数，故f f(0)(0)0 0，故，故函数函数f f( (x x) )在在(0,2)(0,2)上大于上大于0 0，根据对称性知函数，根据对称性知函数f f( (x x) )在在2,42,4上大于上大于0 0，同，同理推知函数理推知函数f f( (x x) )在在4,84,8上小于上小于0 0，故在区间，故在区间0,80,8上方程上方程f f( (x x) )m m( (m m0)0)的两根关于直线的两根关于直线x x2 2对称，故此两根之和等于对称，故此两根之和等于4 4，根据，根据f f( (x x4)4)f f( (x x) )f f( (x x8)8)f f( (x x4)4)f f( (x x) )，函数，函数f f( (x x) )以以8 8为周期，故在区间为周期，故在区间( (8,0)8,0)上方程上方程f f( (x x) )m m( (m m0)0)的两根关于直线的两根关于直线x x6 6对称，此两根之和等于对称，此两根之和等于1212，综上四个根之和等于，综上四个根之和等于8.8. 【答案答案】8 8 探究探究3 3证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义。证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义。 若函数若函数f f( (x x) )对任意对任意x x满足满足f f( (x xa a) )f f( (x xb b) )，则，则f f( (x x) )为周期函数，若函为周期函数，若函数数f f( (x x) )对任意对任意x x满足满足f f( (x xa a) )f f( (b bx x) )，则函数图象为轴对称图形，则函数图象为轴对称图形 思考题思考题3 3f f( (x x) )的定义域为的定义域为R R的奇函数，且图象关于直线的奇函数，且图象关于直线x x1 1对称，试对称，试判断判断f f( (x x) )的周期性的周期性 【答案答案】T T4 4【答案答案】T T2 2 求求x x5,75,7时，时，f f( (x x) )的解析式的解析式 【解析解析】解析一解析一f f( (1 1x x) )f f(1(1x x) ) f f( (x x) )f f(2(2x x) )，f f( (x x) )为周期函数，为周期函数，T T2 2 f f( (x x) )为偶函数为偶函数 x x1,01,0时，时，x x0,10,1f f( (x x) )f f( (x x) )x x1 1 x x5,65,6时，时，x x661,01,0f f( (x x) )f f( (x x6)6)( (x x6)6)1 1x x5 5x x6,76,7时，时，x x60,160,1f f( (x x) )f f( (x x6)6)( (x x6)6)1 1x x7 7 思考题思考题4 4已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f f( (x x) )是偶函数，对是偶函数，对x xRR，f f(2(2x x) )f f(2(2x x) )，当，当f f( (1)1)2 2时，时，f f(2011)(2011)的值为的值为_ 【解析解析】因为定义在因为定义在R R上的函数上的函数f f( (x x) )是偶函数，所以是偶函数，所以f f(2(2x x) )f f(2(2x x) )f f( (x x2)2)，故函数，故函数f f( (x x) )是以是以4 4为周期的函数，所以为周期的函数，所以f f(2011)(2011)f f( (1 14 4503)503)f f( (1)1)2.2. 【答案答案】2 2本课总结本课总结
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