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黄岩实验中学黄岩实验中学 蒋良云蒋良云一、中小学应用题教学方法的侧重点不同一、中小学应用题教学方法的侧重点不同如：七年级教学内容中有一节列一元一次方程解应用如：七年级教学内容中有一节列一元一次方程解应用题，当你讲完这一课后，在投影上显示出一个练习题：题，当你讲完这一课后，在投影上显示出一个练习题：“比一个数的比一个数的2倍小倍小3的数等于的数等于5，这个数是多少？，这个数是多少？”列出算式：（列出算式：（5+3）2=4行程问题行程问题二、算术解与列方程解应用题的联系与区别二、算术解与列方程解应用题的联系与区别54甲、乙两辆汽车从相距甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的 ，甲车每小，甲车每小时行多少千米？时行多少千米？甲、乙两辆汽车从相距甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的 ，甲车每小，甲车每小时行多少千米？时行多少千米？54甲、乙两辆汽车从相距甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的 ，甲车每小，甲车每小时行多少千米？时行多少千米？5454甲、乙两辆汽车从相距甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的 ，甲车每小，甲车每小时行多少千米？时行多少千米？例如：甲、乙两个工程队共有例如：甲、乙两个工程队共有338人，现抽调人，现抽调甲队人数的甲队人数的 ，乙队人数的，乙队人数的 共抽调共抽调78人人就可完成任务，甲、乙工程队原来各有多少人？就可完成任务，甲、乙工程队原来各有多少人？工程问题：工程问题：3171例如：甲、乙两个工程队共有例如：甲、乙两个工程队共有338人，现抽调人，现抽调甲队人数的甲队人数的 ，乙队人数的，乙队人数的 共抽调共抽调78人人就可完成任务，甲、乙工程队原来各有多少人？就可完成任务，甲、乙工程队原来各有多少人？3171这两种方法是有区别这两种方法是有区别和联系和联系的：的：（一）解法的区别与联系（一）解法的区别与联系（二）思路上的比较（二）思路上的比较例例 2台大收割机和台大收割机和5台小收割机同时工作台小收割机同时工作2小时共收割小小时共收割小麦麦3.6hm ,3台大收割机和台大收割机和2台小收割机同时工作台小收割机同时工作5小时共小时共收割小麦收割小麦8hm。1台大收割机和台大收割机和1台小收割机每小时各收台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？割小麦多少公顷？例例 2台大收割机和台大收割机和5台小收割机同时工作台小收割机同时工作2小时共收小时共收割小麦割小麦3.6hm ,3台大收割机和台大收割机和2台小收割机同时工作台小收割机同时工作5小时共收割小麦小时共收割小麦8hm。1台大收割机和台大收割机和1台小收割台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？机每小时各收割小麦多少公顷？解：设解：设1台大收割机和台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦台小收割机每小时各收割小麦xhm和和yhm.根据两种工作方式中的相等关系，得方程组根据两种工作方式中的相等关系，得方程组 2(2x+5y)=3.6 5(3x+2y)=8 解得解得 x=0.4 y=0.2 答：答：1台大型收割机工作台大型收割机工作1小时收割小麦小时收割小麦0.4公顷，公顷，1台小型收割机工作台小型收割机工作1小时收割小麦小时收割小麦0.2公顷公顷三、如何做好两者之间的衔接呢？三、如何做好两者之间的衔接呢？（一）应用题解答方式的过渡与衔接（一）应用题解答方式的过渡与衔接用算术方法与列方程方法解应用题之间有着密切的内在用算术方法与列方程方法解应用题之间有着密切的内在联系，也就是多种类型的应用题的基本关系不变，但他联系，也就是多种类型的应用题的基本关系不变，但他们的思维方法各异。算术方法求解是逆推求解，而列方们的思维方法各异。算术方法求解是逆推求解，而列方程方法求解是顺向推导求解。程方法求解是顺向推导求解。（二）教学方法的衔接（二）教学方法的衔接 在小学时由于小学生学习能力低，教师讲得细，练得多，在小学时由于小学生学习能力低，教师讲得细，练得多，直观性强；到了初中，学科增多，相对来说教师要讲得精，直观性强；到了初中，学科增多，相对来说教师要讲得精，练得少，抽象性比较强。从实际情况看，小学生是以机械练得少，抽象性比较强。从实际情况看，小学生是以机械记忆、直观形象思维为主。记忆、直观形象思维为主。 学生由于受思维定势的影响，用方程思想常感到不学生由于受思维定势的影响，用方程思想常感到不习惯，为了解决这个问题，在实际教学中，必须做到：习惯，为了解决这个问题，在实际教学中，必须做到：一是一是引导引导学生复习小学数学应用题中学生复习小学数学应用题中常见的数量关系常见的数量关系，二是着眼二是着眼启发启发学生学生找等量关系找等量关系，并有意识地指导学生将，并有意识地指导学生将两种方法进行对比，通过对比使学生体会到设未知数列两种方法进行对比，通过对比使学生体会到设未知数列方程这种方法的优越性，从而使学生逐步从算术方法中方程这种方法的优越性，从而使学生逐步从算术方法中解脱出来。解脱出来。形式变化形式变化：字母表示未知量，等式两边可有已：字母表示未知量，等式两边可有已知量也可有未知量知量也可有未知量思维变化思维变化：等号单向的程序性思维向等号双向：等号单向的程序性思维向等号双向的结构性思维转变的结构性思维转变本质飞跃本质飞跃；将算术解法抽象的思维过程转化为；将算术解法抽象的思维过程转化为解方程直观符号操作解方程直观符号操作有种设想是，有种设想是， 完全抛弃算术方法解应用题，一完全抛弃算术方法解应用题，一开始就向小学生介绍方程解法。开始就向小学生介绍方程解法。 事实证明，这样事实证明，这样学习的代数将成无源之水！正如双脚走路是基础，学习的代数将成无源之水！正如双脚走路是基础，驾驶汽车不能取代走路。驾驶汽车不能取代走路。 你总不能把车停在床边。你总不能把车停在床边。 你总要走到车库里去嘛！实际上，列方程时的数你总要走到车库里去嘛！实际上，列方程时的数学思维，学思维， 主要还是用的算术方法。没有算术的第主要还是用的算术方法。没有算术的第一步，一步， 就难有代数的第二步。如果使得算术与代就难有代数的第二步。如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。那么代数也是很难学好的。从算术向代数过渡，是学生从算术向代数过渡，是学生数学数学学习过程中极学习过程中极为重要的转变阶段算术中的基本对象是数，包为重要的转变阶段算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。算等。算术模型是一串算术模型是一串“数字数字”的运算流程。代的运算流程。代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。的基本对象：符号。代数模型是方程或函数，代数模型是方程或函数， 包含未知数符号的等式关系。包含未知数符号的等式关系。 例例1、队伍出发、队伍出发2小时后，发现一份文件遗忘在营地，小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进7千千米，通信员每小时比队伍多行米，通信员每小时比队伍多行5千米，那么，通信员离千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？开队伍后经过多长时间又追上队伍？代数模型的核心思想是代数模型的核心思想是“文字参与运算文字参与运算”。 一个习惯的说法是：一个习惯的说法是：“代数就是用文字代表数代数就是用文字代表数”。 其实不然。其实不然。 小学小学里讲乘法的交换律，就写了里讲乘法的交换律，就写了AB AB =BA, =BA, 这里，这里， 用用A,BA,B代表任意的自然数，代表任意的自然数， 可是和可是和代数无关。代数的实质是用文字代表未知数，而代数无关。代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的且由文字代表的“未知数未知数”和已知数可以进行运和已知数可以进行运算，即进行算，即进行“式式”的运算。的运算。学生从学生从“数的运算数的运算”过渡到过渡到“式的运算式的运算”， 好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。 代数运算的通性通法，代数运算的通性通法， 取得了极高的思维取得了极高的思维效率。但是，效率。但是， 人不能每时每刻都在坐车，人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、走路仍然是必须的、 基本的。这就是说，基本的。这就是说，算术方法依然有其重要的存在价值。算术方法依然有其重要的存在价值。例例1 1 用用100100元钱买元钱买8 8元一本的书和元一本的书和4 4元一本的元一本的书共书共1717本，你知道两种书各有多少本吗？本，你知道两种书各有多少本吗？（1 1）利用算术的方法：）利用算术的方法：解法一：解法一：(8(81717100)100)(8(84)=364)=364=94=9，17-17-9=89=8解法二：解法二：(100(1004 417)17)(8-4)=32(8-4)=324=84=8，17-8=917-8=9解法三：若解法三：若100100元钱都买元钱都买4 4元一本的书，可以买元一本的书，可以买1001004=254=25（本）少买（本）少买2 2本本4 4元的书，就可以买一元的书，就可以买一本本8 8元的书，因此可以列出如表元的书，因此可以列出如表1 1所示的数目与价所示的数目与价值关系表值关系表只有买只有买4 4元的书元的书9 9本，本，8 8元的书元的书8 8本才合题意本才合题意（2 2）利用代数的方法，可以设买）利用代数的方法，可以设买8 8元一本的书元一本的书x x本，本，4 4元一本的书元一本的书y y本，列方程组本，列方程组利用消元法，解得利用消元法，解得x=8x=8，y=9y=9打个比方，打个比方， 如果未知数在对岸，如果未知数在对岸， 那么算术方那么算术方法，法， 好象摸着石头过河找到未知数，好象摸着石头过河找到未知数， 代数方法代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。的思考方向刚好相反。（3 3）从解决问题方法多样性的角度来看，算术）从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径但是从思维发展的角度来说，代数的思考是径但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，是通性通法，属于较高层次的思维按照维果茨是通性通法，属于较高层次的思维按照维果茨基（基（VygotskyVygotsky，19621962）的说法，代数对算术就像）的说法，代数对算术就像书面语言对口头语言因此，我们的教学应该引书面语言对口头语言因此，我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平。逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平。2 2 算术方法在应用题求解中的独特作用算术方法在应用题求解中的独特作用在面对现实问题时，在面对现实问题时， 我们首先使用算术方法思我们首先使用算术方法思维。简单的问题用算术模型就解决了。维。简单的问题用算术模型就解决了。 例如我例如我们到商场购物，自然用算术方法计算付款找零。们到商场购物，自然用算术方法计算付款找零。这是一切数学问题求解的基础。这是一切数学问题求解的基础。 对于比较复杂对于比较复杂的应用性问题，代数方法开始显示优势，的应用性问题，代数方法开始显示优势， 但是但是算术方法在训练学生独特思维，承担分析数量关算术方法在训练学生独特思维，承担分析数量关系的基础方法上，其作用仍然不可替代。以大家系的基础方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我国古代数学名题熟悉的我国古代数学名题“鸡兔同笼鸡兔同笼”为例来说为例来说明。明。“今有鸡兔同笼，上有今有鸡兔同笼，上有3535头，下有头，下有9494脚，问鸡脚，问鸡兔各几何兔各几何? ?”这一问题的代数模型是解二元一次联立方程。这一问题的代数模型是解二元一次联立方程。小学小学生不可能用这样高年级才能掌握生不可能用这样高年级才能掌握数学数学知识来知识来解题。解题。 即使成人已经掌握了求解联立方程的知即使成人已经掌握了求解联立方程的知识和技能，识和技能， 也喜欢用算术模型来求解。也喜欢用算术模型来求解。总结：算术方法与方程的比较总结：算术方法与方程的比较一、算术方法相对较难，原因有二：一、算术方法相对较难，原因有二：1、思考量集中，列式的过程往往包括解、消元的步骤；、思考量集中，列式的过程往往包括解、消元的步骤；2、对具体问题、特殊技巧的依赖性大，通用性差。、对具体问题、特殊技巧的依赖性大，通用性差。 方程方法相对简单，原因在于：方程方法相对简单，原因在于：
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