D113一阶线性

一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第十一章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:(1) )()(ddxqyxpxy 若 q(x) 0, 若 q(x) 0, 称为称为非齐次线性方程非齐次线性方程 .称为称为齐次线性方程齐次线性方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(ddyxpxy1. 解齐次线性方程解齐次线性方程分离变量xxpyyd)(d两边积分得Cxxpylnd)(ln 故通解为xxpeCyd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()(dxxpxveey即2. . 解非齐次线性方程解非齐次线性方程).()(xqyxpdxdy讨论讨论,)()(dxxpyxqydy两边积分两边积分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq为设,)()(ln dxxpxvy非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与对应齐次方程通解相比与对应齐次方程通解相比: :)(xuC )(xudxxpCey)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxpeuxpd)()(对应齐次方程通解xxpeCyd)(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxpCed)(2. 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxqyxpxy用用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxpexuxy则xxpeud)()(xpxxpeud)()(xq故原方程的通解xexqexxpxxpd)(d)(d)(d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxpy或即作变换xxpexqxud)()(ddCxexquxxpd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .)()(xyxu原未知函数新未知函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1dexxy1dindsexxxCxx( )d( )de( )edp xxp xxyq xxClnlnsineedxxxxCx1( cos)xCxCxxxdsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用用常数变易法常数变易法求特解求特解. 令令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 d()()deedyyyxyC11 eedyyyyCe1yCy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求微分方程求微分方程 的通解的通解.)0( 0)(3ydyyxydx对于未知函数对于未知函数x ( y 为自变量为自变量)来说，所给方程就是一来说，所给方程就是一阶线性非齐次方程，对未知函数阶线性非齐次方程，对未知函数 x 的一阶线性非齐次的一阶线性非齐次方程方程0dd3yyxyx) 1 ( ,1dd 2yxyyx即对于未知函数对于未知函数 y，它不是线性方程，但是方程可，它不是线性方程，但是方程可改写为改写为解解: 原方程可写为原方程可写为0dd3yxyxy的通解公式为的通解公式为 )()(ddyqxypyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 de)(ed)(d)(Cyyqxyypyyp 方程方程(1)中，中， 代入上式，即得所代入上式，即得所求上述方程的通解为求上述方程的通解为2)(,1)( yyqyyp Cyyxyyyydeed2d11)de(eln2lnCyyyy)d(12Cyyyy).4(14Cyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: :解解: :于是于是, 0)ln(ln dxxyxdyx. 1 exy将方程标准化为将方程标准化为,1ln1xyxxy Cdxexeyxxdxxxdxlnln1 Cdxexexxlnlnlnln1.ln21ln12 Cxx故所求特解为故所求特解为由初始条件由初始条件, 1 exy得得,21 C.ln1ln21 xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 ddvmmgkvtddvkvgtm机动 目录 上页 下页 返回 结束 ddeedkkttmmvCgtektmmgCk机动 目录 上页 下页 返回 结束 0( )(0)1edkttmmgx txtk1ektmmgmtkk机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利( Bernoulli )方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddyxqyxpxyy以)()(dd1xqyxpxyy令,1 yzxyyxzdd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxqzxpxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求解微分方程求解微分方程2222xxexyyy 解：解：1221 yxexyyx,)(211yyz 令,dxdyydxdz2 则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 原方程变形为).(Cxex 222机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 一阶线性方程)()(ddxqyxpxy方法1 先解对应的齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式 Cxexqeyxxpxxp d)(d)(d)(,1 yu令化为线性方程求解.2. 伯努利方程yxqyxpxy)()(dd)1,0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设函数设函数)(xf可微且满足关系式可微且满足关系式 xxfdttf0, 1)(1)(2求求).(xf解解: : 原方程两边对原方程两边对x求导得求导得),()(xfxf 12即即,)()(12 xfxf其通解为其通解为,)(xCexf221 代入初始条件代入初始条件, 1)0( f得得,21 C从而所求的函数为从而所求的函数为).1(21)(2xexf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解: 1) 先解定解问题先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齐次线性方程的通解为) 1(2xeCyx利用衔接条件得) 1(22eC因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原问题的解为y10),1 (2xex1,) 1(2xeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 P439 1 (1) , (3) , (5) ; 2 (1) ; 3 ; 5 (1) , (3) 作作 业业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .