学而思_小升初专项训练_工程篇_教师版

学习改变命运，思考成就未来！测试 （工程篇）时间： 15 分钟满分 5 分姓名 _测试成绩 _1原计划18 个人植树，按计划工作了2 小时后，有3 个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务. 原计划每人每小时植_棵树 .2一项工程，甲做10 天乙 20 天完成，甲15 天乙 12 也能完成。现乙先做4 天，问甲还要多少天完成？3一部书稿，甲单独打字要 14 小时完成，乙单独打字要 20 小时完成。如果先由甲打 1 小时，然后由乙接替甲打 1 小时，再由甲接替乙打 1 小时， 两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？4如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1 小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1 小时分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1 小时 15 分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要_ 小时。205一项工程，预计15个工人每天做4 个小时，18 天可以完成。为了赶工期，增加3 人并且每天工作时间增加 1 小时，可以提前_天完工。学习改变命运，思考成就未来！【附答案】1【解】： 3 人 被抽走后，剩下15 人都多植树1 棵，这样每小时都总共多植树15 棵树，因为还是按期完成任务，所以这15 棵树肯定是3 人原来要种的，所以原来每人要植树15 3=5 棵。2【解】：甲 10 天 +乙 20 天 =1；甲天，等式两端消去相等的工作量得：乙15 天+乙8 天=甲12 天 =1，所以工作量：甲10 天 +乙 20 天 =甲 15 天+乙 125 天，即乙工作8 天的工作量让甲去做只要5 天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+125 =22.5天。现在乙了4 天就相当于甲做了45 =2.5天，所以甲还要88做20 天。3 【解】：甲的工作效率 = 1 ，乙的工作效率 = 1 ，合作工效 = 17 ，甲乙交替工作相当于甲乙一起1420140合作 1 小时，这样 1 17 = 140 =84 ，所以合作了8 小时，这样还剩下4 就是甲做的，所以甲还要140171717做 4 1 =3 5 ，所以两人总共作了8+8+ 5 小时。171417174【解】：方法一：（编者推荐用法）甲、乙、丙60 分钟可以灌满，甲、乙两管80 分钟可以灌满，乙、丙两根水管75 分钟可以灌满；这样我们先找出60、80、 75 的最小公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有 1200 份，这样甲、乙、丙每分钟灌1200 60=20 份，甲、乙每分钟灌120080=15 份，乙、丙每分钟灌120075=16 份，所以乙每分钟灌15+16-20=11份，这样乙单独灌水要1200 11= 1200分钟。11方法二：设工作效率求解，省略。5【解】：假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15 4 18=1080 份，增加那么需要的时间=1080（ 15+3） (4+1)=12 天，所以提前6 天完成。3 人每天增加1 小时，学习改变命运，思考成就未来！第七讲小升初专项训练工程篇希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！一、小升初考试热点及命题方向罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4 天完成；若甲先做2 天后，再和乙一起做，则共用7 天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？答案：设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4 天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2 天。另外，已知甲先做2 天，然后与乙合作，7 天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2 天，那么很明显，甲在7 天中正好完成了工程的一半，而乙在5 天中也完成了工程的一半。这样，甲单独完成要14 天，乙单独完成要10 天。工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。二、 2007 年考点预测7 年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。三、知识要点在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量） 。【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：深刻理解公式的用工作效率工作时间工作总量；法！工作总量工作时间工作效率；工作总量工作效率工作时间。为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。（ 1）工效提高了 a%,工作总量不变的前提下， 工时则变为原来的 100/(100+a) 。时间缩短了 a/(100+a) 。（ 2）工效降低了 a%,工作总量不变的前提下， 工时则变为原来的 100/(100-a) 。时间延长了 a/(100-a) 。(3)工效提高了 a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的a/(a+b) 。时间缩短了 b/(a+b)。(4)工效降低了 a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的b / （ b-a ）。时间延长了 a/(b-a)。(5)当出现甲工作了一段时间a，乙工作了一段时间 b，则通常是把条件处理为甲乙和干了a（或 b 时间）后甲单干（ a-b ）（或乙单干（ b-a ）段时间）学习改变命运，思考成就未来！四、典型例题解析1 涉及二者的工程问题【例 1】（）一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做天，这样用了 4.5 天才完成任务。乙因病休息了几天？12 天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几【解】：方法一： 4.5 天甲完成了4.5 6=3/4 ，乙完成了1/4 ，需要（ 1/4 ）（ 1/12 ） =3 天，所以乙休息了 4.5-3=1.5 天。方法二：假设乙没休息，这样两人4.5 天总共完成4.5 （ 11） =9 ，而总工作量只有1，所以多出6128来的 1 就是乙休息时间里做的，所以乙休息了1 1 =1.5 天。8812【答】：乙休息了1.5 天。【例 2】（）有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了 4 小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40 分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的 3 倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？【解】： 40 分钟2 小时，乙车间一共比甲车间少用了31小时，乙车间的效率是甲车间的3 倍，乙比甲33少工作 4 2 3 1 小时，但都完成了 120 个零件。 如果乙和甲的时间是一样的话，那么乙就会多完成240333 1 小时内可做 2402403 1 72个零件，也就是说乙在个零件，所以乙每小时完成的零件个数为个，33甲每小时完成72 3 24 个零件。【答】：甲每小时能加工24 个零件。2 涉及三者的工程问题【例 3】（）一项工程，甲队单独做24 天完成，乙队单独做30 天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6 天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？【解】：方法一：设工作总量为24 ，30 120 单位，则甲队每天完成240 24=5 单位，乙队每天完成240 30=4 单位。前 8 天，甲、乙两队共完成（5 4） 8 72 单位，则丙6 天完成 120 72 48 单位，丙每天完成 48 6 8 单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，需要1208 15 天。方法二：甲工作效率为1/24 ，乙的工作效率为 1/30 ，这样甲乙合作8 天完成的工作量为（ 1/24+1/30）8=9/15 ，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6 天，所以丙的工作效率为6/15 6=1/15 ，所以丙要做 15 天。【答】：如果从开始让丙队独做，需要15天。学习改变命运，思考成就未来！【例 4】（）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12 天完成。甲工程队工作3 天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3 天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？【解】：可以看作是甲、 乙、丙三个工程队合作了3 天，干完了工程的一半。 因为甲乙合作需要12 天完成，所以甲乙两队合作 3 天共完成了全部工程的3 1 。可以算出丙队 3 天完成的工作量是 11 1 。则剩下的124244一半工程，丙队需要独做6 天才能完成。【答】：还需要 6 天。【例5】（）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8 个零件，共用了15 天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工 4 个零件，这样用了12 天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？【解】：由题意知徒弟每天加工零件8 4 12个。设工作总量为 12，15 60份，这样原来张、马二人的工效之和为 60 15=4 份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60 12=5 份，相差1 份，表明 1份为 12 个零件。原来两位师傅每天一共加工零件12 4 48 个，马师傅又比张师傅每天多8 个，则他每天加工（ 48 8） 2 28 个。【答】：马师傅每天加工 28 个零件。【例 6】（）有甲、乙、丙三组工人，甲组4 人的工作，乙组需要5 人来完成；乙组的3 人工作，丙组需要8 人来完成。一项工作，需要甲组13 人来完成，乙组15 人 3 天来完成。如果让丙组10 人去做，需要多少天来完成？【解】：设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为4/5 ，丙组每人每天的工作量为：4/5 3/8=3/10 。这项工作的总工作量为：（1 13+4/5 15） 3=75丙组 10 人需要干： 75 3/10 10=25（天）。3 涉及多者的工程问题【例 7】（）一项工程，45 人可以若干天完成。现在45 人工作 6 天后，调走完成这项工程就比原来计划多用了4 天。原计划完成这项工程用多少天？9 人干其他工作。这样，【解】：前6 天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要a 天完成。剩余的工作按照45 人进行和实际的 45936 人进行相差为 364 9 16 天。原计划用【答】：原计划用20 天完成。4 天，表明 36 人最后16 4 20 天。4 天的量相当于调走的那9 个人a 天的工作量。则a【例 8】（） A、B、 C、 D、E 五个人干一项工作，若 A、B、 C、 D 四人一起干需要 6 天完成；若四人干，需要 8 天完工；若 A、E 两人一起干，需要 12 天完 工。那么，若 E 一人单独干需要几天完工？【解】：可设工作总量为 6 ， 8， 12 24 单位，则 A、B、 C、 D 四人每天完成 4 单位，成 3 单位，表明 A 每天比 E 多做 1 单位；由题意又可知 A、E 两人一天完成 2 单位，则B、 C、 D、 E 四人完 A 每天完成（ 21） 2 1.5 单位， E 每天完成（ 2 1） 2 0.5 单位。那么，如果由E 一人单独做需要24 0.5 48 天。学习改变命运，思考成就未来！【答】：如果由E 一人单独做需要48 天。【例 9】（）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12 天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7 天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8 天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42 天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？【思路】：我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5 个小队效率和的2倍再加上一、 三两支小队的效率和因此，再加上一个二、四、五3 支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的 3 倍【解】：通过条件，我们有以下公式：（一二三四五）3=( 一二三 )+( 一三五 )+( 二四五 ) 2+( 一三四 ) 所以， 5 支小队效率和为：( 11121 )3112784264 水箱注水的工程问题【例 10】（）水池安装 A、 B、C、 D、 E 五根水管，有的专门放水，有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：A ，BC，DE，AD，EB，C2610315如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？答： D。提示：由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得 B E，比较第一列与第五列得 A C，比较第二列与第五列得 D B，比较第二列与第四列得 E C，比较第三列与第四列得 D A。【例 11】（）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A 和 B 注水，在相同时间内甲、乙两管注水量之比7： 5。经过 2 1 时， A、 B 两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度3提高 25，乙管的注水速度降低30 。当甲管注满A 池时，乙管还需多长时间注满B 池？【解】：因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5 不变，所以经过2 1 恰好是一池水时，甲乙水管分别3注入一池水的7 、 5 。如果注水速度不变，那么注满一池水甲、乙管分别还需1212注水速度变化后，注满一池水甲、乙水管分别还需所以，当甲水管注满A 池时，乙水管注满B 池还需学习改变命运，思考成就未来！5 较复杂的工程问题【例 12】（）一项工程，乙单独做需要 17 天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？来源：人大附测试题【解】：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。于是可表示为：竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17 天相当于甲做8.5天。【例 13】（） 有甲乙两个工程， 现分别由 A 、B 两个施工队完成。 在晴天 A 队完成工程需要 8 天， B 队完成工程需要 12 天，在雨天， A 施工队的工作效率下降 60， B 施工队的工作效率下降 20。最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？【解】： 10 天。晴天时， A 施工队比B 的工作效率高：1/8 1/12=1/24雨天时， B 施工队比A 的工作效率高：1/12（ 1 20） 1/8（ 1 60） =1/60要想两队同时完成，则由 1/24： 1/60=5/2 可知，必须是每 2 个晴天有 1/82+1/8 0.4 5=1/2 ，故整个工程共有 4 个晴天， 10 个雨天。5 个雨天，而此时完成工程的：【教师选讲】：有一个蓄水池装有9 根水管，其中一根为进水管，其余8 根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）。如果把8 根进水管全部打开，需要3 小时把池内的水全部排出；如果仅打开5 根出水管，需要6 小时把池内的水全部排光。问要想在4.5 小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？【解】：这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合。设每根出水管1 小时的排水量为单位“1”。8 根出水管3 小时共排水24 单位， 5 根出水管6 小时共排除水30 小时，表明进水管6 3 3 小时进水3024 6 单位，则进水速度为每小时2 单位，池中原有水242 3 18 或 30 2 6 18 单位。如果要在4.5 小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18 24.5 27 单位，每小时排水27 4.5 6 单位，则需要同时打开6 根出水管。【拓展】“牛吃草”问题例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24 只羊，则6 天吃完草；如果放牧21 只羊，则 8 天吃完，每天吃草的量都是相等的问：学习改变命运，思考成就未来！1、如果放牧 16 只羊，则几天可以吃完牧草？2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？【解】： 1、设草每天吃1 份。 24 只羊，则 6 天吃完草 , 说明 6 天长的草 +原来的草共24 6=144; 21只羊，8 天吃完 , 说明 8 天长的草 +原来的草共 21 8=168 份 ;所以两天长的草168-144=24份，即每天长12 份,这样原来草为 144-6 12=72 份，那么草地每天长的草够12 头羊吃一天 . 如果放 16头羊，那么 12 头够吃长出来的草，还剩下4 头吃原来的 72 份，这样可以吃18 天。2、若要牧草永远吃不完, 羊只能吃新长的草 , 所以最多只能放 12 头羊 . 补充试题 ：一块 1500 平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长。可供18 头牛吃 16 天，或是供 27 头牛吃 8 天。如果这片牧场有 6000 平方米， 6 天中最多可供几头牛吃？【解】：设每天吃 1 份，这样 18 头牛吃 16 天共 18 16=288 份，供 27 头牛吃 8 天共 216 份，多出来 288-216=72份就是 8 天多长出来的，所以每天草长 9 份，这样原来草总共是 288-9 16=144 份，现在牧场有 6000 平方米，所以是原来的 4 倍，所以现在草有 144 4=576，每天长 36 份，这样每天新长的草要 36 头牛吃，而原来的草要吃 6 天，要 576 6=96 头牛，所以总共要 132 头牛。【课外知识】牛吃草问题由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是负天）。如果公司聘任名打字员， 24 天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9 名打字员， 12 天就恰好打完所有材料。公司聘任了苦干名打字员，工作8 天之后，由于业务减少，每大新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用 40 天才恰好完成打字工作。问：公司聘任了多少名打字员？【分析】解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量。其解法和解决牛吃草问题类似。【解】设每个打字员1 天打字为1，则 5 名打字员24 天打了 524 120，9 名打字员12 天打了912 108。5材料每天增加（120 108）（ 24 12） l 。原有材料120241 96。40 天实际材料总量9618（ 40 8） 12 120。打字员人数12040 3（人）。答：公司聘任了3 名打字员。【评注】本例把聘任制问题迁移到牛吃草问题中，这种简便新颖的解法令人拍案叫绝！学习改变命运，思考成就未来！小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）涉及二者的工程问题参见例 1， 22）涉及三者的工程问题参见例 3， 4， 5，63）涉及多者的工程问题参见例 7， 8， 94）水箱注水的工程问题参见例 10， 115）较为复杂的工程问题参见例 12， 13，作业题（注：作业题- 例题类型对照表，供参考）题 1， 4， 6，7类型 1；题 2类型 4；题 3， 5类型 5，题 8类型 21、（）某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3 天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？【解】： 6 天。由题可知，甲 2 天的工作量相当于乙 3 天的 工作量，所以工程期限为： 2（ 3（ 3 2） =2 3=6 天。2（）某水池有甲、乙、丙 3 个放水管，每小时甲能放水 100 升，乙能放水 125 升。现在先使用甲放水， 2 小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙 3 管同时放水，直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。那么水池中原有多少水？【解】：甲开始 2 小时放水200 升，最后水的时间为200 25 8 小时，放水量为3 管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25 升水，所以乙管放125 8 1000 升。因此池中原有水3000 升。3（）张师傅加工成任务。当他完成任务的540 个零件。他前一半时间每分生产8 个，后一半时间每分生产45时，恰好是上午9 点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？12 个，正好完【解】：平均每分加工（8 12） 2 10（件），加工 540 件共需 54 分。由题意知，前27 分加工了827216（件）， 540 件的 45是 243 件， 243 216 27（件），这 27 件是以每分12 件的速度加工的，所用时间为27 12= 2 1（分）。到9 点时加工所用的时间为27+21= 291（分） =29分15 秒。所以开始时是8444时30分45秒。4. （） 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的工了 50 个零件，甲完成 3/5 时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？1/3时乙加【解】：该加工了360 个。提示：甲完成3/5 时乙完成了一半，效率比为60 个。占 1/3 。所以甲的总任务180 个。这批零件为6：5。所以乙加工360 个。50 个零件的时候甲应学习改变命运，思考成就未来！5.（）李师傅加工一批零件，第一天加工了48 个，第二天比第一天多加工天多加工5，三天共完成这批零件的95。这批零件共有多少个？25，第三天比第二解： 481 125（ 1105） 95 180（个）。6. （） 单独完成一件工程，甲需要24 天，乙需要 32 天。若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26 天时间，问：甲独做了几天？【解】：如果 26 天都由乙来做，他能完成的工作量为126133226162632可是由于有甲参与其中，所以实际上天完成了整个工作甲做一天比乙做一天多做111243296所以甲做的天数为 (113)118 天。16 967. （） 修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？8.（）有 A， B 两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要车需要 30 时。现在甲车装运 A 堆煤，乙车装运 B 堆煤，丙车开始先装运20 时，乙车需要 24 A 堆煤，中途转向装运时，丙 B 堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运A 堆煤用了多少时间？【解】：以装运一堆煤的工作量为1，则三车共同完成的工作量9、（）某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了4 天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高50，因此比计划提前1 天完工。如果用旧施工方法干了200 米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前2 天完工。问：原计划每天筑路多少米？几天完工？【解】：新、旧施工方法的效率之比为150 100，用旧施工方法干3 天等于用新施工方法干2 天。又由于用旧施工方法干4 天后改用新施工方法可提前1 天，所以用旧施工方法干1 天后改用新施工方法可提前天。再由题设条件知，用旧施工方法1 天筑路 200 米，需 7 天完成。2