资源描述
12了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念了解微积分基本定理的含义110011001 A. B.11C.1 1D2. .xdxxdxdxdx下列积分的值为 的是1100 1 1.Cdxx解析：所以 正确.32229003co s (0)2|3 3.yxxScosx dxcosxdxsinx由曲线的图象及面积意义知，所求面积为解析：3cos (0)2 5A 2 B 3 C. 2 D2.4yxx曲线与坐标轴所围成图形的面积是 忽视面积与定积分易错点：的区别11111101011010 A. B.C. 3.D.x dxxdxx dxx dxxdxxdxx dx等于101110 0 0.x dxx dxxxdxxxxx解 因以为析：，所 41()13() A 8 B 10 C 12 D 14 4.F xxNFxxmFJJJJ一物体在力单位：的作用下，沿着与力 相同的方向，从运动到处单位：，则力 所做的功为3231141214 .WxdxxJx由变力做功公式解： 有析30 / 30 1.54 5 .m st svttm做匀变速直线运动的物体，初速度为，后的速度，则该物体停止运动时，运动的路程是 1009010032920322 10030 1.5409(30 1.54)38(30)431003100810030()115(00891)4939t stttstt dtmttt设物体经过后停止由，得，所以运动路程为解析： 0111(1,2)_1_ .iiniiiibaf xabaxxxxxbabnxxinxnf xabf x dxf x dx 如果函数在区间 ，上连续，用分点将区间 ，等分成 个小区间，在每个小区间，上任取一点， ， ，作和式当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间 ，定积分的概念上的定积分，记作：，即 11limnbianibafabnabf xxf x dxf x dx 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间 ， 叫做积分区间，函数叫做被积函数， 叫做积分变量，叫做积式定积分是一个常数； ( ) ()2fxabfx dx定积分的几何意义：当函数在区间，上恒为正时，定积分的几何意义是由曲线和直线所围成的曲边梯形的面积 如图中阴影部分 ( ) ()bafx dxxyfxxx 一般情况下定积分的几何意义是介于 轴，函数的图象以及直线，之间的曲边梯形面积的代数和如图 ，其中在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积取负号 3()() 2 bbaabbbaaabcbaacbbaakf x dxkf x dx kf xg x dxf x dxg x dxf x dxf x dxf x dxacbf xabf x dxF xF bF aF xf x定积分的性质为常数 ；其微积分基本定中如果是区间 ， 上的连续函数，并且，则，其中是的理一个原函数 111( )( )()()( )123(3i)l miiiiiiinbianibanabxxff xxxfbaf x dxfnf x dxf xF xF bF a定义法： 分割： 等分区间 ， ； 近似代替：取点，用近似地代替在，上的函数值；求和；取极限：利用微积分基本定理求定积分求的一个原函数；计算利用定积求定积分的方法分的几何意义求定积分 () 4 12.sv tW定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积定积分在物理中的应用：求变速直线运动的路程：为速度函数 求变力定积分的简所做单应用的功： 1lim()0ninibbaabafyfxnxaxb abyxaxbFxfxv t dtFx dx；，；【要点指南】 12140 11242|.|1x dxxxdx 求下列定积分：；例题型一题型一 定积分的概念及几何意义定积分的概念及几何意义 1221121 1111() .211x dxyxxxxx dx 因为表示曲线与直线，及 轴所围成的面积 如图 ，所以解析： 40440040 4|2 |42()4|2 |1144222 2422.xxdxx dxxdxOBDOAEABCxxdx表示的面积与及和的差解如图 ，故析： 了解定积分的概念，利用定积分的几何意义求定积分是常用技评析：巧之一 6686 1 A 0 B 4 C 8 (2010) D 16f xf x dxf x dx已知为偶函数且，则等于变式 ：广东潮州调研 066066602 16.f x dxf x dxyf x dxf x dx原式因为原函数为偶函数，所以在 轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等，则解析： 03012sin322sinsin2.2.xxedxxx dx计算下列定积分：例；题型二题型二 定积分的计算定积分的计算 000000002sin322sin322cos 322(coscos0)3()2 732 .)1(0 xxxxedxxdxe dxdxxexeee 解析： 3300sinsin 21coscos221sinsin 2(coscos2 )2111()( 1)2 4122.4yxxyxxxx dxxx 函数的一个原函数为，所：以解析 , bcbaacfx dxfx dxfx dx利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积分函数的原函数求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应熟练掌握一些常见函数的导数此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，评析：相加即可 220222 0112 12 345A. B. C. D4562cos 2. .xxxf xxxf x dxxxedx 设，则不存在计式算：变 21220013 122012115(2 C.1),326f x dxx dxx dxxxx解析：故选 22222222222222444222242coscoscoscos0,1122co2 12sxxxxxxxedxxxdxedxyxxxxdxedxeeexxeedxe由定积分的性质，得因为函数为奇函数，所以又故解析： 1()A16 B 18 C 20 D 223.下图中，阴影部分的面积是 例题型三题型三 定积分的简单应用定积分的简单应用 22201(0,1 )()()2111A. B. C. D.33243.yxxxytt如图，由曲线和直线，所围成的图形 阴影部分 的面积最小值为 例 234422122223202(4 )(4)182641.3314222100().2110010.22111 B42.2DttyySydyyStxdxxtdxttStttttttStStS 阴影部分的面积，由，得舍去 或当时，；当时，所以当时， 取得最小值解析选，：故故选 2043/3.14 24 tsvttm ststs一点在直线上从时刻开始以速度运动，变求：在时的位置；在时运式动的路程 232400 4 1443(2 3 )4.33 134ttsttdttttmtms在时刻时该点的位置为，即在时刻该点距出发点解析： 213220141223034221343130,13,401,304 43|43|4343434344 4.2 v tttttv tv ttssttdtttdtttdtttdtttdtttdtmtms解因为，所以在区间及上，在区间上，所以在时的路程为即在时运动路程： 为的析 0,40,4v t因为位置决定于位移，所以它是在上的定积分，而路评程析：是位移的绝对值之和，因此需判断在上，哪些时间段的位移为负值 2212121 (0,)2lyttttf xxxyS tlf xStg tS tStg tt 若直线 ：为常数与函数的图象以及 轴所成的封闭图形的面积为，若直线 与函数的图象所围成的封备选例题闭图形的面积为，已知，当取最小值时，求 的值 12 S tSt先确定出封闭图形，的面积，建立面积的函数关系式，最后分析：求最值2222222 ()(1)102111()(0)24411()24yxxyttttttttttttyxx 由，得交点坐标为，和，又因为，所以， ，而函数的顶点坐标为，解析： ， 121222220132223220323222323221111()2()323211111112()322382411512.3226ttttg tStStxxttdxttxxdxxxtt xtt xxxtttttttt tttttt 由定积分的几何意义，得 26513121110()3211(0)0(0)331 11 1()0()331223gtttttgttttgtg ttgtgtg tt 故令，解得或舍去 当， 时，函数在区间， 上单调递减；当， 时，函数在区间， 上单调递增故当时，函数有最小值 1“”“”2(1).bbbaaaf x dxf t dtf u du定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的，它的解决过程充分体现了 由直到曲 、由 有限到无限 的极限的思想利用定积分的定义求定积分可以分为四步：分割、近似代替、求和、取极限注意：定积分是一个数值 极限值 ，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积定积分的概念分变量无关，即 |0|( )0,|bbbaaabbbaaabbaaf x dxf x dxf x dxf xf xxf x dxf x dxf x dxxyf xxaxbf xf xxf x dxf x dxxyf xxaxbf x，三者在几何意义上的不同当，即函数的图象全部在 轴上方时，都表示界于 轴、曲线以及直线，之间的曲边形的面积；即函数的图象全部在 轴下方时，表示界于 轴、曲线以及直线，之间的曲边形的面积，而0dx ，其结果是面积的相反数； baf xxf x dxxyf xxaxb当函数的图象在 轴上方和下方都有时，表示界于 轴、曲线以及直线，之间各部分面积，如图阴影部分所示2微积分基本定理使我们找到了求定积分的一般方法，不需要根据定义求和式的极限，只要求出积函数的任意一个原函数，并且一般使用不含常数的原函数，再计算原函数在积分区间上的改变量即可分段函数的定积分及绝对值函数的定积分问题，都可以实施分段求解的方法 31(2)定积分的应用主要有求平面图形面积、变速运动路程及变力做功三个方面利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的表达式，再利用微积分基本定理求出积分值对于由两条曲线所围成的图形面积计算问题，一定要注意结合图形特征，适当地进行分段处理，要善于进行分解速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求sin02yxxxx求曲线与 轴以及直线和所围成的图形的面积2200sincos cos2cos00.Sxdxx 错解： sin0,2 02 yxxp图形面积应为各部分定积分的代数和，函数在上与 轴围成图形分两部分，前半部分在 ，上围成的面积与定积分相等，而后半部分在， 上围成的面积为定积分的相反数，定积分可正可负，面积错解分析： 只能为正2000sinsin2sin2c4os.Sxdxx dxxdxx 正解：
展开阅读全文