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楚水实验学校高一数学备课组推导等差数列通项公式的方法叫做推导等差数列通项公式的方法叫做 法法.递推递推 每一项与每一项与它前一项的差它前一项的差 等差数列等差数列 几何意义几何意义通项通项公差公差定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数. . . . .【说明说明】 数列数列 an 为等差数列为等差数列 ；an+1-an=d 或或an+1=an+dd=an+1-an公差是公差是 的常数；的常数； 唯一唯一an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点等差数列各项对应的点都在同一条直线上都在同一条直线上.知识回顾知识回顾由定义归纳通项公式a2 a1=d，a3 a2=d，a4 a3=d，则 a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d由此得到由此得到 a n=a1+(n1)dan1an2=d,an an1=d.这（这（n1）个式子迭加）个式子迭加an a1= (n1)d当当n=1时，上式两边均等于时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明，即等式也成立的。这表明当当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项的通项公式。公式。等差中项 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等等差中项差中项。2baA 课本课本P35. 2. 3 ，4，5，课堂练习课堂练习结论归纳结论归纳:数列数列an是公差为是公差为d 的等差数列。的等差数列。数列数列a1,a3,a5,a7,是公差为是公差为 等差数列等差数列数列数列a2,a4,a6,a8,是公差为是公差为 等差数列等差数列数列数列ma2,ma4,ma6,ma8,是公差是公差为为 等差数列等差数列都都是是等等价价的的。成成等等差差数数列列，那那么么若若cbba;bcab; cab2;2cabc ,b, a 也也是是等等差差数数列列。给给出出的的数数列列用用递递推推关关系系)aa(21a2nn1n )d(aad)2n(aadn1n1nn是是常常数数是是等等差差数数列列的的依依据据。是是证证明明或或判判断断一一个个数数列列或或 例例1 (1 )已知数列已知数列 an 的通项公式是的通项公式是an =3n-1， 求证：求证：an为等差数列；为等差数列； (2) 已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列， 求证：数列求证：数列an+an+1 也是等差数列也是等差数列.【小结小结】 数列数列 an 为等差数为等差数 ； 证明一个数列为等差数列的方法是证明一个数列为等差数列的方法是 ： .an=kn+b k、b是常数是常数.证明证明： an+1 an为一个常数为一个常数.例题分析例题分析例例2 (1)等差数列等差数列11，8，5，的第，的第19项是项是 ；(2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第 项是项是-307；(3)已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a1=3，d= ，an=21， 则则n = ；(4)已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a17= ，d= ，则，则 a10= .232532-499913613 【说明说明】在等差数列】在等差数列an的通项公式中的通项公式中a1、d、an、n 任知任知 个，可求个，可求 . 三三另外一个另外一个 .aaaa,qpnm,Nq,p,n,maqpnmn 求求证证：且且是是等等差差数数列列，数数列列 ,d,aa1n公公差差是是的的首首项项是是证证明明：设设,) 1(1dmaam则,) 1(1dnaan,) 1(1dpaap,) 1(1dqaaq,)2(21dnmaaanm,)2(21dqpaaaqp.,qpnmaaaaqpnm上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，如的项，如a1+a2=a3 成立吗？成立吗？【说明说明】 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 等差数列的性质等差数列的性质11. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b= a+c4.在在等差数列等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq 例例3 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20例题分析例题分析(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得，可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数. .已知已知an为等差数列为等差数列且且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差，求公差d. ._),2(511, 311nnnnanaaaa则中，已知数列
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