《1.5.1柱坐标系》导学案2

1.5.1柱坐标系导学案 2学习目标1柱坐标系的理解.2球坐标、柱坐标与直角坐标的互化知识梳理1. 柱坐标系图 4 1 6建立了空间直角坐标系O xyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q,用极坐标(p 0)( p 0,0鉄2n表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点 P的位置可以用有 序数组(p, 0, z)(z R)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(p, 0, z)叫做点P的柱坐标，记作 P(p, 0, z)，其中p0,0企2n, z R.2. 直角坐标与柱坐标之间的关系|x= :cos 01y= pin 0z= z思考探究1. 空间直角坐标系和球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy内的坐标是极坐标， 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有 序数组组成.学习过程例题精解例题1设点M的柱坐标为（2, n，7），则点M的直角坐标为 答：设 M（x, y, z）,则 x= 2Xcos 6；= .3,n ._y= 2 Sin ; = 1, z= 7.即M点坐标为（_：3, 1,7）.例题2已知点p的球坐标为（4,芳n，则它的直角坐标为 由变换公式得：3 n nx= rsin 0cos $= 4sin _cos 4 = 2,y= rsi nOsin $= 4sin3 n n c7 s in 4= 2，z= rcos3 n0= 4cos 4=- 2 2它的直角坐标为（2,2,- 2 ；2）.课堂作业1.把下列各点的球坐标化为直角坐标:( n 冗、f 2 n(1)M 2, 2, 3 ； (2)N 5, 3, 2 ；【解】（1）设点M的直角坐标为（x, y, z）, M在xOy平面内的射影为 M ，贝U OM = 2 si= 2于是 x= 2cosn= 1, y= 2sinn= .3, z= 2cos；n= 0.故点M的直角坐标为(1 ,;3, 0).2 n n(2)x= 5sin _3cos2= 0 ,y= 5si门希n= ； ,3 ,2 nZ= 5C0S3=3点N的直角坐标为 0, 2 . 3， 2 .3 n(3)x= 9sincos2n3一 9 2,3n y= gsin&sin3 nz= 9cos7：点P的直角坐标为 -9 2,9 6,-2 2.2. 把下列各点的柱坐标化为直角坐标:(1)q , * - 2) (2)R(6,务 4 ,； S 8 ,于,-3 .【解】(1)x= 0 , y= 5 , 故点Q的直角坐标为Q(0,5，- 2).(2) x= 6cos2：n= 3 , y= 6si3 3 ,33故点R的直角坐标为 R( 3,3 3 , 4).(3) x= 8迹54?=- 4 ,2 , y= 8sin54n= 4寸2 ,故点S的直角坐标为 S( 4羽,4羽,3).3. 已知长方体 ABCD A1B1C1D1的边长为AB = 14 , AD = 6 , AA1= 10 ,以这个长方体的顶 点A为坐标原点，以射线 AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 求长方体顶点 C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.X【解】 如图，C1点的直角坐标(x , y , z)分别对应着CD、BC、CC1； C1点的柱坐标(p 0, z)分别对应着 CA、/ BAC、CC1； C1点的球坐标(r , 0妨分别对应着 AC/ BAC、/ A1AC1. C1点的空间直角坐标为(14,6,10), C1点的柱坐标为(2 58 , 0 10)(其中tan 0=学)，Cl点的球坐标为(2 83, (f), 9)(其中 cos (= 58|3, tan 9=3).4 在球坐标面内，方程r = 1表示空间中的什么曲面？方程9=亍表示空间中的什么曲面?【解】方程=1表示球心在原点的单位球面；方程9=4表示顶点在原点，半顶角为圆锥面，中心轴为 z轴.5.在球坐标系中，求两点P3，6, 4，n，的距离.【解】 将P，Q两点球坐标转化为直角坐标:n n 3 丿 2P: x= 3sin cos;=,644n ny= 3si“6 sin=n 3/3z= 3cos：=,6 2 P点的直角坐标为誉,节,号.n3nQ: x= 3sin cosT =- 64n . 3 n 3 / 2 y=3sin6sin4 = 4，3,2z= 3cosn=誉，4，Q点的直角坐标为|PQ|=3 2|2,4乎，即P、Q的距离为竽.3 2 3.23 33,32十4422【解】表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标.以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以0为端点且与BD垂直的射线 Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系.过O点与面BCD垂直的线为z轴.过A作AA垂直于平面 BCD ,垂足为A则BA =2= . 3, AA= 32 ; 3 2= . 6,则 A(农，n 的)，B(0,0,0), C(3, n 0), D(3, n，0)-3627个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为 0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置 A，请建立 适当的坐标系，把点 A的坐标求出来.【解】 以圆形体育馆中心 O为极点，选取以 O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线 Oz的距离为203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转1n7= If，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为 2.8 m,因此点A的柱17 n坐标为(203,石, 2.8).课后检测1如图建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是厶BCD的中心).【解】/ O是厶BCD的中心,OC = OD = OB罟 AO讨.3 n 4 n J6_B（E，2，亍），A（E，0,0）