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一九八二年（理科）一（本题满分6分）填表：函 数使函数有意义的x的实数范围102R3R4-1,15(0,+）6R解：见上表。二（本题满分9分）1求（-1+i)20展开式中第15项的数值;2求的导数。解：1.第15项T15=2.三（本题满分9分） Y 1 X O Y 1 O X 在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形。12解：1.得2x-3y-6=0图形是直线。2.化为图形是椭圆。四（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R，高为H。求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）。 A D c H h B E O 2R 解：设圆柱体半径为r高为h。由ACDAOB得由此得圆柱体体积由题意，Hh0，利用均值不等式，有（注：原“解一”对h求导由驻点解得。）五（本题满分15分）（要写出比较过程）。解一：当1时，解二：六（本题满分16分） A M P（，） X O N B 如图：已知锐角AOB=2内有动点P，PMOA，PNOB，且四边形PMON的面积等于常数c2。今以O为极点，AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线。解：设P的极点坐标为（，）POM=-，NOM=+，OM=cos(-),PM=sin(-),ON=cos(+),PN=sin(+),四边形PMON的面积这个方程表示双曲线。由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在AOB内的一部分。七（本题满分16分）已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形。 B M R A N Q D K S P C 证：连结AC，在ABC中，AM=MB，CN=NB，MNAC。在ADC中，AQ=QD，CP=PD，QPAC。MNQP。同理，连结BD可证MQNP。MNPQ是平行四边形。取AC的中点K，连BK，DK。AB=BC，BKAC，AD=DC，DKAC。因此平面BKD与AC垂直。BD在平面BKD内，BDAC。MQBD，QPAC，MQQP，即MQP为直角。故MNPQ是矩形。八（本题满分18分） Y x2=2qy y2=2px A1 O A2A3 X 抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切。解：不失一般性，设p0,q0.又设y2=2px的内接三角形顶点为A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)因此y12=2px1，y22=2px2 ，y32=2px3。其中y1y2 , y2y3 , y3y1 .依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切。因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点。即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1x2 , y1-y2,直线A1A2的方程是同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即x2x3, y2-y3,同样得到由（1）（2）两方程及y20,y1y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y20,得y3-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行。今将y2=-y1-y3代入（1）式得：(3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切。所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切。九（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列和数列其中1用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明;2求解：1.1=p,n=pn-1,n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),设想用数学归纳法证明：当n=2时，等式成立;设当n=k时，等式成立，即则bk+1=qk+rbk=即n=k+1时等式也成立。所以对于一切自然数n2，都成立。一九八二年（文科）一（本题满分8分）填表：函 数使函数有意义的x的实数范围102R3(0,+）4R解：见上表。二（本题满分7分）求（-1+i)20展开式中第15项的数值;解：第15项T15=三（本题满分7分）方程曲线名称图形1.4x2+y2=4椭圆y o x 2.x-3=0直线y o x 解：见上图。四（本题满分10分）已知求的值。解：（注：三角换元法解亦可。）五（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）。已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？解：设长方形场地的宽为x，则长为L-3x，它的面积当宽时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为最大面积为答：略。六（本题满分12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，1用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积;2求A1B和B1C所成的角。 D1 C1 A1 B1 D C A B D1 C1A1 B1 DC A B 解：1.BB1平面A1B1C1D1，A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底，BB1是棱锥的高，A1B1C1的面积=，截下部分体积=剩余部分体积=2.连结D1C和D1B1， ，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C，B1CD1即A1B与B1C所成的角，正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，D1CB1是等边三角形。D1CB1=600，A1B与B1C成600的角。七（本题满分12分）已知定点A，B且AB=2，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为21，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-，0），B为（，0），设P为（x,y)。因为x2,y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆。八（本题满分16分）求的值。解：九（本题满分18分） O A2 B3 A1 B2 A B1 B 如图，已知AOB中，OA=b，OB=,AOB=(b,是锐角）。作AB1OB，B1A1BA;再作A1B2OB，B2A2BA;如此无限连续作下去。设ABB1，A1B1B2，的面积为S1，S2，求无穷数列S1，S2，的和。解：AB1= ，BB1=（对一切n1成立，此时视A0B0为AB）。ABB1A1B1B2A2B2B3，内容总结（1）一九八二年（理科）一（本题满分6分）填表：解：见上表（2）AB=BC，BKAC，AD=DC，DKAC（3）MQBD，QPAC，MQQP，即MQP为直角（4）D1CB1=600，A1B与B1C成600的角
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