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第九章第九章 排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理知识结构网络图：知识结构网络图：排列与组合排列与组合二项式定理二项式定理基本原理基本原理排列排列组合组合排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数的两个性质组合数的两个性质二项式定理二项式定理二项式系数的性质二项式系数的性质基础练习基础练习 名称内容加法原理加法原理乘法原理乘法原理定定 义义相同点相同点不同点不同点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.1. 1.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合一个一个数数符号符号种数种数公式公式关系关系性质性质 ，mnPmnC)1()1( mnnnPmn)!(!mnnPmn 1!0! nPnn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnmnPCP mnnmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数全排列全排列：n个不同元素全部取出的一个排列个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式全排列数公式：所：所有全排列的个数，即：有全排列的个数，即：nnP12)2()1( nnnPnnnnnrrnrn1n1nn0nbCbaCbaCaC (a+b) n= （n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第通项是指展开式的第 项，项， 展开式共有展开式共有 个项个项. N rnC展开式展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaC r+1n+1二项式定理（公式）二项式定理（公式）性质性质3：性质复习性质复习性质性质3：性质复习性质复习性质性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离：在二项展开式中，与首末两端等距离 的任意两项的二项式系数相等的任意两项的二项式系数相等.性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；数最大；nnnknnnnCCCCC2210 性质性质3：性质性质4 4：( (a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和. .1.1.书架上层放有书架上层放有6 6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5 5本不同的语文书，本不同的语文书， 从中任取一本，有多少中不同的取法？从中任取一本，有多少中不同的取法？ 从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？2. 若若x、y可以取可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点中的任一个，则点(x,y)的不同个的不同个 数有多少？数有多少？练习练习16+5=1165=3055=25 练习练习2 2 1.1.计算：计算： = = ， = = ， = = = = ， = = ， = = ， = = 38p316p33p44p55p66p22p336336062412072021n 0nC 1nC 26C 46C 3727CC 38C 97100C151556561617002.2.用排列数表示下列各式：用排列数表示下列各式： 678910 123212324 )3()2()1( nnnn510p24!4np1.1.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，共需准备多少种普通客票？个车站，共需准备多少种普通客票？2.2.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，问有多少种不同的票价？个车站，问有多少种不同的票价？练习练习33.3.用用3 3，5 5，7 7，9 9四个数字，一共可组成多少个没有重四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数复数字的正整数212P212C44342414PPPP 1.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ； 在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ._CCCCCC_;CCC.21111911711511311111nn2n1n510C711C12 n102611C练习练习43.（x-2)9的展开式中，第的展开式中，第6项的二项式系数项的二项式系数 是是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C
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