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函数的连续性函数的连续性一种是连续变化的情况一种是连续变化的情况温度计4080120160 x分y分20406080 例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。究函数连续与不连续的问题。另一种是间断的或跳跃的另一种是间断的或跳跃的ox0 xy如图：从直观上看，我们说一个函数在一点如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处处连续是指这个函数的图象在连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以处没有中断，所以以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点数在点x0处是连续的。处是连续的。2.6 函数的连续性函数的连续性一、函数在某一点处的连续性一、函数在某一点处的连续性)(. 1xfy)()(lim) 3 ()()(lim)(lim) 2 (.) 1 (000000 xfxfxfxfxfxxxxxxx处有定义在2、11)(2xxxfoxy12.1处没有定义在 x) 1( 1xx3、221)(xxxf11xx（1）在x=1处有定义5 . 2)(lim)2(1xfx2)(lim1xfx（3）函数f（x）的极限不存在。12oxy2.5yxo124、 5 . 01)(xxf11xx（1）在x=1处有定义；（2）函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f（1）)1 (5 .02)(lim1fxfx导致函数图象断开的原因：导致函数图象断开的原因：1、函数在函数在 处没有定义处没有定义1x2、函数在函数在 时极限不存在时极限不存在1x函数值不等函数值不等3、函数在函数在 处的极限值和处的极限值和1xoxy1212oxy2.5yxo12一般地，函数一般地，函数f（x）在点）在点x0处连续处连续必须同时具备必须同时具备三个三个条件：条件：1、 存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义。处有定义。)(0 xf2、 存在。存在。)(lim0 xfxx3、 )()(lim00 xfxfxx)(xfyxo12ox0y) 1 ()(lim1fxfx定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)在在 处及其处及其附近有定义附近有定义，而且，而且0 xx )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点 处连续处连续，0 x称为称为函数函数f(x)f(x)的连续点。的连续点。0 x例例1 讨论下列函数在给定点处的连续性：讨论下列函数在给定点处的连续性：.0,sin)()2(;0,1)()1(xxxhxxxf点点解：如图解：如图（1）函数）函数 在点在点x=0处处没有定义，因而它在点没有定义，因而它在点x=0处不连续。处不连续。xxf1)(（2）因为0sin0sinlim0 xx.0sin)(处连续在点xxxh二、单侧连续性：二、单侧连续性：并且并且如果函数如果函数 在点在点 处及其右侧处及其右侧附近附近有定义有定义0 x)()(lim00 xfxfxx则称则称f(x)f(x)在点在点 处右连续。处右连续。0 x)(xfxyOa类似地：类似地：)()(lim00 xfxfxx0 x则称则称f(x)f(x)在在 处是左连续。处是左连续。如果函数如果函数 在点在点x x0 0处及其处及其左侧附近左侧附近有定义，并且有定义，并且)(xf221)(xxxf11xx12oxy2.5如如例如函数例如函数),0(1),0(1)(xxxfxyo-11如图，在点如图，在点x=0附近，附近，),0 (1)(lim0fxfx),0(1)(lim0fxfx因而函数因而函数 在在x=0处是右连续，而非左连续。处是右连续，而非左连续。)(xf结论：函数在一点处连续的充要结论：函数在一点处连续的充要条件是既左连续又右连续条件是既左连续又右连续)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxxox0 xy)()(lim00 xfxfxx三、函数的连续性：三、函数的连续性：1 1、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果 在某一开在某一开区间区间 内内每一点处都连续，就说函每一点处都连续，就说函数数f（x）在）在开区间（开区间（a，b）内）内连续，或连续，或说说f（x）是开区间）是开区间（a，b）内内的连续函数。的连续函数。 )(xf),(ba2 2、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数 在开区间在开区间 内连续，在内连续，在左左端点端点 处处右右连续，在连续，在右右端点端点 处处左左连续，就连续，就说函数说函数 在在闭区间闭区间 上上连连续。续。)(xf),(baaxbx)(xf,ba例如，函数例如，函数 在闭区间在闭区间-1，1上上连续，而函数连续，而函数 在开区间（在开区间（0，1）内连续，在闭间内连续，在闭间0，1上不连续，因为上不连续，因为它在左端点它在左端点x=0处不是右连续。处不是右连续。21xyxy11、连续函数的图象有什么特点？观察下列、连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：处是否连续：xyOaxyOaxyOaxyOaxyOaxyOa连续不连续连续不连续不连续不连续练习练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）axyo（7）不连续axyo（8）连续2、利用下列函数的图象，说明函数在、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。给定点或开区间内是否连续。;0,1)()1(2xxxf点；xxxf0|,|)()2(点);,(,)() 3(2开区间cbxaxxf).2 , 0(,24)()4(2开区间xxxf; 0,1)() 1 (2xxxf点；xxxf0|,|)()2(点xyo);,(,)() 3 (2开区间cbxaxxf).2 , 0(,24)()4(2开区间xxxf不连续连续连续连续从几何直观上看，闭区间从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：如上图：对于任意对于任意 ，这时，这时我们说闭区间我们说闭区间a，b上的连续函数上的连续函数f（x）在点）在点x1处有最大值处有最大值f（x1），在点），在点x2处有最小值处有最小值f（x2）。）。 )()(),()(,21xfxfxfxfbaxox2x1baxy四、闭区间上连续函数的性质：四、闭区间上连续函数的性质：)(1xf)(2xf性质性质 ( (最大值最小值定理最大值最小值定理) ) 如果如果f f（x x）是闭区间）是闭区间aa，bb上的连续函数，那么上的连续函数，那么f f（x x）在闭区间在闭区间aa，bb上有最大值上有最大值和最小值。和最小值。ox2x1baxy)(1xf)(2xf注注 函数的最大值、最小值可能在区间端函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数点上取得。如函数 在点在点x=1处有处有最大值最大值1，在点，在点x=-1处有最小值处有最小值-1（如图）（如图）)1 , 1()(xxxfxyo1-1-11再如再如对二次函数对二次函数Y=AX2+BX+C来说，在来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。小值。指出下面函数在哪些点处不连续，为什么？指出下面函数在哪些点处不连续，为什么？ 练习练习1、（、（1）函数）函数f(x)在点在点x=x0处有定义是处有定义是f(x)在点在点x=x0处处 连续的（连续的（ ）条件。）条件。（2）函数）函数f(x)在点在点x=x0处有定义是处有定义是f(x)在点在点x=x0处处有极限的（有极限的（ ）条件。）条件。2、P97-98习题习题2.61sin21)(xxf3、函数、函数f(x)g(x)在在x0处连续是处连续是f(x)与与g(x)在在x0处处 都连续的什么条件？都连续的什么条件？本节小结本节小结：1 1、设函数、设函数f(x)f(x)在在 处及其附近处及其附近有定义，有定义， 而且而且0 xx)()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点 x x0 0 处连续处连续。f(x)f(x)在点在点x x0 0处右连续。处右连续。f(x)f(x)在在 x x0 0 处左连续。处左连续。)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx2、开区间内连续，开区间内连续， 闭区间上连续闭区间上连续3、结论：函数在一点处连续的充要结论：函数在一点处连续的充要条件是即左连续又右连续条件是即左连续又右连续)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx4、5、会用数形结合思想解某些数学问题会用数形结合思想解某些数学问题
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