2015年-2017年全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案

1如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由2如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积3如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足DBA=CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若PEB、CEF的面积分别为S1、S2，求S1S2的最大值4如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l，l与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CEx轴于点E，把BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时（图2），求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l与y轴交于点N，把BON绕点O逆时针旋转135得到BON，P为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由6如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x2x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，RtCDERtABO，且CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G（1）填空：OA的长是 ，ABO的度数是 度；（2）如图2，当DEAB，连接HN求证：四边形AMHN是平行四边形；判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQOB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KIOB，在KI上取一点P，使得PDK=45（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长7如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点求证：APMAON；设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）8抛物线y=4x22ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0x1x2）两点，与y轴交于点C（1）设AB=2，tanABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1x12和1x22同时成立，请证明你的结论9如图，抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由10如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把RtOAB绕点O逆时针旋转90，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由11如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动过点P作PHOA，垂足为H，连接MP，MH设点P的运动时间为t秒问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由若PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值12如图，已知直线y=kx6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标13如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0t4）DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将AOB绕点M沿逆时针方向旋转90后，得到A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标14如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；（2）当2t4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；（3）设CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半？为什么？15如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求直线BC的解析式；（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE当CDE的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将CEF绕点C沿顺时针方向旋转90，点F，P，E的对应点分别是F，P，E，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F处，再沿FC运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P处停止求CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将MNI沿NI翻折得MNI，连接HM，当MHN为等腰三角形时，求t的值16如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（1，0）（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线ay轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，BCE的面积为S求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；求S的最大值，并判断此时OBE的形状，说明理由；（3）过点P作直线bx轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由17已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿OCB运动，速度为1个单位每秒，连接AP设运动时间为t（1）若抛物线y=（xh）2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；（2）当0t10时，如图1，过点O作OHAP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设APD的面积为S，求S的最小值；（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作A，当0t20时，过点P作PQx轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：当t在什么范围内，线段PQ与A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与A有两个公共点？请将中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与A总有两个公共点18如图，二次函数y=x24x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF（1）点A的坐标为 ，线段OB的长= ；（2）设点C的横坐标为m当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；连接AC、AD，求m为何值时，ACD的周长最小，并求出这个最小值19如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由20如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？21如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EFx轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQx轴，垂足为点Q，PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使CQM与CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由注：3+2=（+1）222阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=1的垂线，交于E，F两点（1）写出点C的坐标，并说明ECF=90；（2）在PEF中，M为EF中点，P为动点求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1PD2，试求CP的取值范围23已知抛物线经过A（3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当SEOC=SEAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设CEH=，EAH=，当时，直接写出k的取值范围24如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m0，n0（1）如果m=4，n=1，试判断AMN的形状；（2）如果mn=4，（1）中有关AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标25如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由26如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，顶点为C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BKAD交直线l于K点问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值27如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标28如图，已知抛物线与x轴交于点A（2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交ADB于T，N两点，当DNT=90时，直接写出的值；当直线TN绕点M旋转时，试说明：DNT的面积SDNT=DNDT；并猜想：的值是否是定值？说明理由29如图，RtABC中，B=90CAB=30，ACx轴它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）求BAO的度数（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图），求点P的运动速度（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由30如图，已知直线l：y=x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QFED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EMPE交线段BD于点M，当PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积31已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0，且a，b，c为常数）的对称轴为：直线x=，与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C（0，），且过点（3，5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点（1）求该抛物线的表达式；（2）如图1，当点D为（3，0）时，DE交该抛物线于点M，若ADC=CDM，求点M的坐标；（3）如图2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一解答题（共31小题）1（2017秋上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】151：代数综合题；32 ：分类讨论【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；（3）分两种情况：E90和F=90，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值【解答】解：（1）OA=1，OC=4，AC=BC，BC=5，A（1，0），B（4，5），抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，解得：，y=x22x3；（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，直线经过点A，B两点，解得：，直线AB的解析式为：y=x+1，设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m22m3），EF=m+1m2+2m+3=m2+3m+4=（m）2+，当EF最大时，m=，点E（，），F（，）；（3）存在当FEP=90时，点P的纵坐标为，即x22x3=，解得：x1=，x2=，点P1（，），P2（，），当EFP=90时，点P的纵坐标为，即x22x3=，解得：x1=，x2=（舍去），点P3（，），综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分E=90和F=90两种情况2（2017秋鄂城区期中）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；当BP=BC时，OP=OB=3，P3（0，3）；当PB=PC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，2）时MNB面积最大，最大面积是1【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键3（2017泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足DBA=CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若PEB、CEF的面积分别为S1、S2，求S1S2的最大值【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CDAB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BDAC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PHy轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1S2的最大值【解答】解：（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CDAB交抛物线于点D，如图1，A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，四边形ABDC为等腰梯形，CAO=DBA，即点D满足条件，D（3，2）；当点D在x轴下方时，DBA=CAO，BDAC，C（0，2），可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（1，0）代入可求得k=2，直线AC解析式为y=2x+2，可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=8，直线BD解析式为y=2x8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，D（5，18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（5，18）；（3）过点P作PHy轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，t2+t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=x+2，H（t，t+2），PH=yPyH=t2+t+2（t+2）=t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，解得，直线AP的解析式为y=（t+2）（x+1），令x=0可得y=2t，F（0，2t），CF=2（2t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，S1=PH（xBxE）=（t2+2t）（4），S2=，S1S2=（t2+2t）（4）=t2+4t=（t）2+，当t=时，有S1S2有最大值，最大值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大4（2017南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l，l与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CEx轴于点E，把BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时（图2），求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l与y轴交于点N，把BON绕点O逆时针旋转135得到BON，P为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为y=a（x2）2，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2m），B（m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3）当N=NB时，设P（m，m3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为y=a（x2）2，把（0，0）代入得到a=，抛物线的解析式为y=（x2）2，即y=x2x（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2m），B（m2+m，0），E在抛物线上，易知四边形EBEC是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，E、B关于对称轴对称，=2，解得m=1或6（舍弃），B（3，0），C（1，2），直线l的解析式为y=x3（3）如图2中，当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3）当N=NB时，设P（m，m3），则有（m）2+（m3）2=（3）2，解得m=或，P2（，），P3（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（0，3）或（，）或（，）【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题5（2017宜宾）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得PQNEFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点，解得，抛物线解析式为y=x2+4x+5；（2）AD=5，且OA=1，OD=6，且CD=8，C（6，8），设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=x2+4x+5，解得x=1或x=3，C点的坐标为（1，8）或（3，8），C（6，8），当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，m的值为7或9；（3）y=x2+4x+5=（x2）2+9，抛物线对称轴为x=2，可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则BEF=BMP=QPN，在PQN和EFB中PQNEFB（AAS），NQ=BF=OBOF=51=4，设Q（x，y），则QN=|x2|，|x2|=4，解得x=2或x=6，当x=2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=7，Q点坐标为（2，7）或（6，7）；当BE为对角线时，B（5，0），E（1，8），线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），x+2=32，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（2，7）或（6，7）或（4，5）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中6（2017沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x2x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，RtCDERtABO，且CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G（1）填空：OA的长是8，ABO的度数是30度；（2）如图2，当DEAB，连接HN求证：四边形AMHN是平行四边形；判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQOB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KIOB，在KI上取一点P，使得PDK=45（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）先求抛物线与两坐标轴的交点坐标，表示OA和OB的长，利用正切值可得ABO=30；（2）根据三角形的中位线定理证明HNAM，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得结论；如图1，作垂线段DR，根据直角三角形30度角的性质求DR=2，可知：点D的横坐标为2，由抛物线的解析式可计算对称轴是直线：x=2，所以点D在该抛物线的对称轴上；（3）想办法求出P、Q的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）当x=0时，y=8，B（0，8），OB=8，当y=0时，y=x2x+8=0，x2+4x96=0，（x8）（x+12）=0，x1=8，x2=12，A（8，0），OA=8，在RtAOB中，tanABO=，ABO=30，故答案为：8，30；（2）证明：DEAB，OM=AM，OH=BH，BN=AN，HNAM，四边形AMHN是平行四边形；点D在该抛物线的对称轴上，理由是：如图1，过点D作DRy轴于R，HNOA，NHB=AOB=90，DEAB，DHB=OBA=30，RtCDERtABO，HDG=OBA=30，HGN=2HDG=60，HNG=90HGN=9060=30，HDN=HND，DH=HN=OA=4，RtDHR中，DR=DH=2，点D的横坐标为2，抛物线的对称轴是直线：x=2，点D在该抛物线的对称轴上；（3）如图3中，连接PQ，作DRPK于R，在DR上取一点T，使得PT=DT设PR=aNA=NB，HO=NA=NB，ABO=30，BAO=60，AON是等边三角形，NOA=60=ODM+OMD，ODM=30，OMD=ODM=30，OM=OD=4，易知D（2，2），Q（2，10），N（4，4），DK=DN=12，DRx轴，KDR=OMD=30RK=DK=6，DR=6，PDK=45，TDP=TPD=15，PTR=TDP+TPD=30，TP=TD=2a，TR=a，a+2a=6，a=1218，可得P（26，1018），PQ=12【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题7（2017宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点求证：APMAON；设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（2）在RtAOB和RtAOD中可求得OAB=OAD，在RtOPQ中可求得MP=MO，可求得MPO=MOP=AON，则可证得APMAON；过M作MEx轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用APMAON可表示出AN【解答】解：（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9+c，解得c=3，抛物线解析式为y=x2+x3，令y=0可得x2+x3=0，解得x=4或x=3，A（4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k0），把A、C坐标代入可得，解得，直线AC的函数表达式为y=x+3；（2）在RtAOB中，tanOAB=，在RtAOD中，tanOAD=，OAB=OAD，在RtPOQ中，M为PQ的中点，OM=MP，MOP=MPO，且MOP=AON，APM=AON，APMAON；如图，过点M作MEx轴于点E，则OE=EP，点M的横坐标为m，AE=m+4，AP=2m+4，tanOAD=，cosEAM=cosOAD=，=，AM=AE=，APMAON，=，即=，AN=【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大8（2017自贡）抛物线y=4x22ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0x1x2）两点，与y轴交于点C（1）设AB=2，tanABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1x12和1x22同时成立，请证明你的结论【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）由tanABC=4，可以假设B（m，0），则A（m2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（xm）（xm+2），把C（0，4m）代入y=4（xm）（xm+2），求出m的值即可解决问题；（2）设P（m，4m216m+12）作PHOC交BC于H，根据SPBC=SPHC+SPHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；（3）不存在假设存在，由题意由题意可知，且12，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题【解答】解：（1）tanABC=4可以假设B（m，0），则A（m2，0），C（0，4m），可以假设抛物线的解析式为y=4（xm）（xm+2），把C（0，4m）代入y=4（xm）（xm+2），得m=3，抛物线的解析式为y=4（x3）（x1），y=4x216x+12，（2）如图，设D（m，4m216m+12）作DHOC交BC于HB（3，0），C（0，12），直线BC的解析式为y=4x+12，H（m，4m+12），SDBC=SDHC+SDHB=（4m+124m2+16m12）3=6（m）2+，60，m=时，DBC面积最大，此时D（，3）（3）不存在理由：假设存在由题意可知，且12，4a8，a是整数，a=5 或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解当a=6时，代入不等式组，不等式组无解当a=7时，代入不等式组，不等式组无解综上所述，不存在整数a、b，使得1x12和1x22同时成立【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题9（2017日照模拟）如图，抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）令抛物线y=x22x3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；（2）设P点的横坐标为x（1x2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出ACE的面积最大值；（3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，3），点Q（0，1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；（4）结合图形，分两类进行讨论，CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标【解答】解：（1）令y=0，解得x1=1或x2=3，A（1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入y=x22x3得y=3，C（2，3），直线AC的函数解析式是y=x1，（2）设P点的横坐标为x（1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E（x，x22x3），P点在E点的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2，当x=时，PE的最大值=，ACE的面积最大值=PE2（1）=PE=，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，3），点Q（0，1）点关于x轴的对称点为K（0，1），连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y=2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，最小值=|CM|+QD=2+2，求得M（1，1），N（，0）（4）存在如图1，若AFCH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，于是可得F1（1，0），F2（3，0），如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，再根据|HA|=|CF|，求出F4（4，0），F3综上所述，满足条件的F点坐标为F1（1，0），F2（3，0），F3，F4（4，0）【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大10（2017黄冈模拟）如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把RtOAB绕点O逆时针旋转90，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线